zadánÃ
zadánà zadánÃ
8 KAPITOLA 1. ROVNICE20 let. Její mamince je tedy 40 a Honzovi 16. Za čtyři roky bude Honzovi 20, Mařence 24✓✏a mamince 44. Máme řešení.❛ ❛|Odpověď: Mařenka oslavuje dvacáté narozeniny.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Chyba, které jsme se dopustili, spočívá v tom, že jsme neprověřili, zda neexistuje i jiné řešení. Ono✒✑⌣⊲⊳ existuje. Zkusme například předpokládat, že Mařence je dnes 21. Lehce prověříme, že i pro toto číslobudou podmínky úlohy splněny. Podobně bychom uspěli i s dalšími čísly 22, 23,. . . .Z uvedených údajů nelze jednoznačně určit dnešní věk Mařenky. Nahlédneme to pomocí známé tabulkovémetody. Označme dnešní věk Mařenky x. Pak všechny další hodnoty jsou dány tabulkou:Mařenka Honza Maminkadnes x x − 4 2xpotom x + 4 x 2x + 4Z tabulky je vidět, že ať volíme x jakkoli, všechny vazby zadání jsou z matematického hlediska splněny.Nelze však říci, že x může být jakékoli číslo. Kromě matematických vazeb dává kontext úlohy i vazby nareálné situace. Zde však nelze tak jednoznačně určit hranice možného a nemožného jako v matematice.Metoda pokus omyl je užitečná při nabývání vhledu do problémové situace. Zřídka však umožňujenajít všechna řešení. Proto je nutné doplnit ji přesnější metodou.3. a) Otci je 41 let. b) Otci je 35 let.4. Uvažujeme čtyři časové hladiny: (A) otci bylo 20, (B) syn se narodil, (C) dnes, (D) synovibude tolik, co bylo matce v době (A).Označíme-li dnešní věk otce o, matky m, syna s, bude situace uchopena tabulkou:A B C Dotec 20 o − s o 43matka 20 + m − o m − s m 43 + m − osyn – 0 s 20 + m − oK této tabulce je nutno dodat podmínky: o = m+s a o+m−2s = 50. Ze sloupce (D) vidíme,že matka je o 23 let starší než syn. Pak m = 23 + s, o = 23 + 2s a ze vztahu o + m − 2s = 50pak dostáváme s = 4.Odpověď: Dnes je otci 31 let, matce 27 let a synovi jsou 4 roky.5. Janě je dnes 15 let.6. Za 1 hodinu nateče prvním přítokem 1 9 nádrže, druhým přítokem 1 6nádrže. Tedy oběmapřítoky současně nateče za hodinu 1 9 + 1 6 = 518nádrže. Třetina nádrže pak oběma přítokynateče za 1 3 / 518 = 6 5hodiny, tj. 72 minut.Odpověď: Oba přítoky musí být ještě puštěny 72 minut.7. a) Prvním přítokem se bazén naplní za 14 hodin.b) Nádržka se druhým kohoutem naplní za 15 hodin.8. První závod splní objednávku za 10 dní, druhý za 14 dní.
1.1. SLOVNÍ ROVNICE 99. Stačí, když načrtneme úsečku AB a na ní dva body: polohu kina K a bod P , ve kterém bylPetr v okamžiku, kdy Milan vystupoval na zastávce B z tramvaje. Protože v tom okamžikujsou oba chlapci stejně daleko od kina K, je K středem úsečky P B. Tedy |AK| : |AB| = 1 : 5.Za stejný čas ujede tramvaj pětinásobek toho, co ujde Petr.Odpověď: Rychlost tramvaje je pětkrát větší než rychlost chůze každého z chlapců.vzdálenostBK✂✂✂P ✂✧A ✂✧ ✂❜ ❜❜❜❜❜ Milan✂✂tramvaj ✧✧✧✧✧ Petr✧čas10. Označme x dobu (v hodinách), za kterou ujelo dráhu z A do B osobní auto. Pak nákladníauto ujelo tuto dráhu za x + 1 3 hodiny. Rychlost osobního auta byla 48 x(v km/h) a nákladního. Rozdíl obou čísel je 12. To vede na kvadratickou rovnici 3x 2 + x − 4 = 0, odkud x 1 = 1,48x+ 1 3x 2 = − 4 3. Smysl dává pouze kladný kořen.Odpověď: Průměrná rychlost osobního auta byla 48 km/h a nákladního 36 km/h.11. Chodec A šel rychlostí 5,6 km/h.12. Přehledně je situace uchopena grafikonem pohybu, který úlohu převádí na úlohu geometrickou.Z podobnosti trojúhelníků ACE, ADF a HGF máme y 40 = 3540+z = x 50 . Z podobnostitrojúhelníků BCE a BDG máme y 15 = 35+x15+z. Odtud x = 25, y = 20, z = 30.dráha (km)GQHxBG. . . grafikon autaAH. . . grafikon cyklistyF35✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✓ ✓✓✓✓✓✓✓✓Eyčas (min.)A 25 B 15 C z D 50Odpověď: Vzdálenost měst je 60 km, rychlost cyklisty je 30 km/h, rychlost auta 80 km/h.13. Potkají se v 19.00.14. Postup dvou přelévání zachytíme tabulkou, ve které druhý sloupec popisuje výchozí stav,třetí sloupec stav po prvním přelití a čtvrtý sloupec stav závěrečný, tj. po druhém přelití.
- Page 3: 3ÚvodSeminář z elementární mat
- Page 6 and 7: 6 KAPITOLA 1. ROVNICEPříklad 2Vod
- Page 11 and 12: 1.2. KVADRATICKÉ ROVNICE 11Přípa
- Page 13 and 14: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 131.3
- Page 15 and 16: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 15Ře
- Page 17 and 18: 1.5. LOGARITMICKÉ A EXPONENCIÁLN
- Page 19 and 20: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 21 and 22: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 23 and 24: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 23Realiz
- Page 25 and 26: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 25y−2
- Page 27 and 28: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 27f) p =
- Page 29 and 30: Kapitola 2Teorie číselDomluva:•
- Page 31 and 32: 2.1. DĚLITELNOST 313. Zjistěte, k
- Page 33 and 34: 2.2. POČET DĚLITELŮ 3311. Nechť
- Page 35 and 36: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 35
- Page 37 and 38: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 37
- Page 39 and 40: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 39
- Page 41 and 42: 2.4. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITE
- Page 43 and 44: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 43b) x 1
- Page 45 and 46: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 45Příkl
- Page 47 and 48: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 47Realiz
- Page 49 and 50: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 49Přík
- Page 51 and 52: Kapitola 3Kombinatorika3.1 Poznámk
- Page 53 and 54: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 55 and 56: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 57 and 58: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
8 KAPITOLA 1. ROVNICE20 let. Její mamince je tedy 40 a Honzovi 16. Za čtyři roky bude Honzovi 20, Mařence 24✓✏a mamince 44. Máme řešení.❛ ❛|Odpověď: Mařenka oslavuje dvacáté narozeniny.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Chyba, které jsme se dopustili, spočívá v tom, že jsme neprověřili, zda neexistuje i jiné řešení. Ono✒✑⌣⊲⊳ existuje. Zkusme například předpokládat, že Mařence je dnes 21. Lehce prověříme, že i pro toto číslobudou podmínky úlohy splněny. Podobně bychom uspěli i s dalšími čísly 22, 23,. . . .Z uvedených údajů nelze jednoznačně určit dnešní věk Mařenky. Nahlédneme to pomocí známé tabulkovémetody. Označme dnešní věk Mařenky x. Pak všechny další hodnoty jsou dány tabulkou:Mařenka Honza Maminkadnes x x − 4 2xpotom x + 4 x 2x + 4Z tabulky je vidět, že ať volíme x jakkoli, všechny vazby zadání jsou z matematického hlediska splněny.Nelze však říci, že x může být jakékoli číslo. Kromě matematických vazeb dává kontext úlohy i vazby nareálné situace. Zde však nelze tak jednoznačně určit hranice možného a nemožného jako v matematice.Metoda pokus omyl je užitečná při nabývání vhledu do problémové situace. Zřídka však umožňujenajít všechna řešení. Proto je nutné doplnit ji přesnější metodou.3. a) Otci je 41 let. b) Otci je 35 let.4. Uvažujeme čtyři časové hladiny: (A) otci bylo 20, (B) syn se narodil, (C) dnes, (D) synovibude tolik, co bylo matce v době (A).Označíme-li dnešní věk otce o, matky m, syna s, bude situace uchopena tabulkou:A B C Dotec 20 o − s o 43matka 20 + m − o m − s m 43 + m − osyn – 0 s 20 + m − oK této tabulce je nutno dodat podmínky: o = m+s a o+m−2s = 50. Ze sloupce (D) vidíme,že matka je o 23 let starší než syn. Pak m = 23 + s, o = 23 + 2s a ze vztahu o + m − 2s = 50pak dostáváme s = 4.Odpověď: Dnes je otci 31 let, matce 27 let a synovi jsou 4 roky.5. Janě je dnes 15 let.6. Za 1 hodinu nateče prvním přítokem 1 9 nádrže, druhým přítokem 1 6nádrže. Tedy oběmapřítoky současně nateče za hodinu 1 9 + 1 6 = 518nádrže. Třetina nádrže pak oběma přítokynateče za 1 3 / 518 = 6 5hodiny, tj. 72 minut.Odpověď: Oba přítoky musí být ještě puštěny 72 minut.7. a) Prvním přítokem se bazén naplní za 14 hodin.b) Nádržka se druhým kohoutem naplní za 15 hodin.8. První závod splní objednávku za 10 dní, druhý za 14 dní.
Change language