10.11.

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/eltm.html1

Opis przedmiotuCelem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw językamatematycznego i opanowanie przez nich podstawowychpojęć dotyczących zbiorów, relacji i funkcji.2

Program wykładuElementy logiki: zdania proste i zdania złożone, wartość logicznazdania, tautologie, metoda zero-jedynkowa, funkcje zdaniowe ikwantyfikatory, prawa rachunku kwantyfikatorów, wyrażenia boole’owskie,formy alternatywne i koniunkcyjne, sieci logiczne.Zbiory i odwzorowania: działania na zbiorach, iloczyn kartezjański,działania uogólnione, zbiór słów nad alfabetem, funkcje różnowartościowe,„na” i wzajemnie jednoznaczne, składanie funkcji,funkcja odwrotna, obraz i przeciwobraz zbioru poprzez funkcję.3

Relacje: własności relacji binarnych, funkcje jako relacje, grafyi macierze relacji binarnych. Relacje częściowego porządku,diagramy Hassego, elementy ekstremalne, porządek liniowy, porządekleksykograficzny, dobry porządek, relacje równoważności,zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy.Zbiory liczbowe: konstrukcja zbioru liczb wymiernych, informacjao konstrukcjach zbioru liczb całkowitych i zbioru liczb rzeczywistych,zbiór liczb naturalnych, aksjomatyka Peana, zasadaindukcji matematycznej, schemat rekursji.Teoria mocy: zbiory skończone i nieskończone, równolicznośćzbiorów, pojęcie liczby kardynalnej, zbiory przeliczalne, zbiorymocy continuum, twierdzenie Cantora, informacja o pewniku wyborui lemacie Kuratowskiego – Zorna.4

Literatura podstawowaHelena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN 2005.Kenneth Ross, Charles Wright, Matematyka dyskretna, PWN2005.Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogościw zadaniach, PWN 2005.5

Literatura uzupełniającaWojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki,PWN 2005.Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wstęp do matematyki: zbiórzadań, PWN 2005.Jan Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT 2007.Roman Murawski, Kazimierz Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości,UAM 2006.6

Wymagania egzaminacyjne:zaliczenie (test) z wykładu, zaliczenie ćwiczeń na ocenę.Test z wykładu trwa 30 minut i zawiera 15 pytań ocenianych wskali: 0,2 1 , 1. Łącznie można otrzymać od 0 do 15 punktów. Nazaliczenie należy uzyskać 7 punktów.Przykładowe pytania znajdują się na stronie www.Warunki zaliczenia ćwiczeń zostaną podane na ćwiczeniach.7

Oznaczenia zbiorów:N = {0, 1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych z zerem,N 1 = {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych bez zera,Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb całkowitych,Q – zbiór liczb wymiernych,R – zbiór liczb rzeczywistych.8

Rachunek zdań9

Przykłady zdań w matematyceZdania prawdziwe:• „ 1 3 + 1 6 = 1 2 ”, „3|6”, „√ 2 ∉ Q”,• „Jeśli x = 1, to x 2 = 1” (x oznacza daną liczbę rzeczywistą),• „Jeśli a 2 + b 2 = c 2 , to trójkąt o bokach długości a, b, c jestprostokątny” (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),Zdania fałszywe: „2 + 2 = 5”, „ √ 2 ∈ Q”, „Q ⊂ Z”.10

Pytanie.Czy prawdziwe jest zdanie:Jeśli trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny, toa 2 + b 2 = c 2 ?(a, b, c – dane liczby dodatnie)11

Zdanie posiadające jedną z dwóch wartości logicznych: „prawda”lub „fałsz”, nazywamy zdaniem logicznym.Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r, . . . .Złożone zdania logiczne są zbudowane z innych zdań logicznychza pomocą spójników logicznych: jednoargumentowego∼ i dwuargumentowych ∨, ∧, ⇒, ⇔, ∨.12

Negacja∼ p – „nie p”, „nieprawda, że p” – negacja zdania pZdanie ∼ p jest:– prawdziwe, gdy p jest fałszywe,– fałszywe, gdy p jest prawdziwe.Przykład: „1 nie jest liczbą pierwszą”,dokładniej: „nieprawda, że 1 jest liczbą pierwszą”.Zdanie ∼ p jest negacją zdania p: „1 jest liczbą pierwszą”.13

Koniunkcjap ∧ q – „p i q” – koniunkcja zdań p i qZdanie p ∧ q jest:– prawdziwe, gdy oba zdania p i q są prawdziwe,– fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest fałszywe.Przykład: „2 jest liczbą pierwszą i parzystą”,dokładniej: „2 jest liczbą pierwszą i 2 jest liczbą parzystą”.Jest to koniunkcja p ∧ q, gdziep oznacza zdanie „2 jest liczbą pierwszą”,a q oznacza zdanie „2 jest liczbą parzystą”.14

Alternatywap ∨ q – „p lub q” – alternatywa zdań p i qZdanie p ∨ q jest:– prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest prawdziwe,– fałszywe, gdy oba zdania p i q są fałszywe.Przykład. Wybierzmy pewną liczbę całkowitą x i rozważmy zdanie:„x < 1 lub x > −1”.Jest to alternatywa p ∨ q, gdzie p oznacza zdanie „x < 1”, a qoznacza zdanie „x > −1”.W przypadku x = 0 oba zdania są prawdziwe i alterantywa teżjest zdaniem prawdziwym.15

Alternatywa rozłącznap ∨ q – „p albo q” – alternatywa rozłączna zdań p i qZdanie p ∨ q jest:– prawdziwe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugiefałszywe,– fałszywe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lubjednocześnie fałszywe.Przykład. Rozważmy dwie (różne) proste na płaszczyźnie. Mówimy:„Dane proste się przecinają albo są równoległe”. Jest toalternatywa rozłączna p ∨ q, gdzie p oznacza zdanie „Dane prostesię przecinają”, a q oznacza zdanie „Dane proste są równoległe”.16

Alternatywy rozłącznej (w zdaniu prawdziwym) używamy, gdychcemy podkreślić, że oba zdania nie mogą jednocześnie byćprawdziwe.Uwaga. Jeśli zdanie p ∨ q jest prawdziwe, to zdanie p ∨ q też jestprawdziwe, np.: „Dane proste się przecinają lub są równoległe”.Jeśli zdanie p ∨ q jest prawdziwe, to zdanie p ∨ q nie musi byćprawdziwe, np.: „0 < 1 albo 0 > −1”.17

Równoważnośćp ⇔ q – „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”, „p dokładnie wtedy, gdyq” – równoważność zdań p i q.Zdanie p ⇔ q jest:– prawdziwe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lubjednocześnie fałszywe,– fałszywe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe.Przykład. Rozważmy czworokąt wypukły ABCD. Zdanie: „CzworokątABCD jest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdyAB + CD = AD + BC” jest równoważnością zdań p: „CzworokątABCD jest opisany na okręgu” i q: „AB + CD = AD + BC”.18

Implikacjap ⇒ q – „ jeśli p, to q”, „p implikuje q” – implikacja o poprzednikup i następniku qJak określamy wartość logiczną implikacji?19

Przykład. Zdanie „x = 1 ⇒ x 2 = 1” jest prawdziwe dla każdejliczby rzeczywistej x. Zwróćmy uwagę na wartość logicznąpoprzednika oraz następnika tej implikacji dla poszczególnychwartości x.„x = 1” „x 2 = 1”dla x = 1 prawda prawdadla x = 0 fałsz fałszdla x = −1 fałsz prawda20

Prawdziwość implikacji oznacza, że jeśli zdanie p jest prawdziwe,to zdanie q też musi być prawdziwe (a jeśli p nie jest prawdziwe,to q może być jakiekolwiek).Zdanie p ⇒ q jest:– prawdziwe, gdy oba zdania są prawdziwe, gdy oba zdania sąfałszywe oraz gdy zdanie p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe,– fałszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe.21

Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zdań logicznych używamynawiasów, np.:∼ (∼ p), (p ∧ q) ∨ r, (p ⇒ q)∧ ∼ (q ⇒ r).Zdania (p∨q)∨r i p∨(q∨r) mają zawsze tę samą wartość logiczną(dlaczego?), więc nawiasy możemy opuścić: p ∨ q ∨ r. Podobnieotrzymujemy zdanie p ∧ q ∧ r.22

Zdanie p 1 ∧ p 2 ∧ . . . ∧ p n jest:– prawdziwe, gdy każde ze zdań p 1 , p 2 , . . . , p n jest prawdziwe,– fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p 1 , p 2 , . . . , p n jest fałszywe.Zdanie p 1 ∨ p 2 ∨ . . . ∨ p n jest:– prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p 1 , p 2 , . . . , p n jestprawdziwe,– fałszywe, gdy każde ze zdań p 1 , p 2 , . . . , p n jest fałszywe.23

Zdania (p ⇔ q) ⇔ r i p ⇔ (q ⇔ r) mają tę samą wartość logiczną,ale wartość logiczną zdania p ⇔ q ⇔ r określamy inaczej.Zdanie p 1 ⇔ p 2 ⇔ . . . ⇔ p n jest:– prawdziwe, gdy wszystkie zdania p 1 , p 2 , . . . , p n są jednocześnieprawdziwe lub jednocześnie fałszywe,– fałszywe, gdy wśród zdań p 1 , p 2 , . . . , p n są zdania prawdziwe izdania fałszywe.Pytanie. Jak można określić prawdziwość zdaniap 1 ⇒ p 2 ⇒ . . . ⇒ p n ?24

Ważna własność spójników logicznych:Wartość logiczna zdania złożonego zależy jedynie od tego, wjaki sposób jest ono zbudowane i jakie wartości logiczne majązdania składowe. Wartość logiczna zdania złożonego nie zależyod konkretnej postaci (treści) zdań składowych.Dlatego możemy rozważać wyrażenia utworzone poprawnie (zapomocą spójników logicznych i nawiasów) z symboli p, q, r, itp.Symbole te nazywamy zmiennymi zdaniowymi. Gdy w takim wyrażeniupodstawimy za zmienne zdaniowe konkretne zdania logiczne,to otrzymamy złożone zdanie logiczne.Uwaga. Jeśli to nie prowadzi do nieporozumień, to zmienne zdaniowei wyrażenia z nich utworzone możemy nazywać zdaniami.25

Wyrażenia logicznie równoważneWyrażenia nazywamy logicznie równoważnymi, gdy mają równewartości logiczne dla dowolnego wartościowania logicznegozmiennych zdaniowych.Przykłady:• Wyrażenia p i ∼ (∼ p) są logicznie równoważne.• Wyrażeniap ⇒ q, ∼ q ⇒∼ p, ∼ p ∨ q i ∼ (p∧ ∼ q)są logicznie równoważne.26

Inny przykład. Zdanie∼ (p ∧ q)jest fałszywe tylko w przypadku, gdy zdanie p ∧ q jest prawdziwe,czyli gdy oba zdania p i q są prawdziwe. Zdanie∼ p∨ ∼ qjest fałszywe tylko w przypadku, gdy oba zdania ∼ p, ∼ q sąfałszywe, czyli gdy oba zdania p i q są prawdziwe. Zatem zdaniasą logicznie równoważne.∼ (p ∧ q) i∼ p∨ ∼ qAnalogicznie, zdaniasą logicznie równoważne.∼ (p ∨ q) i∼ p∧ ∼ q27

TautologieTautologią nazywamy wyrażenie, które ma wartość logiczną „prawda”dla dowolnego wartościowania zdań prostych.Przykłady tautologii:• p ⇒ p,• p∨ ∼ p (prawo wyłączonego środka),• ∼ (p∧ ∼ p) (prawo sprzeczności),• (∼ p ⇒ p) ⇒ p (prawo Claviusa),28

• (p ∧ q) ⇒ p,• p ⇒ (p ∨ q),• ∼ p ⇒ (p ⇒ q),• ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ⇔ q),• (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)).29

Wyrażenie postaci P ⇔ Q jest tautologią dokładnie wtedy, gdywyrażenia P i Q są logicznie równoważne.Przykłady.• Prawo podwójnego przeczenia:p ⇔∼ (∼ p).• Prawa de Morgana:∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q),∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q).30

Metoda dowodu „nie wprost” jest oparta na tautologii(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).Zadanie. Dane są liczby całkowite a i b. Wykaż, że jeśli a · b jestliczbą parzystą, to a jest parzyste lub b jest parzyste.31

Metoda dowodu „przez sprzeczność” jest oparta na tautologii(p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).Zadanie. Dane są liczby rzeczywiste x, y. Wykaż, że jeżeli x 2 +y 2 < 1, to x + y < √ 2.32

Metoda zero-jedynkowaWartość logiczną „fałsz” oznaczamy symbolem 0, a wartość logiczną„prawda” symbolem 1. Jeśli zdanie p jest fałszywe, topiszemy v(p) = 0, a jeśli jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1.Wartości logiczne zdań złożonych określiliśmy następująco:v(p) v(∼ p)0 11 0v(p) v(q) v(p ∨ q) v(p ∧ q) v(p ⇒ q) v(p ⇔ q)0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 01 0 1 0 0 01 1 1 1 1 133

Przykład.Wartość logiczną zdania złożonego((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)dla poszczególnych wartościowań zdań prostych możemy obliczyćnastępująco:v(p) v(q) v(p ⇒ q) v(q ⇒ p) v(p ∧ q)0 0 1 1 00 1 1 0 01 0 0 1 01 1 1 1 1v((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) v(((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q))1 00 10 11 134

Szybszy sposób polega na tym, że nie wypisujemy poszczególnychzdań składowych w oddzielnych kolumnach (np. p ⇒ q,q ⇒ p i p ∧ q); piszemy tylko całe zdanie złożone, a wartościlogiczne poszczególnych zdań składowych wypisujemy pod tymizdaniami (dokładniej: pod ich spójnikami logicznymi). Gdy wypiszemynp. wartości logiczne zdań p ⇒ q i q ⇒ p, to wartościlogiczne zdania (p ⇒ q)∧(q ⇒ p) wypisujemy pod spójnikiem „∧”.v(p) v(q) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)0 0 1 1 1 0 00 1 1 0 0 1 01 0 0 0 1 1 01 1 1 1 1 1 135

Przykład. Zdaniasą logicznie równoważne.(p ∨ q) ∧ r i (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)v(p) v(q) v(r) (p ∨ q) ∧ r (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 1 11 0 0 1 0 0 0 01 0 1 1 1 1 1 01 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 136

Przykład. Zdanie(p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)jest tautologią.v(p) v(q) (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)0 0 1 1 10 1 1 1 01 0 0 1 11 1 1 1 137

Rachunek kwantyfikatorów38

Formy zdanioweForma zdaniowa ϕ(x) określona w zbiorze X to wyrażenie, którejest zdaniem, jeśli za x wstawimy dowolny element zbioru X.Zbiór X nazywamy zakresem formy zdaniowej ϕ(x).39

Przykłady.• ϕ(x) = „x 2 < 1”, gdzie x ∈ R,ϕ(x) jest zdaniem:– prawdziwym dla x ∈ (−1, 1),– fałszywym dla x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞);• ϕ(x) = „x 2 0”, gdzie x ∈ R,ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ R;40

• ϕ(n) = „n | 6” (n dzieli 6), gdzie n ∈ N 1 ,ϕ(n) jest zdaniem:– prawdziwym dla n = 1, 2, 3, 6– fałszywym dla pozostałych n;• ϕ(n) = „n = n + 1”, gdzie n ∈ Z,ϕ(n) jest zdaniem fałszywym dla każdego n ∈ Z.41

Uwaga. Forma zdaniowa określona w zbiorze X pozwala każdemuelementowi tego zbioru przyporządkować zdanie. Możemywięc ją nazwać funkcją zdaniową.Pytanie.Co jest dziedziną, a co zbiorem wartości tej funkcji?42

KwantyfikatoryJeśli ϕ(x) jest formą zdaniową określoną w zbiorze X, to możemyrozważyć następujące dwa zdania.1. Zdanie„Dla każdego x ∈ X (zachodzi) ϕ(x)”,które zapisujemy symbolicznie∀ x∈X ϕ(x).Zdanie ∀ x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy ϕ(x) jestzdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X.43

2. Zdanie„Istnieje x ∈ X takie, że ϕ(x)”,które zapisujemy∃ x∈X ϕ(x).Zdanie ∃ x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy ϕ(x) jestzdaniem prawdziwym dla co najmniej jednego x ∈ X.44

Przykłady:• ∀ x∈R x 2 < 1 – zdanie fałszywe,∃ x∈R x 2 < 1 – zdanie prawdziwe,• ∀ x∈R x 2 0 – zdanie prawdziwe,∃ x∈R x 2 0 – zdanie prawdziwe,45

• ∀ n∈N1 n | 6 – zdanie fałszywe,∃ n∈N1 n | 6 – zdanie prawdziwe,• ∀ n∈Z n = n + 1 – zdanie fałszywe,∃ n∈Z n = n + 1 – zdanie fałszywe.46

Zauważmy, że:– jeśli ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X, tozdania ∀ x∈X ϕ(x) i ∃ x∈X ϕ(x) są prawdziwe,– jeśli ϕ(x) jest zdaniem fałszywym dla wszystkich x ∈ X, tozdania ∀ x∈X ϕ(x) i ∃ x∈X ϕ(x) są fałszywe,– jeśli ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementówzbioru X, a fałszywym dla innych elementów tego zbioru, tozdanie ∀ x∈X ϕ(x) jest fałszywe, a zdanie ∃ x∈X ϕ(x) jest prawdziwe.47