Prednáška č. 2a - Kinematika, Pohyb bodu

CAE mechatronickýchsystémov a sústavVladimír GogaKatedra mechaniky

Kinematika boduPrednáška 2a.2

Obsah prednášky1. Kinematika2. Väzby (geometrické)3. Pohyb bodu3

1. Kinematika• Je časť klasickej mechaniky.• Je to náuka o mechanickom pohybe, ktorýpredstavuje proces, pri ktorom sa menípoloha jedného telesa vzhľadom na inételeso.• Základnou úlohou kinematiky je skúmaťpolohy, rýchlosti a zrýchlenia danýchbodov, resp. telies k určitému bodu(telesu), resp. navzájom.

1. Kinematika• Každý pohyb je relatívny, t.j. vždy ide opohyb jedného telesa vzhľadom na inételeso, ktoré môžeme považovať zanepohyblivé, nachádzajúce sa zmechanického hľadiska v pokoji.• V kinematike uvažujeme dokonale tuhételesá.

1. Kinematika• Ak je to možné nahrádzame teleso tzv.hmotným bodom, ktorým rozumieme teleso,ktorého rozmery môžeme pri študovanompohybe zanedbať (napr. pri posuvnom pohybe).• V kinematike neuvažujeme o veličinách, ktoré súpríčinou pohybu, t.j. neuvažujeme silu, ktorá jeintegrálnou vlastnosťou hmoty, a preto bod,resp. teleso nebude mať v kinematike fyzikálnuvlastnosť - hmotnosť.– Bod, resp. teleso sa bude vyznačovať ibageometrickými vlastnosťami.

1. Kinematika• Základnými veličinami v kinematike sú:– PRIESTOR: je euklidovský trojrozmerný, je spojitý anekonečný, môže byť zaplnený ľubovoľnými telesami,nemá účinok na teleso za rovnováhy či za pohybutelesa– ČAS: plynie rovnomerne a rovnako vo všetkýchsúradnicových systémocht I I t1,t2• Ak a - priebeh rýchlosti, zrýchleniat I t konšt.(graf)• Ak a - hodnota rýchlosti, zrýchlenia(číslo)

1. Kinematika• Poloha útvaru je jednoznačne určená práve nnezávislými parametrami – obvyklegeometrickými súradnicami.• Ak je počet nezávislých súradníc n, potomhovoríme, že útvar má n stupňov voľnosti(degrees of freedom - DOF).• Pohyb útvaru môžeme kinematicky vyšetrovať,ak je tento pohyb určený.• Pohyb útvaru je určený, ak sú dané jehonezávislé súradnice ako funkcie času.

1. Kinematika• Počtom stupňov voľnosti je charakterizovanápohyblivosť útvaru:BODTELESO– v rovine: 2 DOF 3 DOF– v priestore: 3 DOF 6 DOF• Viazaný bod (teleso) má menší počet stupňov voľnostiako voľný bod (teleso), t.j. jeho polohu určuje menšípočet funkcií, resp. medzi pôvodnými funkciami existujúurčité väzby (geometrické väzby).

1. Kinematika• voľný bodmá v priestore 3 stupnevoľnosti, t.j. jeho polohumusia určovať 3 funkcie10

1. Kinematika• viazaný bodmá v priestore menší početstupňov voľnosti ako voľnýbod, t.j. jeho polohu určujemenší počet funkcií, resp.medzi pôvodnými funkciamiexistujú určité väzbyväzba11

1. Kinematika• voľné telesomá v priestore 6 stupňovvoľnosti, t.j. jeho polohu musíurčovať 6 funkcií12

1. Kinematika• viazané telesomá v priestore menší početstupňov voľnosti ako voľnételesoväzba13

1. Kinematika• kinematiku rozdeľujeme:– kinematika bodu– kinematika telesa– kinematika súčasných pohybov bodov atelies– zloženie mechanizmov– kinematika mechanizmov14

1. Kinematika• Iné delenie:– Kinematická analýza:• Vyšetruje pohyb útvaru, ak sú rozmery dané, a akje pohyb určený.– Kinematická syntéza:• Určujeme rozmery mechanizmu podľa požiadavky,aby jeho zvolený bod, či člen konal predpísanýpohyb.

2. Väzby (geometrické)• Väzbou rozumieme geometrickydefinovaný dotyk telies, ktorým sarealizuje silové pôsobenie jedného telesana druhé a súčasne je ním určenáprípustná relatívna pohyblivosť telies,medzi ktorými väzba existuje.• Dve telesá spojené väzbou vytvárajúkinematickú dvojicu.16

2. Väzby (geometrické)• Z hľadiska statiky charakterizujú každúväzbu tzv. statické parametre – väzbovéreakcie:– statickými parametrami sú sily alebo silovédvojice (momenty), ktoré môžu byť väzbouprenášané,– platí, že čím viac bude väzba obmedzovaťvzájomnú pohyblivosť telies, tým väčší budepočet statických parametrov.17

2.1 Klasifikácia väzieb• Ideálne (dokonalé) väzby:– sú dokonale tuhé a ideálne hladké(neuvažujeme v nich pasívne odpory -trenie).• Reálne väzby:– uvažujeme v nich pasívne odpory, najmäšmykové trenie a odpor proti valeniu.• Rovinné a priestorové väzby:– podľa toho, či kinematická dvojicacharakterizujúca väzbu je rovinného alebopriestorového typu.18

2.1 Klasifikácia väzieb• Jednostranné väzby:– záleží na smere väzbovej reakcie.• Obojstranné väzby:– nezáleží na smere väzbovej reakcie.19

2.2 Trieda väzby• súvisí priamo so stupňom obmedzeniarelatívnej pohyblivosti medzi telesami, ktoré súväzbou spojené.• je rovná počtu stupňov voľnosti (DOF), o ktorésa pohyblivosť znižuje.• tuhé voľné teleso má v priestore 6 DOF, akpripojíme toto teleso k rámu väzbou k-tejtriedy, bude mať toto viazané teleso (6-k)DOF.• najvyššia trieda väzby je 6, najnižšia triedaväzby je 1.20

2.3 Typy väzieb21

3. Pohyb bodu• cieľom kinematiky bodu je podať spôsoburčenia pohybu bodu, t.j. vyšetrovať jehorýchlosť a zrýchlenie• dráha bodu (trajektória) – je spojitákrivka, ktorú opisuje pohybujúci sa bodvo zvolenom priestore– sled polôh, ktoré bod pri svojom pohybevzhľadom na zvolený vzťažný bod zaujíma22

3. Pohyb bodutrajektória23

3. Pohyb bodukrivkatrajektóriapriamka24

3. Pohyb bodukrivkatrajektóriapriamkapriamočiary pohyb25

3. Pohyb bodurovinnákrivkatrajektóriapriestorovápriamkapriamočiary pohyb26

3. Pohyb bodurovinnárovinný krivočiarypohybkrivkatrajektóriapriestorovápriamkapriamočiary pohyb27

3. Pohyb bodurovinnárovinný krivočiarypohybkrivkatrajektóriapriestorovápriestorový krivočiarypohybpriamkapriamočiary pohyb28

3. Pohyb bodu• opis pohybu:– vektorový– zložkový (súradnicové systémy)• druhy pohybu29

3.1 Vektorový opis• pohyb bodu je určený, ak poznámezávislosťrr()t- sprievodič alebopolohový vektor bodu(je funkciou času t)30

3.1 Vektorový opis• pohyb bodu je určený, ak poznámezávislosťr r()tprírastok sprievodiča32

• stredná rýchlosť3.1 Vektorový opisv sr t33

3.1 Vektorový opis• stredná rýchlosťv sr tokamžitá rýchlosťvrdr lim t 0 tdtr34

3.1 Vektorový opis• stredné zrýchlenie va s t35

3.1 Vektorový opis• stredné zrýchlenie va s tokamžité zrýchlenie2v dv d r a lim v r t 02 36t dt dt

3.2 Zložkový opis• najčastejšie používané súradnicovésystémy:– 2D:• kartézsky• polárny– 3D:• kartézsky• cylindricky• sféricky37

• kartézsky systém3.2 Zložkový opispohyb bodu je určenýparametrickými rovnicami:x x( t); y y( t); z z( t)38

• kartézsky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r xi yj zk39

• kartézsky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r xi yj zkrýchlosť:v v i v jv kx y z v x, v y,v zx y z40

• kartézsky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r xi yj zkrýchlosť:v v i v jv kx y z v x, v y,v zx y zveľkosť rýchlosti:v v v v v2 2 2x y z41

• kartézsky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r xi yj zkzrýchlenie:a a i a ja kx y z axv x xa v y y;y azv z z42

• kartézsky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r xi yj zkzrýchlenie:a a i a ja kx y za vx x, a v y y,x azvz zyveľkosť zrýchlenia:a a a a a2 2 2x y z43

• cylindrický systém3.2 Zložkový opispohyb bodu je určenýparametrickými rovnicami: ( t); (t); z z( t)44

• cylindrický systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r izkρz45

• cylindricky systém3.2 Zložkový opistransformácia medzi kartézskymi acylindrickými súradnicami:x ( t)cos ( t);y ( t)sin (t);z z()t46

• cylindricky systém3.2 Zložkový opistransformácia medzi kartézskymi acylindrickými súradnicami:x ( t)cos ( t);y ( t)sin ( t);z z()tjednotkové vektory:i cosi sin j;j cosj sin i;kz k47

3.2 Zložkový opis• cylindricky systémtransformácia medzi kartézskymi acylindrickými:x ( t)cos ( t);y ( t)sin ( t);z z()tčasová deriváciax cos sin ;y sin cos ;zz48

• cylindricky systém3.2 Zložkový opisrýchlosťx cos sin ;y sin cos ;zz49

• cylindricky systém3.2 Zložkový opisrýchlosťx cos sin ;y sin cos ;zz v xi y jz k50

• cylindricky systém3.2 Zložkový opisrýchlosťx cos sin ;y sin cos ;zz v xi y jz kv cos sini sin cosjz k51

• cylindricky systém3.2 Zložkový opisrýchlosťv cos sini sin cosjz k52

• cylindricky systém3.2 Zložkový opisrýchlosťv cos sini sin cosjz kv cosi sinjcos j sini z k53

• cylindricky systém3.2 Zložkový opisrýchlosťv cosi sinjcos j sini z k54

3.2 Zložkový opis• cylindricky systémrýchlosťi cosi sin j;j cosj sin i;kz kv cosi sinjcos j sini z k55

3.2 Zložkový opis• cylindricky systémrýchlosťi cosi sin j;j cosj sin i;kz kv cosi sinjcos j sini z kv i j zkz56

• cylindricky systém3.2 Zložkový opissprievodič má tvar:r izk zrýchlosť:v v i v j v kvvvz z zz57

• cylindricky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r izk zrýchlosť:v v i v j v k v , v ,v z veľkosť rýchlosti:zzzv v v v v z2 2 2 58

• cylindricky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r izk zzrýchlenie:a a i a j a kaaaz 2( ) ; 2 ;z zz59

• cylindricky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r izk zzzrýchlenie:a a i a j a kaa z 2( ) , a2 ,z veľkosť zrýchlenia:za a a a a z2 2 2 60

3.2 Zložkový opis• cylindricky systém – porovnanie rýchlostís kartezskym systémom61

3.2 Zložkový opis• cylindricky systém – porovnanie zrýchlenís kartezskym systémom62

• sféricky systém3.2 Zložkový opispohyb bodu je určenýparametrickými rovnicami:r r( t); ( t); (t)63

• sféricky systém3.2 Zložkový opistransformácia medzi kartézskymi asférickými súradnicami:xy rsincos rsinsinz rcos64

• sféricky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r rir65

• sféricky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r rirrýchlosť:v v i v j v kvvvrr rr r rsin 66

• sféricky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:r rirrýchlosť:v v i v j v kr rv r, v r, v r sinr veľkosť rýchlosti:v v v v v2 2 2r 67

• sféricky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:rr rirzrýchlenie:a a i a j a kr r a r r r 2( ) 2 2( ) sin ; 22 ( ) sin cos ;a r rr a r sin 2r sin 2r cos 68

• sféricky systém3.2 Zložkový opissprievodič má potom tvar:rr rirzrýchlenie:a a i a j a kr r a r r r 2( ) 2 2( ) sin ; 22 ( ) sin cos ;a r rr a r sin 2r sin 2r cos a a a a aveľkosť zrýchlenia: 2 2 2r69

3.2 Zložkový opis• sféricky systém – porovnanie rýchlostí skartezskym systémom70

3.2 Zložkový opis• sféricky systém – porovnanie rýchlostí scylindrickým systémom71

3.2 Zložkový opis• sprievodný trojhran– je súradnicový systém, ktorého počiatok ležív pohybujúcom sa bode– jeho osi sú dotyčnica, hlavná normála abinormála trajektórie72

3.2 Zložkový opis• sprievodný trojhrandotyčnicahlavná normálabinormálai tj nk bk i x jb t npolohu bodu určuje oblúkovásúradnica s a jeho pohyb po krivkerovnica pohybus s()trovnica krivky je definovanárr()t73

3.2 Zložkový opis• sprievodný trojhranrýchlosť boduvvi tkdevs74

3.2 Zložkový opis• sprievodný trojhranzrýchlenie bodua a a ai a jkdet n t t n na v satn2vRtangenciálne (dotyčnicové)zrýchlenienormálové (dostredivé)zrýchlenieR je polomer krivosti krivky(vzdialenosť L-S)75

3.2 Zložkový opis• sprievodný trojhranzrýchlenie bodua a a ai a jkdet n t t n na v satn2vRtangenciálne (dotyčnicové)zrýchlenienormálové (dostredivé)zrýchlenieR je polomer krivosti krivky(vzdialenosť L-S)76

3.3 Druhy pohybu• druhy pohybu rozdeľujeme podľadotyčnicového zrýchlenia a t:– ak je a 0 (t.j. v 0 ) je pohybrovnomernýta 0 t• pričom ak a a v tmajú rovnaké znamienka,pohyb je zrýchlený, ak majú opačné znamienka,pohyb je spomalený– ak je je pohyb nerovnomerný77