zadánÃ
zadánà zadánÃ
82 KAPITOLA 4. PLANIMETRIE34. Nechť je dána kružnice k(S, r) a bod M, pro který |MS| = d ≥ r. Nechť libovolná přímkaprocházející bodem M protíná kružnici k v bodech U, V , případně se dotýká k v bodě T .Pak platí|MU||MV | = |MT | 2 = d 2 − r 2 .Toto číslo se nazývá mocnost bodu M ke kružnici k. Uvedený vztah dokažte.35. Vyslovte a dokažte větu o tětivovém čtyřúhelníku ABCD. Věta má dát návod na to, jakze znalosti velikosti oblouků AB, BC, CD, DA zjistíme, zda je AC ⊥ BD.Řešení30. Označme D průsečík přímky CC ′ a úsečky AB. Víme, že platí| < ACD| + | < CAC ′ | = | < AC ′ D| a | < BCD| + | < CBC ′ | = | < BC ′ D|.Tedy γ ′ = γ + | < CAC ′ | + | < CBC ′ |. Tvrzení je dokázáno.Dokonce jsme udělali víc, než bylo žádáno. Ukázali jsme, o kolik je γ ′ větší než γ.31. Nechť AB je průměr kružnice k(S, r) a C její bod různý od A i B. Protože |AS| = |CS| == r, je trojúhelník ASC rovnoramenný, tedy | < ACS| = α. Podobně ukážeme, že | < BCS| =✓✏= β. Tedy γ = α + β. Ze vztahu α + β + γ = 180 ◦ plyne γ = 90 ◦ .❛ ❛|Důkaz je hotov.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Dokázána byla implikace C ∈ k ⇒ γ = 90 ◦ . Zadání úlohy však požadovalo důkaz implikace obrácené:✒✑⌣⊲⊳ γ = 90 ◦ ⇒ C ∈ k. Chyba, které jsme se dopustili, patří k nečastějším chybám v dokazování vůbec, nepouze v geometrii.Dokažme tedy implikaci: γ = 90 ◦ ⇒ C ∈ k. Důkaz provedeme sporem. Budeme předpokládat, žeγ = 90 ◦ a současně C ∉ k a dojdeme ke sporu.Jestliže tedy bod C neleží na k, leží buď uvnitř k, nebo vně k, v žádném případě však neleží na přímceAB. Označme C ′ průsečík polopřímky SC s kružnicí k. Podle omylem dokázaného tvrzení již ale víme,že γ ′ = | < AC ′ B| = 90 ◦ . Jestliže bod C leží uvnitř trojúhelníka ABC ′ , pak podle úlohy 30 je γ > 90 ◦ .To odporuje předpokladu tvrzení.Jestliže bod C leží vně trojúhelníka ABC ′ , pak bod C ′ leží uvnitř trojúhelníka ABC a podle úlohy 30je γ < 90 ◦ . To též odporuje předpokladu tvrzení. Oba uvažované případy tedy odporují předpokladu,proto nemůže současně nastat γ = 90 ◦ a C ∉ k. Tím je požadovaná implikace dokázána.Důsledek: Nechť k je kružnice o průměru AB a C bod neležící na přímce AB. Pak | < ACB| = 90 ◦ ⇔⇔ C ∈ k.32. a) Nechť S je průsečík os stran AB a BC. Protože S leží na ose úsečky AB, platí |AS| == |BS|. Protože S leží na ose úsečky BC, platí |BS| = |CS|. Odtud |AS| = |CS|, tedy S ležína ose úsečky AC.b) Nechť W je průsečík os úhlů α a β. Protože W leží na ose úhlu α, je vzdálenost W odpřímek AB a AC stejná. Protože W leží na ose úhlu β, je vzdálenost W od přímek AB a BCstejná. Odtud plyne, že vzdálenost bodu W od přímek AC a BC je stejná, tedy W leží naněkteré ze dvou os úhlů tvořených přímkami AC a BC. Ale W leží uvnitř trojúhelníka ABC,proto leží na ose úhlu ACB.
4.8. DŮKAZY 8333. Nechť E, F , G a H jsou body, v nichž se kružnice k dotýká stran AB, BC, CD, DAčtyřúhelníka ABCD v uvedeném pořadí. Protože obě tečny vedené z bodu A ke kružnici kjsou stejně dlouhé, platí |AE| = |AH|. Analogicky |BE| = |BF |, |CF | = |CG|, |DG| = |DH|.Dále |AB|+|CD| = |AE|+|EB|+|CG|+|GD| = |AH|+|BF |+|CF |+|HD| = |AD|+|BC|.Obrácená věta zní:Platí-li pro čtyřúhelník ABCD vztah |AB| + |CD| = |AD| + |BC|, pak existuje kružnice kčtyřúhelníku ABCD vepsaná.Tato věta neplatí. Protipříkladem je nekonvexní čtyřúhelník souměrný podle přímky AC.34. Klíčem k důkazu je pomocné tvrzení: Trojúhelníky MT V a MUT jsou podobné. Nejprvetoto pomocné tvrzení dokážeme.Úhel při vrcholu M mají oba trojúhelníky společný. Dále obvodový úhel T UV je shodnýs úhlem V T M. Trojúhelníky MT V a MUT se tedy shodují ve dvou úhlech, a proto jsoupodobné. Z podobnosti plyne: |MU| : |MT | = |MT | : |MV |, odtud |MT | 2 = |MU||MV |.Zbytek plyne z Pythagorovy věty aplikované na trojúhelník MT S.Tvrzení je dokázáno.35. Označme o obvod kružnice k opsané čtyřúhelníku ABCD. Dále označme α = | < CAB|,β = | < ABD|. Pak AC ⊥ BD ⇔ α + β = π 2 ⇔ ̂BC + ÂD = o 2 ⇔ ̂BC + ÂD = ÂB + ĈD.Hledané tvrzení zní: V tětivovém čtyřúhelníku ABCD je AC ⊥ BD ⇔ ̂BC +ÂD = ÂB+ĈD.Důkaz byl podán při hledání tvrzení.
- Page 31 and 32: 2.1. DĚLITELNOST 313. Zjistěte, k
- Page 33 and 34: 2.2. POČET DĚLITELŮ 3311. Nechť
- Page 35 and 36: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 35
- Page 37 and 38: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 37
- Page 39 and 40: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 39
- Page 41 and 42: 2.4. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITE
- Page 43 and 44: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 43b) x 1
- Page 45 and 46: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 45Příkl
- Page 47 and 48: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 47Realiz
- Page 49 and 50: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 49Přík
- Page 51 and 52: Kapitola 3Kombinatorika3.1 Poznámk
- Page 53 and 54: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 55 and 56: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 57 and 58: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 59 and 60: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 61 and 62: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 63 and 64: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 65 and 66: Kapitola 4PlanimetrieDomluva:• Pr
- Page 67 and 68: 4.1. JEDNODUCHÉ KONSTRUKCE 67✓
- Page 69 and 70: 4.2. KONSTRUKCE ČÍSELNÉHO VÝRAZ
- Page 71 and 72: 4.3. KONSTRUKCE S POMOCNÝM ÚTVARE
- Page 73 and 74: 4.4. KONSTRUKCE POMOCÍ TRANSFORMAC
- Page 75 and 76: 4.5. OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY 754.5 O
- Page 77 and 78: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7719.
- Page 79 and 80: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7924.
- Page 81: 4.8. DŮKAZY 8128. Označme Q průs
- Page 85: Obsah1 Rovnice 51.1 Slovní rovnice
4.8. DŮKAZY 8333. Nechť E, F , G a H jsou body, v nichž se kružnice k dotýká stran AB, BC, CD, DAčtyřúhelníka ABCD v uvedeném pořadí. Protože obě tečny vedené z bodu A ke kružnici kjsou stejně dlouhé, platí |AE| = |AH|. Analogicky |BE| = |BF |, |CF | = |CG|, |DG| = |DH|.Dále |AB|+|CD| = |AE|+|EB|+|CG|+|GD| = |AH|+|BF |+|CF |+|HD| = |AD|+|BC|.Obrácená věta zní:Platí-li pro čtyřúhelník ABCD vztah |AB| + |CD| = |AD| + |BC|, pak existuje kružnice kčtyřúhelníku ABCD vepsaná.Tato věta neplatí. Protipříkladem je nekonvexní čtyřúhelník souměrný podle přímky AC.34. Klíčem k důkazu je pomocné tvrzení: Trojúhelníky MT V a MUT jsou podobné. Nejprvetoto pomocné tvrzení dokážeme.Úhel při vrcholu M mají oba trojúhelníky společný. Dále obvodový úhel T UV je shodnýs úhlem V T M. Trojúhelníky MT V a MUT se tedy shodují ve dvou úhlech, a proto jsoupodobné. Z podobnosti plyne: |MU| : |MT | = |MT | : |MV |, odtud |MT | 2 = |MU||MV |.Zbytek plyne z Pythagorovy věty aplikované na trojúhelník MT S.Tvrzení je dokázáno.35. Označme o obvod kružnice k opsané čtyřúhelníku ABCD. Dále označme α = | < CAB|,β = | < ABD|. Pak AC ⊥ BD ⇔ α + β = π 2 ⇔ ̂BC + ÂD = o 2 ⇔ ̂BC + ÂD = ÂB + ĈD.Hledané tvrzení zní: V tětivovém čtyřúhelníku ABCD je AC ⊥ BD ⇔ ̂BC +ÂD = ÂB+ĈD.Důkaz byl podán při hledání tvrzení.
Change language