Diskreetse matemaatika elektrooniline loengukonspekt - Tallinna ...

TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOLMATEMAATIKAINSTITUUTPeeter PuusempÜLDALGEBRA ALUSEDÜlesannete koguTALLINN2005

2 RÜHMAD2 RÜHMAD2.1 Mitu erinevat binaarset tehet on v~oimalik defineerida n-elemendiliselhulgal?2.2 Otsustada, millised järgnevatest kujutustest on injektiivsed, sürjektiivsed,bijektiivsed:a) f : R −→ R, f(x) = 2x − 1,b) f : R −→ R, f(x) = x 2 ,c) cos : R −→ R, x ↦−→ cos x,d) sin : [−π, π] −→ R, x ↦−→ sin x.2.3 Olgu X ja Y l~oplikud hulgad, milles on vastavalt m ja n elementi,kusjuures m ≤ n. Mitu injektiivset elementi on hulgas Y X ?2.4 Olgu antud kujutused f : R −→ B ja ln : B −→ R, kus B ={ x | x ∈ R, x > 0 } ning f(x) = e x , x ∈ R. Leida f ◦ ln ja ln ◦f.2.5 Olgu antud kujutused f : R −→ R ja g : R −→ R reeglitegaf(x) = 2x + 1 ja g(x) = e x (x ∈ R). Leida f ◦g, f ◦g, fg ja gf.2.6 Leida antud kujutuse pöördkujutus:a) f :] − π, π[−→ R, f(x) = 2tan x 2 ,b) f : R × R −→ R × R, f(x, y) = (x + 2y; 3x + 7y).2.7 Olgu X = { 1, 2 }. Koostada rühmoidi (X X ; ◦) Cayley tabel.2.8 Vaatleme hulgal N tehet ∗, mis seisneb suurima ühisteguri v~otmises:kui a, b ∈ N, siis a ∗ b on arvude a ja b suurim ühistegur. Kas(N; ∗) on poolrühm?2.9 Kas k~oigi geomeetriliste vektorite hulk kolmem~o~otmelises eukleidilisesruumis on poolrühm vektorkorrutise suhtes?2.10 Näidata, et igas mittetühjas hulgas X saab defineerida binaarsetehte, mille suhtes see hulk on poolrühm.2.11 Olgu X v~ore. Tähistagu x ∨ y elementide x ja y ülemist rada jax ∧ y nende elementide alumist rada. T~oestada, et (X; ∧) ja (X; ∨)on poolrühmad. Mis tingimustel on need poolrühmad monoidid?2.12 Esitada järgnevad rühmas G esitatud avaldised aditiivsel kujul:a) a 2 b 5 , b) a −3 (b −1 c) 2 , c) (ab 5 ) −3 = e.2.13 Koostada rühma (Z 5 ; +) Cayley tabel.6

2 RÜHMAD2.14 Koostada rühma (Z 6 , +) Cayley tabel.2.15 On antud viieelemendilise rühma Cayley tabel, milles esinevadlüngad:e a b c de e ∗ ∗ ∗ ∗a ∗ b ∗ ∗ eb ∗ c d e ∗c ∗ d ∗ a bd ∗ ∗ ∗ ∗ ∗Täita lüngad.2.16 Kas k~oigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil on liitmise suhtesrühm?2.17 Vaatleme täisarvude hulgal Z binaarset tehet ∗:n ∗ m = n + m + mn.Otsustada, kas Z on rühm tehte ∗ suhtes.2.18 Näidata, et kolmandat järku ruutmaatriksite hulk⎧⎫⎨1 a b⎬G =⎩0 1 c∥0 0 1∥ | a, b, c ∈ R ⎭moodustab korrutamise suhtes rühma 2 .2.19 Rühmas kehtib korrutise pöördelemendi leidmiseks reegel(ab) −1 = b −1 a −1 . Tuua näide rühmast, kus ei kehti v~ordus (ab) −2 =b −2 a −2 .2.20 Defineerime otsekorrutises G = Z 2 × Z n (n on suvaline positiivnetäisarv) korrutamise reegliga(i ; j)(k ; l) = (i + k ; (−1) k j + l)((i ; j), (k ; l) ∈ Z 2 × Z n ). Näidata, et G on selle tehte suhtes rühm.2 Saadud rühma nimetatakse saksa füüsiku Werner Heisenbergi (1901–1976)järgi Heisenbergi rühmaks.7

2 RÜHMAD2.21 Olgu X = {1, 2}, Y = S 3 ja G = Y X . Defineerime hulgal Gtehte ∗ järgmiselt:(f ∗ g)(x) = f(x)◦g(x), x ∈ X.Näidata, et (G; ∗) on rühm. Mitu elementi on selles rühmas? Vaatlemetekkinud rühmas G elementi( ) ( )1 2 1 2g == ,g(1) g(2) α ɛkusα =( ) 1 2 3∈ S3 1 2 3 , ɛ =( ) 1 2 3∈ S1 2 3 3 .Leida elemendi g järk ja g −1 .2.22 Olgu X = {1; 2} ja Y = Z 3 . Defineerime hulgas G = Y X tehte∗ järgmiselt: kui f, g ∈ G, siis(f ∗ g)(x) = f(x) + g(x) iga x ∈ X korral(liitmine jäägiklassirühmas (Z 3 ; +)). Koostada tekkinud rühmoidi(G; ∗) Cayley tabel.2.23 Kas eelmises ülesandes saadud rühmoid (G; ∗) on rühm (p~ohjendada!)?2.24 Tähistagu f a, b iga a, b ∈ R, a ≠ b, korral kujutust f a, b : R −→R, kus f a, b (x) = ax + b. Olgu G = { f a, b | a, b ∈ R, a ≠ 0 }. Otsustada,kas (G, ◦) on rühm, kui tehteks ◦ on kujutuste korrutamine.2.25 Olgu G = (R \ {0}) × R. Vaatleme hulgal G tehet ∗:(x 1 ; x 2 ) ∗ (y 1 ; y 2 ) = (x 1 y 1 ; x 1 y 2 + y 1 ).Otsustada, kas G on tehte ∗ suhtes rühm.2.26 Vaadelgem teist järku ruutmatriksite hulka{ ∥ }∥∥∥ a bG =−b a∥ | a, b ∈ R, a2 + b 2 ≠ 0 .Näidata, et hulk G moodustab maatriksite korrutamise suhtes rühma.8

2 RÜHMAD2.27 Kirjutada välja substitutsioonirühma S 3 elemendid.2.28 Leida substitutsiooni( )1 2 3 4 5f =3 5 1 2 4pöördsubstitutsioon f −1 .2.29 Tuua näide substitutsioonidest, mille korral f ◦g ≠ g◦f.2.30 Leida substitutsiooni( )1 2 3 4 5f =3 5 1 2 4jaoks k~oik substitutsioonid g ∈ S 5 nii, et f ◦g = g◦f.2.31 Leida substitutsiooni( )1 2 3 4 5f =5 1 2 3 4jaoks k~oik substitutsioonid g ∈ S 5 nii, et f ◦g = g◦f.2.32 Olgu( )1 2 3 4f =.2 4 1 3Leida elemendi f järk ja k~oik sellised elemendid g ∈ S 4 , mille korralf ◦g = g◦f.2.33 Substitutsiooni (2.6) nimetatakse transpositsiooniks, kui tajätab kujutamisel n − 2 arvu hulgast X = { 1, 2, . . . , n } paigale jaülejäänud kaks arvu kujutab teineteiseks, st leiduvad sellised i, j ∈ X,et⎧⎪⎨ j, kui k = i,f(k) = i, kui k = j,⎪⎩k, kui k ≠ i, k ≠ j.Kirjeldatud transpositsiooni tähistatakse (i, j) v~oi (j, i). Näidata, etkui mis tahes n-ndat järku substitutsiooni (2.6) teises reas vahetadaomavahel arvud f(i) ja f(j), siis saadakse substitutsioon (f(i), f(j))◦f.2.34 Näidata, et iga n-ndat järku substitutsioon on avaldatav transpositsioonidekorrutisena.9

2 RÜHMAD2.44 Leida täisarvude aditiivses rühmas Z järgmised alamrühmad:a) < 8, 14 >, b) < 8, 13 >, c) < 12, 18, 45 > .2.45 Leida substitutsioonirühma S 3 k~oik vasak- ja parempoolsedk~orvalklassid transpositsiooni (1, 2) poolt tekitatud alamrühma A =< (1, 2) > järgi.2.46 Leida ülesandes 2.37 antud substitutsiooni f järk rühmas S 5 jarühma S 5 alamrühm A =< f >. Mitu parempoolset k~orvalklassi onalamrühma A järgi rühmas S 5 ? Leida nendest k~orvalklassidest vähemaltkaks k~orvalklassi.2.47 Olgu (G; ∗) rühm. Fikseerime elemendi g ∈ G ja defineerimehulgas G tehte ⋄ reegligaa ⋄ b = a ∗ g ∗ b; a, b ∈ G.Näidata, et (G; ⋄) on samuti rühm.2.48 V~otkem ülesandes 2.47 rühmaks (G; ∗) jäägiklassirühma Z 4 ={0, 1, 2, 3} ja elemendiks g element 2. Koostada tekkinud rühma(Z 4 ; ⋄) Cayley tabel.2.49 V~otkem(ülesandes)2.47 rühmaks (G; ∗) substitutsioonirühma1 2 3S 3 ja g =. Leida tekkinud rühmas (G; ⋄):2 1 31) elemendif =( 1 2) 33 1 2poolt tekitatud alamrühm A =< f >,2) k~oik vasakpoolsed k~orvalklassid alamrühma A järgi.2.50 Leida rühma G tühja alamhulga poolt tekitatud alamrühm.2.51 Rühma G k~oigi alamrühmade hulk G on osaliselt järjestatudhulk järjestuse ⊂ suhtes. Näidata, et G on v~ore selle järjestuse suhtes.Leida hulga G vähim ja suurim element.2.52 Vaatleme rühma GL 2 (R) alamhulka{ ∥ }∥∥∥ a bH =0 c∥ | a, b, c ∈ R ac ≠ 0 .11

2 RÜHMADOtsustada, kas H on normaaljagaja rühmas GL 2 (R).2.53 Näidata, et kui g 2 = 1 iga g ∈ G korral, siis rühm G on kommutatiivne.2.54 Olgu l~opliku rühma G elementide arv mn ning arvude m jan suurim ühistegur on 1. Valime mis tahes elemendi g rühmast G.Näidata, et leiduvad üheselt määratud elemendid x ja y rühmast Gnii, et xy = g = yx ja x m = 1 = y n .2.55 Olgu n positiivne naturaalarv jaE = { z | z ∈ C, z n = 1 }(nn n-ndat järku ühejuurte hulk). Näidata, et E on kompleksarvudekorrutamise suhtes tsükliline rühm ja leida selle tsüklilise rühma tekitaja.2.56 Vaatleme kompleksarvude hulka C rühmana liitmise suhtes.Näidata, et faktorrühm C/R on isomorfne reaalarvude rühmaga (liitmisesuhtes).2.57 Näidata, et iga l~opmatut järku tsükliline rühm on isomorfnerühmaga Z (liitmise suhtes).2.58 Vaatleme rühmi (C; +) ja (R 2×2 ; +). Defineerime kujutuse T :C −→ R 2×2 reegligaT (z) = T (x + yi) =∥ xy−yx ∥ , z = x + yi ∈ C.Näidata, et T on homomorfism. Leida selle homomorfismi tuum. Kassee kujutus säilitab ka korrutamise?2.59 Vaatleme rühmi (C\{0}; ·) ja (GL n (R); ·) ja eelmises ülesandesdefineeritud kujutust T . Leida homomorfismi tuum.2.60 Vaatleme rühmi (R; +) ja (C \ {0}; ·). Defineerime kujutuseT : R −→ C \ {0} reegligaT (ϕ) = cos ϕ + i sin ϕ.Näidata, et T on homomorfism. Leida selle homomorfismi tuum jakujutis. Selgitada teoreemi homomorfismidest selle ülesande najal.12

2 RÜHMAD2.61 Olgu (G; ·) mis tahes rühm ja g ∈ G. Defineerime kujutuseT g : G −→ G reegligaT g (a) = g −1 ag, a ∈ G.1) Näidata, et T g on bijektiivne homomorfism.2) Tähistame G = { T g | g ∈ G }. Näidata, et (G; ◦) on rühm.3) Vaatleme kujutust ϕ : G −→ G, ϕ(g) = T g . Näidata, et ϕ onhomomorfism. Leida selle homomorfismi tuum.2.62 Tähistagu R ∗ k~oigi nullist erinevate reaalarvude rühma korrutamisesuhtes 3 . Näidata, et kujutusϕ : R ∗ −→ R ∗ , kus ϕ(x) = |x|, x ∈ R ∗ ,on homomorphism ja leida selle homomorfismi tuum Ker ϕ ja kujutisIm ϕ.2.63 Leida k~oigi homomorfismide arv jäägiklassirühmast Z 12 jäägiklassirühmaZ 30 .3 Seda rühma nimetatakse reaalarvude multiplikatiivseks rühmaks.13

3 RINGID3 RINGID3.1 Näidata, et ring, mille iga element x rahuldab v~ordust xx = x,on kommutatiivne.3.2 Näidata, et igal kommutatiivsel rühmal (R; +) saab defineeridakorrutamise nii, et R on ring nende kahe tehte suhtes.3.3 Defineerime hulgal P(X) liitmise ja korrutamise reeglitegaA + B = (A ∪ B) \ (A ∩ B),A · B = AB = A ∩ B(A, B ∈ P(X)). Näidata, et P(X) on ühikuga kommutatiivne ringnende tehete suhtes. Milline on saadud ringi aditiivse rühma nullelemendisterineva elemendi järk?3.4 Koostada jäägiklassiringi Z 6 liitmis- ja korrutamistabelid.3.5 Koostada jäägiklassiringi Z 7 liitmis- ja korrutamistabelid.3.6 Olgu n fikseeritud nullist erinev täisarv. Otsustada, kas otsekorrutisZ × Z on ring järgmiselt defineeritud liitmis- ja korrutamisreeglisuhtes:(a ; b) + (c ; d) = (a + c ; b + d),(a ; b)(c ; d) = (ac + nbd ; ad + bc), a, b, c, d ∈ Z.3.7 Jäägiklassihulgas Z 91 on antud üheksaelemendiline alamhulk{1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81, x},mis moodustab korrutamise suhtes rühma. Leida element x.3.8 Leida naturaalarv n nii, et jäägiklassiringis Z n ei kehti järgnevaltantud omadus (a, b, c ∈ Z n ):a) a 2 = a =⇒ a = 0 v~oi a = 1;b) ab = 0 =⇒ a = 0 v~oi b = 0;c) ab = ac, a ≠ 0 =⇒ b = c.3.9 Leida v~orrandi x 2 − 5x + 6 = 0 k~oik lahendid ringides Z 8 , Z 12 jaZ 14 .3.10 Defineerime hulgas R n = Z n × Z n liitmis- ja korrutamisreeglijärgmiselt:(a ; b) + (c ; d) = (a + c ; b + d),(a ; b)(c ; d) = (ac − bd ; ad + bc), a, b, c, d ∈ Z n .14

3 RINGIDNäidata, et R n on ring.3.11 Leida v~orrandi x 2 − x + (2 ; 0) = 0 k~oik lahendid ringis R 3 , kusring R 3 on defineeritud ülesandes 3.10.3.12 Näidata, et täisarvud s ja t v~orduses sa+tb = d, kus d on arvudea ja b suurim ühistegur, pole arvudega a ja b üheselt määratud.3.13 Leida arvude a = 107800 ja b = 3094 suurim ühistegur d jaarvud s ning t nii, et sa + tb = d.3.14 Leida arvude a = 318500 ja b = 15246 suurim ühistegur d jaarvud s ning t nii, et sa + tb = d.3.15 Leida arvude a = 18876 ja b = 43010 suurim ühistegur d jaarvud s ning t nii, et sa + tb = d.3.16 Olgu G n-ndat järku tsükliline rühm tekitajaga a. Näidata, et a ion rühma G tekitaja parajasti siis, kui arvude i ja n suurim ühisteguron 1.3.17 Olgu R ühikuga ring. Ringi R elementi a nimetatakse pööratavaks,kui leidub selline element b ∈ R, et ab = ba = 1. Ringi Rpööratavaid elemente nimetatakse ka selle ringi ühikuteks. Ringi Rk~oigi ühikute hulka tähistatakse U(R). Näidata, et U(R) on rühmringi R korrutamise suhtes.3.18 Koostada jäägiklassiringi Z 7 ühikute rühma U(Z 7 ) Cayley tabel.Veenduda, et see rühm on tsükliline ja leida selle rühma k~oiktekitajad.3.19 Näidata, et kui p on algarv, siis ringi Z p k~oik nullist erinevadelemendid on pööratavad.3.20 Olgu k ∈ Z n . Näidata, et k on pööratav parajasti siis, kuiarvude k ja n suurim ühistegur on 1.3.21 Millised elemendid on maatriksite ringi R n×n ühikud?3.22 Ringi R elementi x nimetatakse nilpotentseks, kui x n = 0mingi positiivse naturaalarvu n korral. Näidata, et kui x on nilpotentneelement ühikuga ringis R, siis 1 − x ∈ U(R).3.23 Kas diagonaalmaatriksid moodustavad alamringi ringis R n×n ?3.24 Olgu R viieelemendiline ring. Näidata, et ring R on kas isomorfnejäägiklassiringiga Z 5 v~oi xy = 0 iga x, y ∈ R korral.3.25 Tuua näide ringist R ja selle elementidest a ja b, nii et ab = 0ja ba ≠ 0.15

3 RINGID3.26 Kas maatriksite hulk{ ∥ }∥∥∥ a a + bA =a + b b ∥ | a, b ∈ Rmoodustab alamringi k~oigi teist järku ruutmaatriksite ringis R =R 2×2 ?3.27 Kas maatriksite hulk{ ∥ }∥∥∥ a a − bA =a − b b ∥ | a, b ∈ Rmoodustab alamringi ringis R = R 2×2 ?3.28 Kas maatriksite hulk{ ∥ }∥∥∥ a aA =b b∥ | a, b ∈ Zmoodustab alamringi k~oigi teist järku ruutmaatriksite ringis R =Z 2×2 üle täisarvude ringi Z?3.29 Olgu A kommutatiivse ringi R ideaal ja√A = { b ∈ R | leidub n ∈ N, nii et n > 0 ja b n ∈ A }.Näidata, et A on samuti ringi R ideaal.3.30 Olgu R = Z 27 . Leida:3.31 Olgu R = Z 36 . Leida:a) √ (0); b) √ (3); c) √ (9).a) √ (0); b) √ (4); c) √ (6).3.32 Olgu A kommutatiivse ringi R ideaal. T~oestada, et√√A =√A.3.33 Vaadelgem täisarvude ringi Z ideaale A = (2) ja B = (8).Näidata, et faktorringi A/B aditiivne rühm on isomorfne jäägiklassirühmagaZ 4 , kuid faktorring A/B pole isomorfne jäägiklassiringigaZ 4 .16

3 RINGID3.34 Olgu{ ∥ }∥∥∥ a bR =b a∥ | a, b ∈ Z .Veenduda, et R on ring maatriksite liitmise ja korrutamise suhtes.Näidata, et kujutus(∥ ) ∥∥∥ a bϕ : R −→ R, ϕb a∥= a − b,on homomorfism. Leida selle homomorfismi tuum ja näidata, et faktorringR/Ker ϕ on isomorfne täisarvude ringiga Z.17

4 KORPUSED4 KORPUSED4.1 Leida korpuse Z 7 k~oigi nullist erinevate elementide pöördelemendid.4.2 Leida korpuses Z 7 jagatised 3 6 , 35 .4.3 Leida korpuses Z 11 antud avaldise väärtus:a) 2 7 · 45 − 3 (8 · 7 310 ; b) 2 + 5 ) −1.74.4 Leida antud determinantide väärtused, kui determinantide elemendidkuuluvad korpusesse Z 7 :∣ ∣ 2 −1∣∣∣∣∣ 2 −3 54 3 ∣ , −1 2 35 3 2∣ .4.5 On antud maatriks A, mille elemendid kuuluvad korpusesse Z 7 :0 2 0A =1 1 ∥2 1 −1∥ .Leida A −1 .4.6 On antud maatriks A, mille elemendid kuuluvad korpusesse Z 5 :1 2 3A =−2 4 1∥ 2 1 3∥ .Leida A −1 .2 4 14.7 Leida maatriksi A =3 2 4pöördmaatriks, kui maatriksi∥5 3 2∥ elemendid on v~oetud korpusest Z 7 .4.8 Lahendada v~orrandisüsteem korpuses Z 7 :{2x + y = 4x + 2y = 318

4 KORPUSED4.9 Lahendada v~orrandisüsteem⎧⎪⎨ 2x + 2y + 4z = 24x + 2y + 3z = 3⎪⎩4x + 3y + 2z = 3korpuses Z 5 .4.10 Leida v~orrandisüsteemi⎧⎪⎨ 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 2x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 = 2⎪⎩x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0k~oik lahendid korpuses Z 3 .4.11 Lahendada v~orrandisüsteem⎧⎪⎨ 3x + 2y + z = 24x + y + 4z = 3⎪⎩x + 4y + 3z = 1korpuses Z 5 .4.12 Leida v~orrandisüsteemi⎧⎪⎨ 2x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 = 1x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 2⎪⎩2x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 = −1k~oik lahendid korpuses Z 3 .4.13 Lahendada v~orrandisüsteem⎧⎪⎨ 3x + 2y + 3z = 4x + y + 5z = 5⎪⎩x + 2y + 2z = 1korpuses Z 7 .19

4 KORPUSED4.14 Leida v~orrandisüsteemi⎧⎪⎨ x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 1−2x 1 + 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 2⎪⎩2x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 = −1k~oik lahendid korpuses Z 5 .4.15 V~orrandisüsteemi⎧⎪⎨ x 1 + 4x 2 + 4x 3 + 2x 4 + x 5 = 02x 1 + x 2 + x 3 + 2x 5 = 0⎪⎩2x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 4x 5 = 0vaadeldakse korpuses Z 5 . Näidata, et selle süsteemi k~oik lahendid ξ =(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ) moodustavad alamruumi viiem~o~otmelisesaritmeetilises ruumis Z 5 5 . Leida selle alamruumi baas ja elementidearv.4.16 Olgu p algarv ja R l~oplik ring, milles on p elementi. Näidata,et ring R on kas isomorfne jäägiklassikorpusega Z p v~oi xy = 0 igax, y ∈ R korral.4.17 Vaatleme teist järku ruutmaatriksite ringis R 2×2 alamhulka M:M = {∥ a −bb a ∥ | a, b ∈ R }.Näidata, et hulk M moodustab kompleksarvude korpusega isomorfsealamringi ringis R 2×2 .4.18 Vaatleme teist järku ruutmaatriksite hulka M elementidega korpusestZ 3 :M = {∥ a −bb a ∥ | a, b ∈ Z 3 }.Veenduda, et M on üheksaelemendiline korpus maatriksite liitmise jakorrutamise suhtes. Näidata, et selle korpuse k~oik nullist erinevad elemendidmoodustavad korrutamise suhtes kaheksaelemendilise tsükliliserühma. Leida selle tsüklilise rühma k~oik tekitajad.4.19 Vaadelgem ülesandes 3.10 defineeritud ringi R n . Näidata, et:20

4 KORPUSED1) kui n ∈ {3, 7, 11}, siis R n on korpus;2) kui n ∈ {2, 5, 13}, siis R n ei ole korpus.Püüdke leida tingimus, milliste algarvude n korral R n on korpus.21

5 POLÜNOOMID5 POLÜNOOMID5.1 Leida polünoomide f ja g summa ning korrutis, kuif = x 4 + 3x 2 + 2x + 1 ∈ Z 5 [x], g = −x 2 + 3x + 2 ∈ Z 5 [x].5.2 Leida polünoomide f ja g summa ning korrutis, kuif = (4 + i)x 3 + x 2 ∈ C[x], g = x 2 + ix − 1 + 2i ∈ C[x].5.3 Näidata, et 4x 2 + 6x + 3 on pööratav element ringis Z 8 [x].5.4 Leida k~oik polünoomid kujul ax + b, mis on pööratavad ringisZ 4 [x].5.5 Jagada polünoom f jäägiga polünoomiga g, kuif = x 3 − x 2 − 3x − 1 ∈ R[x], g = 2x 2 − 3x + 2 ∈ R[x].5.6 Jagada polünoom f jäägiga polünoomiga g, kuif = x 3 − x 2 − x ∈ C[x], g = x − 1 + 2i ∈ C[x].5.7 Jagada polünoom f jäägiga polünoomiga g, kuif = 2x 4 + 3x 3 − 4x 2 + 5x − 6 ∈ Z 7 [x],g = x 2 − 3x + 1 ∈ Z 7 [x].5.8 Olgu f = x 5 +3x 4 +x 3 +4x 2 −3x−1 ja g = x 2 +x+1. Näidata,et ringis R[x] polünoom f ei jagu polünoomiga g, kuid ringis Z 5 [x]polünoom f jagub polünoomiga g.5.9 Leida polünoomide f ja g suurim ühistegur, kuif = x 5 − 2x 4 + x 3 + 7x 2 − 12x + 10 ∈ R[x],g = 3x 4 − 6x 3 + 5x 2 + 2x − 2 ∈ R[x].5.10 Leida polünoomide f ja g suurim ühistegur d ning polünoomidξ ja η nii, et ξf + ηg = d, kuif = x 6 − 4x 5 + 11x 4 − 27x 3 + 37x 2 − 35x + 35 ∈ R[x],g = x 5 − 3x 4 + 7x 3 − 20x 2 + 10x − 25 ∈ R[x].22

5 POLÜNOOMID5.11 Leida polünoomide f ja g suurim ühistegur d ning polünoomidξ ja η nii, et ξf + ηg = d, kuif = x 4 + 4x 2 + 1 ∈ Z 5 [x], g = x 3 − 1 ∈ Z 5 [x].5.12 Leida polünoomide f ja g suurim ühistegur d ning polünoomidξ ja η nii, et ξf + ηg = d, kuif = x 3 + 1 ∈ Z 2 [x], g = x 4 + x 3 + x + 1 ∈ Z 5 [x].5.13 Leida polünoomide f = x 5 + 3x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 4 ∈ Z 5 [x] jag = 4x 4 + 4x 3 + 2x 2 + x + 4 ∈ Z 5 [x] k~oik suurimad ühistegurid ringisZ 5 [x].5.14 Leida polünoomide f = x 5 + x 4 + 2x 3 + 5x ∈ Z 7 [x] ja g =x 5 + x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 4x + 2 ∈ Z 7 [x] k~oik suurimad ühistegurid ringisZ 7 [x].5.15 Leida polünoomide f = 2x 5 + 2x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 3x ∈ Z 7 [x] jag = x 4 + x 3 + 3x 2 + 5x + 4 ∈ Z 7 [x] k~oik suurimad ühistegurid ringisZ 7 [x].5.16 Leida polünoomide f = 2x 5 + 2x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 3x ∈ Z 7 [x] jag = x 4 + 3x 3 + x + 3 ∈ Z 7 [x] k~oik suurimad ühistegurid ringis Z 7 [x].5.17 Leida polünoomide f, g ∈ Z 5 [x] suurim ühistegur d ning polünoomidξ, η ∈ Z 5 [x] nii, et ξf + ηg = d, kuif = x 5 + 4x 4 + 2x 3 + 3x 2 + x + 4, g = x 5 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 3.5.18 Leida polünoomide f, g ∈ Z 5 [x] suurim ühistegur d ning polünoomidξ, η ∈ Z 5 [x] nii, et ξf + ηg = d, kuif = x 5 + 3x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 3, g = x 3 + 4x 2 + x + 4.5.19 Leida polünoomide f, g ∈ Z 5 [x] suurim ühistegur d ning polünoomidξ, η ∈ Z 5 [x] nii, et ξf + ηg = d, kuif = 3x 7 +6x 6 +2x 5 +4x 4 +4x 3 +4x 2 +x+4, g = 3x 6 +2x 4 +2x 3 +4x+2.5.20 Leida polünoomi x 2 + 3x + 2 ∈ Z 5 [x] k~oik juured.5.21 Leida polünoomi x 2 + 3x + 2 ∈ Z 6 [x] k~oik juured ringis Z 6 .23

5 POLÜNOOMID5.22 Mitmekordne juur on −2 polünoomilef = x 5 + 7x 4 + 19x 3 + 26x 2 + 20x + 8 ∈ R[x].5.23 Leida a, b ∈ R nii, et polünoom ax n+1 + bx n + 1 jaguks polünoomiga(x − 1) 2 ringis R[x].5.24 Mitmekordne juur on 1 polünoomile x 4 +x 3 +2x+2 polünoomideringis Z 3 [x]?5.25 Mitmekordne juur on 2 polünoomile x 5 + 3x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 3polünoomide ringis Z 5 [x]?5.26 Leida polünoomi x 4 + x 3 + 4x 2 + 2x + 5 ∈ Z 7 [x] k~oik juured janende kordsused.5.27 Otsustada, kas polünoom x 3 +1 ∈ Z 2 [x] on taanduv ringis Z 2 [x].5.28 Näidata, et polünoom x 3 + x 2 + 2 on taandumatu polünoomringis Z 3 [x].5.29 Näidata, et polünoom 2x 4 − 1 on taandumatu polünoom ringisZ 5 [x].5.30 Avaldada polünoom f = x 3 + 6 ∈ Z 7 [x] taandumatute polünoomidekorrutisena ringis Z 7 .5.31 Avaldada polünoom f = x 3 + 3 ∈ Z 5 [x] taandumatute polünoomidekorrutisena ringis Z 5 [x].5.32 Leida k~oik kolmanda astme taandumatud polünoomid ringistZ 2 [x].5.33 Leida k~oik teise astme taandumatud polünoomid ringist Z 3 [x].5.34 Leida k~oik kolmanda astme taandumatud polünoomid kujugax 3 + ax 2 + bx + 1 ringist Z 3 [x].5.35 Leida k~oik kolmanda astme taandumatud polünoomid kujugax 3 + ax + b ringist Z 5 [x].5.36 Leida k~oik kolmanda astme taandumatud polünoomid kujuga2x 3 + ax 2 + bx + 1 ringist Z 3 [x].5.37 Leida kujuga x 2 + ax + b taandumatute polünoomide arv ringisZ 7 [x].5.38 Leida kujuga ax 2 +bx+1 taandumatute polünoomide arv ringisZ 5 [x].5.39 Mitu elementi on korpuses Z 5 [x]/(2x 4 − 1)?5.40 Leida korrutis (2x 3 + 3x + 1)(x + 3) korpuses Z 5 [x]/(2x 4 − 1).24

5 POLÜNOOMID5.54 Polünoomide ringis Z[x] vaadelgem alamhulkaI = { f ∈ Z[x] | f(0) = 0 }.Näidata, et I on polünoomi x poolt tekitatud peaideaal, st I = (x).5.55 Olgu K mis tahes korpus jaI = { f ∈ K[x] | f(1) = 0 }.Näidata, et I on ideaal ringis K[x] ning leida selle ringi tekitaja, stpolünoom f ∈ K[x], nii et I = (f).26

7.2 RÜHMAD 7 VASTUSED7.2 RÜHMAD2.1. n (n2) .2.2. a) On injektiivne, sürjektiivne ja bijektiivne.b), c), d) Pole injektiivne, sürjektiivne ega bijektiivne.2.3.n!(n − m)! .2.4. f ◦ ln = 1 B , ln ◦ f = 1 R .2.5. (f ◦ g)(x) = 2e x + 1, (g ◦ f)(x) = e 2x+1 ,(fg)(x) = (gf)(x) = e x (2x + 1).2.6. a) f −1 (x) = 2 arctan x 2 , a) f −1 (x) = 2 arctan x 2 ,b) f −1 (x, y) = (−3x + y; 7x − 2y).2.7.( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2f = , g = , u = ,1 1 1 2 2 1v =◦ f g u vf f f f fg f g u vu v u g fv v v v v2.8. On.( ) 1 2;2 22.9. Ei ole. Näiteks e 1 = (1; 0; 0), e 2 = (0; 1; 0) ja e 3 == (0; 0; 1) korral (e 1 × e 3 ) × e 3 = (−1; 0; 0) ninge 1 × (e 3 × e 3 ) = (0; 0; 0), s.t. (e 1 × e 3 ) × e 3 ≠ e 1 × (e 3 × e 3 ).2.10. Üheks v~oimalikuks assotsiatiivseks tehteks ∗ on: x ∗ y = y igax, y ∈ X korral.2.11. (X; ∧) on monoid parajasti siis, kui hulgas X leidub suurimelement; (X; ∨) on monoid parajasti siis, kui hulgas X leidub vähimelement.2.12. a) 2a + 5b, b) −3a + 2(−b + c), c) −3(a + 5b) = 0.30

7 VASTUSED 7.2 RÜHMAD2.13.2.14.2.15.2.16. On.+ [0] [1] [2] [3] [4][0] [0] [1] [2] [3] [4][1] [1] [2] [3] [4] [0][2] [2] [3] [4] [0] [1][3] [3] [4] [0] [1] [2][4] [4] [0] [1] [2] [3]+ [0] [1] [2] [3] [4] [5][0] [0] [1] [2] [3] [4] [5][1] [1] [2] [3] [4] [5] [0][2] [2] [3] [4] [5] [0] [1][3] [3] [4] [5] [0] [1] [2][4] [4] [5] [0] [1] [2] [3][5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]e a b c de e a b c da a b c d eb b c d e ac c d e a bd d e a b c2.17. Tehe on assotsiatiivne ja leidub ühikelement, kuid leidub elemente,millel pole pöördelementi.2.19. V~otta näiteks substitutsioonirühmas S 3( ) ( )1 2 3 1 2 3a =, b =.2 3 1 2 1 331

7.2 RÜHMAD 7 VASTUSED2.21. Rühmas G on 36 elementi, elemendi g järk on 3 ja( )g −1 1 2=α −1 .ɛ2.22. Y X koosneb järgmistest kujutustest:( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , ,0 0 0 1 0 2 1 0( ) 1 2,1 2( ) 1 2,2 0( ) 1 2,2 1( ) 1 2.2 2( ) 1 2,1 1Tähistades hulga Y X elemendid ülaltoodud järjekorras vastavalt 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 8, saadakse rühmoidi (Y X ; ∗) Cayley tabeliks2.23. On.∗ 0 1 2 3 4 5 6 7 80 0 1 2 3 4 5 6 7 81 1 2 0 4 5 3 7 8 62 2 0 1 5 3 4 8 6 73 3 4 5 6 7 8 0 1 24 4 5 3 7 8 6 1 2 05 5 3 4 8 6 7 2 0 16 6 7 8 0 1 2 3 4 57 7 8 6 1 2 0 4 5 38 8 6 7 2 0 1 5 3 42.24. On: kujutuste korrutamine on assotsiatiivne, f 1, 0 – ühikelement,f −1a, b = f a −1 , −a −1 b.2.25. Ei, sest tehe pole assotsiatiivne.2.27.( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3,,,1 2 3 1 3 2 2 1 3( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3,,.2 3 1 3 2 1 3 1 232

7 VASTUSED 7.2 RÜHMAD( )1 2 3 4 52.28. f −1 =.3 4 1 5 2( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 32.29.◦=,1 3 2 2 3 1 3 2 1( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3◦=.2 3 1 1 3 2 2 1 3( ) ( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 52.30.,,1 2 3 4 5 1 5 3 2 4( ) ( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5,,1 4 3 5 2 3 2 1 4 5( ) ( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5,.3 5 1 2 4 3 4 1 5 2( ) ( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 52.31.,,1 5 4 3 2 5 4 3 2 1( ) ( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5,,4 3 2 1 5 3 2 1 5 4( )1 2 3 4 5.2 1 5 4 32.32. Elemendi f järk on 4. Elemendiga f kommuteeruvad järgmisedsubstitutsioonid:( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4,,1 2 3 4 3 1 4 2( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4,.4 3 2 1 2 4 1 32.34. Vahetades substitutsiooni f teises reas korduvalt paarikaupaarve, v~oib substitutsiooni f teisendada ühiksubstitutsiooniks( )1 2 . . . ne =.1 2 . . . n33

7.2 RÜHMAD 7 VASTUSEDEelmise ülesande p~ohjal on iga vahetamine samaväärne substitutsioonikorrutamisele mingi transpositsiooniga. Seega leiduvad sellisedtranspositsioonid (i 1 , j 1 ), . . . , (i k , j k ), et(i 1 , j 1 ) ◦ . . . ◦ (i k , j k ) ◦ f = e.Siitf = (i k , j k ) −1 ◦ . . . ◦ (i 1 , j 1 ) −1 ◦ e == (i k , j k ) −1 ◦ . . . ◦ (i 1 , j 1 ) −1 .Kuna (i, j) −1 = (i, j) iga transpositsiooni (i, j) korral, siisf = (i k , j k ) ◦ . . . ◦ (i 1 , j 1 ).Kahjuks ei avaldu substitutsioon transpositsioonide korrutisena üheselt.2.35. (1, 4) ◦ (2, 6) ◦ (3, 6) ◦ (3, 5) ◦ (3, 4).2.36. (1, 5) ◦ (2, 5) ◦ (4, 5) ◦ (3, 4).2.37.1 2 3 4 54 2 1 3 53 2 4 1 51 5 3 4 24 5 1 3 23 5 4 1 21 2 3 4 5f = (2, 5)◦(1, 3)◦(3, 4).2.38. Rühma S 3 elementide järgud on vastavalt ülesandes 2.27 toodudelementide järjekorrale 1, 2, 2, 3, 2, 3.34

7 VASTUSED 7.2 RÜHMAD2.39. Rühma Z 8 elementide [0], [1], . . . , [7] järgud on vastavalt 1, 8,4, 8, 2, 8, 4, 8.2.40. 5.2.41. Elementide 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 8 järgud on vastavalt 1, 2, 4, 2,2, 2, 4 ja 2; Z(G) = {1, 5}.2.42. Elemendi a järk on 4, elemendi b järk on 3, element ab onl~opmatut järku.2.43. Z 12 ≠< 4 >.2.44. a) 2Z = { 2k | k ∈ Z }, b) Z, c) 3Z = { 3k | k ∈ Z }.2.45. A = { (1, 2), e }, kus e on rühma S 3 ühikelement. Vasakpoolsedk~orvalklassid on{ ( ) } { ( ) }1 2 31 2 3A, (2, 3),ja (1, 3),.3 1 22 3 1Parempoolsed k~orvalklassid on{ ( ) } 1 2 3A, (1, 3),3 1 2ja{(2, 3),( ) } 1 2 3.2 3 12.46. Elemendi f järk on 6. Alamrühm A koosneb järgmistest substitutsioonidest:( ) ( )1 2 3 4 5f =, f 2 1 2 3 4 5=,3 5 4 1 24 2 1 3 5( ) ( )f 3 1 2 3 4 5=, f 4 1 2 3 4 5=,1 5 3 4 23 2 4 1 5( ) ( )f 5 1 2 3 4 5=, f 6 1 2 3 4 5=.4 5 1 3 21 2 3 4 5Rühmas S 5 on 20 parempoolset k~orvalklassi alamrühma A järgi. Nendestkaks on A ja Ag, kus Ag koosneb substitutsioonidest( ) ( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5g =, fg =,2 1 3 4 5 5 3 4 1 235

7.2 RÜHMAD 7 VASTUSED2.48.( ) ( )f 2 1 2 3 4 5g =, f 3 1 2 3 4 5g =,2 4 1 3 55 1 3 4 2( ) ( )f 4 1 2 3 4 5g =, f 5 1 2 3 4 5g =.2 3 4 1 55 4 1 3 2⋄ 0 1 2 30 2 3 0 11 3 0 1 22 0 1 2 33 1 2 3 02.49.1)2)A ={( ) 1 2 3,3 1 2{( ) 1 2 3,3 1 2{( ) 1 2 3,3 2 1{( ) 1 2 3,1 3 2( )} 1 2 3= {f, ɛ}.2 1 3( )} 1 2 3,2 1 3( )} 1 2 3,1 2 3( )} 1 2 3.2 3 12.50. {e}, kus e on rühma G ühik.2.51. Kui A, B ∈ G, siis A ∨ B on alamrühmade A ja B ühendiA ∪ B poolt tekitatud alamrühm ning A ∧ B = A ∩ B. Hulga Gsuurim element on G ja vähim element on {e}, kus e on rühma Gühik.2.52. Ei ole.2.53. Valime suvalised elemendid a, b ∈ G. Siis eelduse t~ottu aa =bb = abab = e, kust a = a −1 , b = b −1 , ab = (ab) −1 = b −1 a −1 = ba.36

7 VASTUSED 7.3 RINGID2.55. Rühma E tekitaja on cos 2π n + i sin 2π n jaE = { cos 2πkn2πk+ i sinn| k = 0, 1, . . . , n − 1 }.2.56. Kujutus ϕ : R −→ C/R, kus ϕ(y) = [yi], y ∈ R, on isomorfism.2.57. Olgu G l~opmatut järku tsükliline rühm tekitajaga g. Siis kujutusϕ : Z −→ G, kus ϕ(n) = g n , n ∈ Z, on isomorfism.2.58. Ker T = {0}. Kujutus T säilitab ka korrutamise.2.59. Ker T = {1}.2.60. Ker T = {2πk | k ∈ Z}, Im T = {x + yi | x 2 + y 2 = 1}.2.61. Ker T = {g | g ∈ G, ga = ag iga a ∈ g korral}.2.62. ϕ(xy) = |xy| = |x| · |y| = ϕ(x) · ϕ(y), Kerϕ = {−1, 1},Imϕ = { x ∈ R | x > 0 }.2.63. 6.7.3 RINGID3.1. Olgu x ja y suvalised elemendid vaadeldavast ringist. Siisxx + yy = x + y = (x + y)(x + y) = xx + xy + yx + yy.Liites saadud v~orduse m~olemale poole −(xx) ja −(yy), saadaksexy + yx = 0, xy = −(yx).Erijuhul, kui x = y, saadakse xx + xx = 0 ehk x + x = 0, x = −x.Seepärastxy = −(yx) = y(−x) = yx.3.2. V~oib defineerida xy = 0 iga x, y ∈ R korral.3.3. Nullelemendiks on ∅, ühikelemendiks on X. Aditiivse rühmanullelemendist erinevad elemendid on teist järku.37

7.3 RINGID 7 VASTUSED3.4.· 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 13.5.+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4+ 0 1 2 3 4 5 60 0 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 6 02 2 3 4 5 6 0 13 3 4 5 6 0 1 24 4 5 6 0 1 2 35 5 6 0 1 2 3 46 6 0 1 2 3 4 538

7 VASTUSED 7.3 RINGID3.6. On küll.3.7. 29.· 0 1 2 3 4 5 60 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 62 0 2 4 6 1 3 53 0 3 6 2 5 1 44 0 4 1 5 2 6 35 0 5 3 1 6 4 26 0 6 5 4 3 2 13.8. a) Kui n = 6, siis 3 2 = 3; b) kui n = 4, siis a = b = 2 korralab = 0; c) kui n = 6, siis a = 3, b = 4 ja c = 2 korral ab = ac, kuidb ≠ c.3.9. Ringis Z 8 : 2, 3; ringis Z 12 : 2, 3, 6, 11; ringis Z 14 : 2, 3, 9, 10.3.11. (2; 1) ja (2; 2).3.12. Kui sa + tb = c, siis ka s(1 + tb)a + t(1 − sa)b = c.3.13. 101a − 3519b = 14.3.14. d = 14.3.15. d = 22.3.16. Olgu arvude n ja t positiivne suurim ühistegur d. Element a ton tekitaja parajasti siis, kui tema mingi aste a tk v~ordub ühikelemendiga,st leidub selline täisarv k, et n | (tk − 1). Kui d ≠ 1, siis tk − 1 eisaa jaguda kunagi arvuga n. Seega, et a t oleks tekitaja, peab d = 1.Kui aga d = 1, siis leiduvad sellised täisarvud u ja v, et un + vt = 1ning sel korral a = a un+vt = (a n ) u (a t ) v = (a t ) v , st a t on vaadeldavatsüklilise rühma tekitaja.39

7.3 RINGID 7 VASTUSED3.18.· 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 62 2 4 6 1 3 53 3 6 2 5 1 44 4 1 5 2 6 35 5 3 1 6 4 26 6 5 4 3 2 1Tekitajateks on elemendid 2, 3, 4, 5 ja 6.3.19. Olgu i ∈ Z p , i ≠ 0. Siis arvude i ja p suurim ühistegur on 1ja leiduvad sellised s, t ∈ Z, et si + tp = 1. Kuna p = 0 ringis Z p , siissi = 1 ringis Z p ja s on elemendi i pöördelement ringis Z p .3.20. Olgu arvude k ja n suurim ühistegur 1. Siis leiduvad selliseds, t ∈ Z, et sk +tn = 1. Ringis Z n kehtib siis sk = 1, st k on pööratavringis Z n . Kui k on pööratav ringis Z n , siis km = 1 ringis Z n mingim ∈ Z korral, st n | (km−1). Viimasest tingimusest järeldub, et 1 peabjaguma arvude n ja k suurima ühisteguriga. See on aga v~oimalik vaidjuhul, kui arvude n ja k suurim ühistegur on 1.3.21. Maatriksid, mille determinant ei v~ordu nulliga.3.22.x n = 0 =⇒ (1 − x)(1 + x + x 2 + . . . + x n−1 ) = . . . == 1 − x n = 1 =⇒ (1 − x) −1 = 1 + x + x 2 + . . . + x n−1 .3.23. Moodustavad küll.3.24. Valime nullist erineva elemendi a ringist R. Elemendi a järkringi R aditiivses rühmas saab Lagrange’i teoreemi p~ohjal olla vaid5. Seega on ringi R elementideks parajasti a, 2a, 3a, 4a, 5a = 0 ehkR = { na | n ∈ Z 5 }.Olgu x ja y suvalised elemendid ringist R. Siis leiduvad sellisedn, m ∈ Z 5 , et x = na, y = ma. Korrutades saadakse xy = (nm)(aa).40

7 VASTUSED 7.3 RINGIDKui aa = 0, siis ka xy = 0 iga x, y ∈ R korral ja väide kehtib. Seepärastoletame, et aa ≠ 0. Siis aa = ka mingi k ∈ { 1, 2, 3, 4 } korral.Ringis Z 5 on k~oik nullist erinevad elemendid pööratavad. Seet~ottuleidub selline t ∈ Z 5 , et kt = 1. Tähistame b = ta. Siis b ≠ 0 jabb = (ta)(ta) = t 2 (aa) = t 2 (ka) = t(kt)a = ta = b. Seega v~oibeeldada, et algusest peale on valitud element a nii, et aa = a. SiisR = { na | n ∈ Z 5 }ja korrutamine ringis toimub reegli(na)(ma) = (nm)(aa) = (nm)akohaselt. Defineerides kujutuse ϕ : Z 5 −→ R reegliga ϕ(n) = na (n ∈Z 5 ), saadakse isomorfism ringist Z 5 ringi R.Analoogiline väide kehtib ka iga jäägiklassiringi Z p jaoks, kus p onalgarv.3.25. Näiteks R = R 2×2 jaa =∥ 1 1∥ ∥∥∥ −1 −1∥ , b = −1 11 −1∥ .3.26. Ei ole.3.27. Ei ole.3.28. On.3.30. a) (3), b) (3), c) (3).3.31. a) (6), b) (2), c) (6).3.33. Rühm A/B on neljandat järku tsükliline rühm nagu on sedaka jäägiklassirühm Z 4 . Faktorring A/B ei oma ühikut, ringis Z 4 agaleidub ühik.3.34. Homomorfismi ϕ tuum on{ ∥ }∥∥∥ a aKer ϕ =a a∥ | a ∈ Z .Isomorfismiks ψ : Z −→ R/Ker ϕ on kujutus ψ(c) = cE + Ker ϕ, kusc ∈ Z ja E on ühikmaatriks.41

7.4 KORPUSED 7 VASTUSED7.4 KORPUSED4.1.4.2.1 −1 = 1, 2 −1 = 4, 3 −1 = 5, 4 −1 = 2, 5 −1 = 3, 6 −1 = 6.36 = 4, 35 = 2.4.3. a) 8, b) 4.4.4. 3; 0.4.5.0 6 14 0 0∥4 5 1∥ 4.6.4.7.3 1 04 1 4∥0 4 4∥ .5 4 00 5 4∥5 0 5∥ .4.8. x = 4, y = 3.4.9. x = 2, y = 3, z = 3.4.10. (2; 2; 0; 2), (1; 2; 1; 2), (0; 2; 2; 2).4.11. x = y, z = 2, st (0; 0; 2), (1; 1; 2), (2; 2; 2), (3; 3; 2),(4; 4; 2).4.12.(0; 0; 1; 0), (0; 1; 1; 1), (0; 2; 1; 2),(1; 1; 1; 0), (1; 2; 1; 1), (1; 0; 1; 2),(2; 2; 1; 0), (2; 0; 1; 1), (2; 1; 1; 2).4.13. x = 1, y = 6, z = 1.42

7 VASTUSED 7.4 KORPUSED4.14.⎧x 1 = 0⎪⎨x 2 = tx 3 = 2t⎪⎩x 4 = 4 + 3t(0; 0; 0; 4)(0; 1; 2; 2)(0; 2; 4; 0)(0; 3; 1; 3)(0; 4; 3; 1)4.15. K~oigi lahendite (x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ) hulk onL = { t 1 ɛ 1 + t 2 ɛ 2 | t 1 , t 2 ∈ Z 5 },kusɛ 1 = (1; 3; 0; 1; 0), ɛ 2 = (4; 2; 3; 0; 1).Kuna L on kinnine lineaarsete tehete suhtes, siis on ta alamruum viiem~o~otmelisesaritmeetilises ruumis Z 5 5 üle korpuse Z 5. V~orrandisüsteemilon kokku 25 erinevat lahendit.4.16. T~oestus on analoogiline ülesande 3.24 p~ohjendusega.4.17. Kujutus ϕ : C −→ M, kusϕ(a + bi) =∥ a −bb a ∥(a, b ∈ R),on bijektiivne, säilitab liitmise ja korrutamise ning on seega n~outudisomorfism.4.18. Hulgas M on 9 elementi ja ta on kinnine maatriksite liitmiseja korrutamise suhtes. Hulga M jaoks on täidetud samuti ringi aksioomid.Nullelemendiks ringis M on nullmaatriks. Ringis M on samutiühikelement E:E =∥ 1 00 1∥ .Vahetu kontroll näitab, et ring M on kommutatiivne. Ringi M nullelemendisterineva elemendiA =∥ 1 −bb a ∥43

7.5 POLÜNOOMID 7 VASTUSEDpöördelemendiks onA −1 =1a 2 + b 2 ·∥ a−bba∥ = 1a 2 + b 2 · AT .Seega on M üheksaelemendiline korpus. Tema k~oik nullelemendist erinevadelemendid moodustavad kaheksaelemendilise tsüklilise rühma,mille tekitajateks on∥ 1 −1∥ ∥ ∥ ∥∥∥ 1 1 ∥ , 1 −2∥∥∥ 2 1 ∥ , 2 −2∥∥∥ 2 2 ∥ , 2 −11 2 ∥ .7.5 POLÜNOOMID5.1. f + g = x 4 + 2x 2 + 3, fg = 4x 6 + 3x 5 − x 4 + 2x 3 + x 2 + 2.5.2. f + g = (4 + i)x 3 + 2x 2 + ix − 1 + 2i,fg = (4 + i)x 5 + 4ix 4 + (8i − 6)x 3 + (−1 + 2i)x 2 .5.3. Pöördelement on 2x + 3.5.4. ±1, 2x ± 1.5.5. f =( 12 x + 1 4)g +(− 114 x − 5 ).45.6. f = (x 2 − 2ix − 5 − 2i)g + (−9 + 8i).5.7. f = (2x 2 + 2x)g + (3x − 6).5.9. x 2 − 2x + 2.5.10. (3 − x)f + (x 2 − 4x + 4)g = x 2 + 5.5.11. (3x 2 + 3)f + (2x 3 + 2)g = 1.5.12. xf + g = x 3 + 1.5.13. x 2 + 4, 2x 2 + 3, 3x 2 + 2, 4x 2 + 1.5.14. x 2 + 3x + 2, 2x 2 + 6x + 4, 3x 2 + 2x + 6,4x 2 + 5x + 1, 5x 2 + x + 3, 6x 2 + 4x + 5.44

7 VASTUSED 7.5 POLÜNOOMID5.15. x 2 + 3x + 3, 2x 2 + 6x + 6, 3x 2 + 2x + 2,4x 2 + 5x + 5, 5x 2 + x + 1, 6x 2 + 4x + 4.5.16. x 2 + 5x + 4, 2x 2 + 3x + 1, 3x 2 + x + 5,4x 2 + 6x + 2, 5x 2 + 4x + 6, 6x 2 + 2x + 3.5.17.(x + 4)f + (4x + 2)g = d = 4x 3 + 2x 2 + 4x + 2.5.18.2f + (3x 2 + 2x)g = d = x 2 + 1 ehk f + (4x 2 + x)g = d = 3x 2 + 3.5.19. Kolmekordne:f = (x − 2)(x 4 + 2x 2 + 1) = (x − 2) 2 (x 3 + 2x 2 + x + 2) == (x − 2) 3 (x 2 + 4x + 4).5.20. 3 ja 4.5.21. 1, 2 ja 5.5.22. Kolmekordne juur.5.23. a = n, b = −n − 1.5.24. Kolmekordne.5.25. Kolmekordne:f = (x − 2)(x 4 + 2x 2 + 1) = (x − 2) 2 (x 3 + 2x 2 + x + 2) == (x − 2) 3 (x 2 + 4x + 4).5.26. 21 tükki:a = 0, b = 1, 2, 4; a = 1, b = 3, 4, 6; a = 2, b = 2, 3, 5;a = 3, b = 1, 5, 6; a = 4, b = 1, 5, 6; a = 5, b = 2, 3, 5;a = 6, b = 2, 4, 6.45

7.5 POLÜNOOMID 7 VASTUSED5.27. On taanduv: x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1).5.28. Kui f oleks taanduv, siis omaks ta lineaarset tegurit ja seegaka juurt korpuses Z 3 . Ent f ei oma juurt korpuses Z 3 : f(0) = f(2) =2, f(1) = 1.5.30. x 3 + 6 = (x + 3)(x + 5)(x + 6).5.31. 3 ja 4.5.32. x 3 + x + 1, x 3 + x 2 + 1.5.33. x 2 + 1, 2x 2 + x + 1, 2x 2 + 2x + 1,x 2 + x + 2, x 2 + 2x + 2, 2x 2 + 2.5.34. x 3 + 2x + 1, x 3 + x 2 + 2x + 1, x 3 + 2x 2 + 1, x 3 + 2x 2 + x + 1.5.35. x 3 + x + 1, x 3 + 2x + 1, x 3 + 3x + 2, x 3 + 4x + 2,x 3 + 3x + 3, x 3 + 4x + 3, x 3 + x + 4, x 3 + 2x + 4.5.36. 2x 3 +x+1, 2x 3 +x 2 +x+1, 2x 3 +2x 2 +1, 2x 3 +2x 2 +2x+1.5.37. 21 tükki:5.38.a = 0, b = 1, 2, 4; a = 1, b = 3, 4, 6; a = 2, b = 2, 3, 5;a = 3, b = 1, 5, 6; a = 4, b = 1, 5, 6; a = 5, b = 2, 3, 5;a = 6, b = 2, 4, 6.(2x 2 + 1) −1 = x 2 + x + 1 (x 4 = x 2 + x + 2, x 3 = 2x 2 + 1).5.39. 625.5.40. x 3 + 3x 2 + 4.5.41. 2x 2 + x + 1.46

7 VASTUSED 7.5 POLÜNOOMID5.42. Korrutamistabel on· 0 1 2 x x + 10 0 0 0 0 01 0 1 2 x x + 12 0 2 1 2x 2x + 2x 0 x 2x 2 x + 2x + 1 0 x + 1 2x + 2 x + 2 2xx + 2 0 x + 2 2x + 1 2x + 2 12x 0 2x x 1 2x + 12x + 1 0 2x + 1 x + 2 x + 1 22x + 2 0 2x + 2 x + 1 2x + 1 x· x + 2 2x 2x + 1 2x + 20 0 0 0 01 x + 2 2x 2x + 1 2x + 22 2x + 1 x x + 2 x + 1x 2x + 2 1 x + 1 2x + 1x + 1 1 2x + 1 2 xx + 2 x x + 1 2x 22x x + 1 2 2x + 2 x + 22x + 1 2x 2x + 2 x 12x + 2 2 x + 2 1 2x5.43.+ 0 1 x x + 10 0 1 x x + 11 1 0 x + 1 xx x x + 1 0 1x + 1 x + 1 x 1 0x 2 x 2 x 2 + 1 x 2 + x x 2 + x + 1x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 x 2 + x + 1 x 2 + xx 2 + x x 2 + x x 2 + x + 1 x 2 x 2 + 1x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 x 2 + x x 2 + 1 x 247

7.5 POLÜNOOMID 7 VASTUSED+ x 2 x 2 + 1 x 2 + x x 2 + x + 10 x 2 x 2 + 1 x 2 + x x 2 + x + 11 x 2 + 1 x 2 x 2 + x + 1 x 2 + xx x 2 + x x 2 + x + 1 x 2 x 2 + 1x + 1 x 2 + x + 1 x 2 + x x 2 + 1 x 2x 2 0 1 x x + 1x 2 + 1 1 0 x + 1 xx 2 + x x x + 1 0 1x 2 + x + 1 x + 1 x 1 0· 0 1 x x + 10 0 0 0 01 0 1 x x + 1x 0 x x 2 x 2 + xx + 1 0 x + 1 x 2 + x x 2 + 1x 2 0 x 2 x + 1 x 2 + x + 1x 2 + 1 0 x 2 + 1 1 x 2x 2 + x 0 x 2 + x x 2 + x + 1 1x 2 + x + 1 0 x 2 + x + 1 x 2 + 1 x· x 2 x 2 + 1 x 2 + x x 2 + x + 10 0 0 0 01 x 2 x 2 + 1 x 2 + x x 2 + x + 1x x + 1 1 x 2 + x + 1 x 2 + 1x + 1 x 2 + x + 1 x 2 1 xx 2 x 2 + x x x 2 + 1 1x 2 + 1 x x 2 + x + 1 x + 1 x 2 + xx 2 + x x 2 + 1 x + 1 x x 2x 2 + x + 1 1 x 2 + x x 2 x + 15.44. Z 3 [x]/(f) = { 0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2 }x 2 = x + 1, x 3 = 2x + 1, x 4 = 2, x 5 = 2x,x 6 = 2x + 2, x 7 = x + 2, x 8 = 148

7 VASTUSED 7.5 POLÜNOOMID+ 0 1 2 x x + 10 0 1 2 x x + 11 1 2 0 x + 1 x + 22 2 0 1 x + 2 xx x x + 1 x + 2 2x 2x + 1x + 1 x + 1 x + 2 x 2x + 1 2x + 2x + 2 x + 2 x x + 1 2x + 2 2x2x 2x 2x + 1 2x + 2 0 12x + 1 2x + 1 2x + 2 2x 1 22x + 2 2x + 2 2x 2x + 1 2 0+ x + 2 2x 2x + 1 2x + 20 x + 2 2x 2x + 1 2x + 21 x 2x + 1 2x + 2 2x2 x + 1 2x + 2 2x 2x + 1x 2x + 2 0 1 2x + 1 2x 1 2 0x + 2 2x + 1 2 0 12x 2 x x + 1 x + 22x + 1 0 x + 1 x + 2 x2x + 2 1 x + 2 x x + 1· 0 1 2 x x + 10 0 0 0 0 01 0 1 2 x x + 12 0 2 1 2x 2x + 2x 0 x 2x x + 1 2x + 1x + 1 0 x + 1 2x + 2 2x + 1 2x + 2 0 x + 2 2x + 1 1 x2x 0 2x x 2x + 2 x + 22x + 1 0 2x + 1 x + 2 2 2x2x + 2 0 2x + 2 x + 1 x + 2 149

7.5 POLÜNOOMID 7 VASTUSED5.45. x 3 + 3x 2 + 2x.· x + 2 2x 2x + 1 2x + 20 0 0 0 01 x + 2 2x 2x + 1 2x + 22 2x + 1 x x + 2 x + 1x 1 2x + 2 2 x + 2x + 1 x x + 2 2x 1x + 2 2x + 2 2 x + 1 2x2x 2 x + 1 1 2x + 12x + 1 x + 1 1 2x + 2 x2x + 2 2x 2x + 1 x 25.46. (3x + 1) −1 = 4x + 2.5.47. (x 2 + x + 1) −1 = 2x 2 + 1. (x 4 = x 2 + x + 2, x 3 = 2x 2 + 1.)5.48. (x 2 + x) −1 = x 2 + 3x + 4. (x 4 = 3x 2 + 4x, x 3 = 3x + 4.)5.49. (x 2 + 1) −1 = x 2 + 2x. (x 4 = x 2 + x + 2, x 3 = 2x 2 + 1.)5.50.5.51.(2x 2 + 1) −1 = x 2 + x + 1 (x 4 = x 2 + x + 2, x 3 = 2x 2 + 1).2f + (3x 2 + 2x)g = d = x 2 + 1 ehk f + (4x 2 + x)g = d = 3x 2 + 3.5.52. Leides korrutamis- ja liitmistabelid hulkades Z 4 ja Z 2 [x]/(x 2 ),saadakse· 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 150

7 VASTUSED 7.5 POLÜNOOMID+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2· 0 1 x x + 10 0 0 0 01 0 1 x x + 1x 0 x 0 xx + 1 0 x + 1 x 1+ 0 1 x x + 10 0 1 x x + 11 1 0 x + 1 xx x x + 1 0 1x + 1 x + 1 x 1 0Saadud tabelitest on näha, et ϕ(a·b) = ϕ(a)·ϕ(b) iga a, b ∈ Z 4 korralja5.53. Liitmistabel onϕ(1 + 1) = ϕ(2) = x ≠ 0 = ϕ(1) + ϕ(1).⊕ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 0 3 22 2 3 0 13 3 2 1 0Liitmiste + ja ⊕ mittekokkulangevus hulgal Z 4 ilmneb vastavateliitmistabelite v~ordlemisel, näiteks 1 ⊕ 1 = 0, 1 + 1 = 2. Kuna ϕon bijektiivne ja säilitab tehted, stϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b)jaϕ(a ⊕ b) = ϕ(ϕ −1 ((a) + ϕ(b))) = ϕ(a) + ϕ(b)iga a, b ∈ Z 4 korral, ning Z 2 [x]/(x 2 ) on ring, siis peab ka Z 4 olemaring mainitud tehete suhtes.5.55. I = (x − 1).51

7.6 GALOIS’ KORPUSED 7 VASTUSED7.6 GALOIS’ KORPUSED6.1.x, x 2 , x 3 = x 2 + 1, x 4 = x 2 + x + 1, x 5 = x + 1,x 6 = x 2 + x, x 7 = 1.00011101GF (8) =00100111∥01001110∥ .+ 0 1 2 x x + 10 0 1 2 x x + 11 1 2 0 x + 1 x + 22 2 0 1 x + 2 xx x x + 1 x + 2 2x 2x + 1x + 1 x + 1 x + 2 x 2x + 1 2x + 2x + 2 x + 2 x x + 1 2x + 2 2x2x 2x 2x + 1 2x + 2 0 12x + 1 2x + 1 2x + 2 2x 1 22x + 2 2x + 2 2x 2x + 1 2 0+ x + 2 2x 2x + 1 2x + 20 x + 2 2x 2x + 1 2x + 21 x 2x + 1 2x + 2 2x2 x + 1 2x + 2 2x 2x + 1x 2x + 2 0 1 2x + 1 2x 1 2 0x + 2 2x + 1 2 0 12x 2 x x + 1 x + 22x + 1 0 x + 1 x + 2 x2x + 2 1 x + 2 x x + 152

7 VASTUSED 7.6 GALOIS’ KORPUSED· 0 1 x x + 10 0 0 0 01 0 1 x x + 1x 0 x x 2 x 2 + xx + 1 0 x + 1 x 2 + x x 2 + 1x 2 0 x 2 x 2 + 1 1x 2 + 1 0 x 2 + 1 x 2 + x + 1 xx 2 + x 0 x 2 + x 1 x 2 + x + 1x 2 + x + 1 0 x 2 + x + 1 x + 1 x 2· x 2 x 2 + 1 x 2 + x x 2 + x + 10 0 0 0 01 x 2 x 2 + 1 x 2 + x x 2 + x + 1x x 2 + 1 x 2 + x + 1 1 x + 1x + 1 1 x x 2 + x + 1 x 2x 2 x 2 + x + 1 x + 1 x x 2 + xx 2 + 1 x + 1 x 2 + x x 2 1x 2 + x x x 2 x + 1 x 2 + 1x 2 + x + 1 x 2 + x 1 x 2 + 1 x6.2.x, x 2 , x 4 = x + 1, x 7 = x 3 + x + 1, x 8 = x 2 + 1,x 11 = x 3 + x 2 + x, x 13 = x 3 + x 2 + 1, x 14 = x 3 + 1.6.3. Viienda astme taandumatu polünoom avaldub kujulf = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e.Taandumatuse ja Bezout’ teoreemi t~ottu ei tohi f omada juuri korpusesZ 2 , st f(0) = e ≠ 0 ja f(1) = a + b + c + d ≠ 0. Seegae = 1, a + b + c + d = 1.Viimaseid tingimusi rahuldavad korpuses Z 2 parajasti järgmised elementidekombinatsioonid:53

saadakse v~orrandisüsteem⎧⎪ ⎨⎪ ⎩m + k = a7.6 GALOIS’ KORPUSED 7 VASTUSEDa b c d1 1 1 01 1 0 11 0 1 11 0 0 00 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1Polünoom f ei tohi avalduda esimese ja neljanda astme polünoomidekorrutisena ning teise ja kolmanda astme polünoomide korrutisena.Esimesel juhul omaks f juuri korpuses Z 2 , kuid selle juhu mejuba välistasime. Seega ei tohi f avalduda kujulringis Z 2 [x]. V~ordusestf = (x 2 + kx + l)(x 3 + mx 2 + nx + t)f = (x 2 + kx + l)(x 3 + mx 2 + nx + t) == x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + 1n + km + l = bt + kn + lm = ckt + ln = dlt = 1.Peame kindlaks tegema, milliste a, b, c ja d väärtuste korral pole seesüsteem lahenduv korpuses Z 2 tundmatute k, l, m, n, t suhtes. Süsteemiviimasest v~orrandist saadakse l = t = 1 ja süsteem v~otab kuju⎧m + k = a⎪⎨n + km + 1 = b1 + kn + m = c⎪⎩k + n = d.54

7 VASTUSED 7.6 GALOIS’ KORPUSEDSaadud süsteemi esimesest ja viimasest v~orrandist saadaksem = a − k,n = d − kning seet~ottu teine ja kolmas v~orrand süsteemist v~otavad kujud + k + ak + k 2 + 1 = b, 1 + kd + k 2 + a + k = cehk k 2 + k = 0 t~ottu kuju{d + ak + 1 = ba + dk + 1 = c.Saadud süsteem on ülal tabelis esitatud juhtudel lahenduv ainult siis,kui a = 1, b = c = d = 0 v~oi a = b = c = 0, d = 1. Järelikultülejäänud juhtudel selles tabelis polünoom f on taandumatu. Olemegisaanud viienda astme taandumatud polünoomid ringist Z 2 [x]:6.4. x 3 + x + 1.6.5. x 4 + x 2 + x + 1.6.6. 5x + 3.x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1, x 5 + x 4 + x 3 + x + 1,x 5 + x 4 + x 2 + x + 1, x 5 + x 3 + x 2 + x + 1,x 5 + x 3 + 1, x 5 + x 2 + 1.55