zadání

80 KAPITOLA 4. PLANIMETRIE4.7 ObsahyPříklad 10Pravidelný osmiúhelník ABCDEF GH je úhlopříčkou AD rozdělen na dvěčásti. Obsah menší části je S. Jaký je obsah větší části?Řešení IVhled: Rozdělme osmiúhelník úhlopříčkami AD, HE, BG a CF na 9 útvarů: čtyři rovnoramennépravoúhlé trojúhelníky, čtyři obdélníky a jeden čtverec.Řešení IIStrategie: Zvolme délku strany AB a vypočtěme obsahkaždého z devíti útvarů.Výpočet: Zvolíme-li délku strany AB rovnou 2, pakkaždý ze čtyř trojúhelníků bude mít obsah 1 (stranytrojúhelníka jsou √ 2, √ 2, 2), každý ze čtyř obdélníkůbude mít obsah √ 8 (strany obdélníku jsou √ 2 a 2)a čtverec bude mít obsah 4. Pak S = 1 + √ 8 + 1 == 2( √ 2 + 1) a T = 2 + 3 √ 8 + 4 = 3S.Výsledek: Obsah zbytku je 3S.Když prostřední čtverec rozdělíme úhlopříčkami na čtyři rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky,bude každý z nich shodný s těmi, které již v rozkladu existují. Teď tedy bude osmiúhelník rozdělenna 12 útvarů, z nich je osm shodných trojúhelníků a čtyři shodné obdélníky. LichoběžníkABCD obsahuje dva trojúhelníky a jeden obdélník, šestiúhelník ADEF GH obsahuje šesttrojúhelníků a tři obdélníky. Má tedy obsah roven 3S.Úlohy27. V lichoběžníku ABCD označme Q průsečík úhlopříček AC, BD. Dále označme v jehovýšku a a = |AB|, b = |CD| jeho základny. Stanovte obsahy S 1 = |ABQ|, S 2 = |BCQ|,S 3 = |CDQ|, S 4 = |DAQ|, znáte-li a) velikosti a, b, v, b) S 1 = 9, S 2 = 6.28. V obdélníku ABCD s obsahem 12 je E = C − • − D. Úsečky AE, BE, AC rozdělíobdélník na pět trojúhelníků. Zjistěte obsah každého z nich.29. Na straně BC trojúhelníka ABC jsou dány body P , Q tak, že |BP | = |P Q| = |QC|.Dále je dán bod R = A − • − C a průsečík {M} = AP ∩ BR. Víte-li, že |BP M| = 1, určeteobsahy S 1 = |P MRQ|, S 2 = |CRQ|, S 3 = |AMR|, S 4 = |ABM|.Řešení27. a) Obsahy jsou S 1 = pa 2 , S 2 = S 4 = pab, S 3 = pb 2 , kde p = v2(a+b) .Důsledek: S 2 = S 4 a S 1 S 3 = S 2 2b) Podle důsledku lehce vypočteme S 3 = 4, S 4 = 6.