PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 1. Křivkové integrály 1.1. Křivkový ...

14 ZDENĚK ŠIBRAVAPodle vzorce (13) pak dostáváme∮ ( ) ( )1 y3 1+ 2xy − dx +(C) x 3 y + x2 + x3dy =3∫∫ 3 ∫ π/3= (x 2 + y 2 ) dA = r 3 dϕ dr = 6524 π.M(Dvojný integrál jsme vypočítali substitucí pomocí polárních souřadnic.)Příklad 1.62. Vypočítejme obsah plochy omezené jedním obloukem cykloidy s parametrizacíψ(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t)) (a > 0), t ∈ ⟨0, 2π⟩ a osou x.Řešení: Jednoduchým důsledkem Greenovy věty je vzorec pro výpočet míry (obsahu)množiny M ohraničené uzavřenou kladně orientovanou křivkou C. Zvolíme-linapř.( xF(x, y) =2 , y , je div F(x, y) =2)1 2 + 1 2 = 1a podle vzorce (13) je∮∫ (11(14)−y dx + x dy =2 CM 2 + 1 ) ∫dA = dA = µ(M).2MObecně stačí, zvolíme-li si libovolné rovinné vektorové pole F, jehož div F = 1.Zvolíme-li např. F(x, y) = (x, 0) a z (13) dostáváme další vztah pro výpočet mírymnožiny∮ ∫ ∫(15)x dy = 1 · dA = dA = µ(M).CMV našem případě je hranice množiny M tvořena dvěma jednoduchými na sebenavazujícími křivkami C 1 a C 2 , kde C 1 je část osy x mezi body (0, 0) a (2aπ, 0) a C 2je oblouk cykloidy vycházející z bodu (2aπ, 0) a vracející se do bodu (0, 0). Hraniceje pak při takto zvolené orientaci orientována kladně. (Připomeňme jednoduchépravidlo pro určení orientace uzavřené křivky - hranice množiny: Procházíme-likřivkou ve směru zvolené orientace a máme-li uzavřenou množinu po levé ruce,je křivka orientována kladně. V případě, že množina je po pravé ruce, je křivkaorientována záporně.) Je tedyµ(M) = 1 ∮−y dx + x dy = 1 ∮−y dx + x dy + 1 ∮−y dx + x dy.2 C 2 C 12 C 2Křivku C 1 parametrizujeme funkcí ψ(t) = (t, 0), t ∈ ⟨0, 2aπ⟩. Snadno zjistíme, že∮1−y dx + x dy = 0.2 C 1Křivka C 2 je parametrizována funkcí ψ(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t)), t ∈ ⟨0, 2π⟩.Protože jsme hranici množiny orientovali kladně, postupujeme po křivce C 2 protirostoucímu parametru, a to znamená, že při výpočtu druhého integrálu musímeu tohoto integrálu změnit znaménko. Je tedy po úpravě122−y dx + x dy = −∮C 1 ∫ 2π22 a2 (−2 + 2 cos t + t sin t) dt = 3a 2 π,0π/6M