zadání

4.8. DŮKAZY 8128. Označme Q průsečík AC, BE. Pak |AED| = |ABCD|4= 12 4= 3. Dále podle důsledkuz řešení úlohy 27 lehce najdeme |ABQ| = 4, |BCQ| = |AEQ| = 2, |CEQ| = 1.29. Protože P M je střední příčka v trojúhelníku BQR, je S 1 = 3|BP M| = 3. TrojúhelníkBCR je úsečkou RQ dělen na dva trojúhelníky, poměr jejichž obsahů je 1 : 2. OdtudS 2 = 1 2 |BQR| = 4 2 = 2. Dále |BCR| = |BAR| a |BAP | = 1 2 |CAP |. Odtud S 3 + S 4 = 6,S 4 + 1 = 1 2 (S 2 + S 3 + S 1 ), a tedy S 3 = S 4 = 3.4.8 DůkazyPříklad 11Dokažte, že v libovolném konvexním čtyřúhelníku ABCD platí|AB| + |CD| < |AC| + |BD|. Je podmínka konvexnosti nutná?ŘešeníVhled: Lehce nahlédneme, že podmínka konvexnosti nutná je. Nekonvexní čtyřúhelník, ve kterémvrcholy A a C i vrcholy B, D jsou blízko sebe, danou nerovnost nesplňuje (viz obrázek).V případě konvexního čtyřúhelníka označme průsečíkúhlopříček BD, AC jako S. Bod S rozdělí každou z úhlopříček na dvě úsečky. Uvažujmeo použití trojúhelníkové nerovnosti.Strategie: Použijeme trojúhelníkovou nerovnost na každý z trojúhelníků ASB a CSD.Důkaz:Platí |AB| < |AS| + |BS|, |CD| < |SC| + |SD|; sečtením pak dostaneme|AB| + |CD| < |AS| + |SC| + |BS| + |SD| = |AC| + |BD|.Úlohy30. Uvnitř trojúhelníka ABC je dán bod C ′ . Označme | < AC ′ B| = γ ′ . Dokažte, že γ < γ ′ .31. Nechť ABC je pravoúhlý trojúhelník. Označme S = A − • − B. Dokažte, že vrchol C ležína kružnici k(S, c 2 ).32. Dokažte, že a) osy stran, b) osy úhlů trojúhelníka ABC se protínají v jediném bodě.33. Dokažte, že je-li čtyřúhelníku ABCD vepsána kružnice k, pak |AB|+|CD| = |AD|+|BC|.Platí i věta obrácená?