zadánÃ
zadánà zadánÃ
76 KAPITOLA 4. PLANIMETRIE✓✏ ❛ ❛✒✑⌣⊲⊳ V případě, že úsečka AB je kolmá na přímku p, má úloha dvě řešení souměrná podle přímky AB.V celém řešení je ale vážnější nedostatek. Je opomenut případ, kdyúsečka AB neprotíná přímku p. Naštěstí tento případ lze lehce převést na případ předešlý:Sestrojíme bod B ′ souměrný s bodem B podle přímky p. Stejnějako v prvním případě najdeme body X, Y tak, aby délka|AX|+|XY |+|Y B ′ | byla minimální. Tvrdíme, že stejné body X, Y jsou řešením i pro bod B. To plyneokamžitě ze skutečnosti, že každé lomené čáře AUV B ′ jednoznačně odpovídá stejně dlouhá lomenáčára AUV B.Úlohy17. Do pravoúhlého trojúhelníka ABC, a < b < c vepište obdélník CXY Z (X ∈ AC,Y ∈ AB, Z ∈ BC) tak, aby a) úsečka XZ byla co nejkratší, b) úsečka XZ byla co nejdelší,c) obsah obdélníka CXY Z byl co největší.18. Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Na úsečce AB zvolme bod X. Sestrojme body Y , Zsouměrné s bodem X podle přímek AC, BC. Najděte takovou polohu bodu X, aby úsečkaY Z byla co nejkratší.19. Jsou dány různé kružnice i(I, a), j(J, b) procházející společným bodem M. Najdětepřímku m procházející bodem M tak, aby velikost úsečky UV byla co největší; body U, Vpodle obrázku.Řešení17. a) Klíč: Úhlopříčky XZ a CY jsou shodné. Tedy XZ je nejkratší, když i CY je nejkratší.To nastává tehdy, když CY je výška v trojúhelníku ABC.b) XZ je nejdelší, když i CY je nejdelší. To nikdy nenastává. Čím blíže je bod Y k bodu A,tím je CY delší, ale bod Y s bodem A splynout nesmí, protože by zanikl obdélník AXY Z.Tedy ke každé poloze bodu Y lze najít polohu „lepší, například Y −•−A. Řešení neexistuje.c) Sestrojme body P = s X (A), Q = s Z (B) a všimněme si, že čtyřúhelník ABQP se skládáze čtyř pravoúhlých trojúhelníků AY X, P Y X, BY Z, QY Z, pričemž první dva jsou shodnéi druhé dva jsou shodné. Obsah |ABQP | je tedy roven dvojnásobku součtu obsahů |AY X|a |BY Z|, což je dvojnásobek rozdílu obsahu |ABC| a obsahu |CXY Z|. Tedy |ABQP | == 2|AY X| + 2|BY Z| = 2(|ABC| − |CXY Z|), odkud |CXY Z| = |ABC| − 1 2 |ABQP | == 1 2(|ABC| − |P CQ|). Proto obsah čtyřúhelníka CXY Z bude největší, když obsah trojúhelníkaP CQ bude nejmenší. To nastane v případě, že trojúhelník P CQ degeneruje do bodu, tj.P = C = Q. V tomto případě je X = A − • − C, Y = A − • − B, Z = B − • − C a obsahčtyřúhelníka CXY Z je polovina obsahu trojúhelníka ABC.18. Klíč: Trojúhelník Y ZC je rovnoramenný a | < Y CZ| = 2γ. Hledaný bod X je pata výškyspuštěné z bodu C na stranu AB.Zdůvodnění: Trojúhelník XCY , resp. XCZ je rovnoramenný a přímka AC, resp. BC je jehoosou souměrnosti. Proto je | < Y CZ| = 2| < ACB| nezávislý na bodu X a |Y C| = |ZC|.Tedy |Y Z| je minimální, když |CY | je minimální a to nastává, když |CX| je minimální.
4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7719. Označme P , resp. Q patu kolmice spuštěné na m z bodu I, resp. J. Protože P = U −•−M,Q = V − • − M, je |UV | = 2|P Q|.Konstrukce: m ‖ IJZdůvodnění: Nechť R je průsečík kolmice vedené bodem I k přímce m a rovnoběžky vedenébodem J s přímkou m. Platí |UV | = 2|P Q| = 2|JR| ≤ 2|IJ|, přičemž rovnost nastává, právěkdyž je R = I, tj. m ‖ IJ.4.6 Výpočty v planimetriiPříklad 8Pravoúhlý trojúhelník má obvod o = 52 a obsah S = 120. Vypočtěte velikost wpoloměru kružnice trojúhelníku vepsané a přeponu c.ŘešeníVhled: Standardní přístup je využít pro délky stran a, b, c Pythagorovu větu, ale údaj o obvodua obsahu je dosti početně náročný. Daleko rychlejší je uvědomit si, že v každém trojúhelníkuplatí ow = 2S.Strategie: Z daných údajů vypočteme w a ze vztahu c = a + b − 2w určíme c.Výpočet: Protože 240 = 52w, je w = 6013. Dále tedy o = a + b + c = 2(c + w), odkudc = o 602− w = 26 −13 = 27813 .✓✏ ❛ ❛|Výsledek: w = 6013 , c = 27813 .✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Řešení je špatné. Vše bylo zjištěno pouze pomocí vzorců a nepřesvědčili jsme se, zda daný trojúhelník✒✑⌣⊲⊳ existuje. Pokusme se vypočítat strany a, b. Víme, že a + b = c + 2w = 39813a ab = 2S = 240. Odtuda 2 − 39813a + 240 = 0. Diskriminant této kvadratické rovnice je záporné číslo (přibližně −22, 7), tedytrojúhelník neexistuje. Standardní způsob se tedy ukázal jako vhodnější než naše „zkratka.Opravený výsledek: Trojúhelník ze zadání neexistuje.
- Page 25 and 26: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 25y−2
- Page 27 and 28: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 27f) p =
- Page 29 and 30: Kapitola 2Teorie číselDomluva:•
- Page 31 and 32: 2.1. DĚLITELNOST 313. Zjistěte, k
- Page 33 and 34: 2.2. POČET DĚLITELŮ 3311. Nechť
- Page 35 and 36: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 35
- Page 37 and 38: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 37
- Page 39 and 40: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 39
- Page 41 and 42: 2.4. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITE
- Page 43 and 44: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 43b) x 1
- Page 45 and 46: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 45Příkl
- Page 47 and 48: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 47Realiz
- Page 49 and 50: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 49Přík
- Page 51 and 52: Kapitola 3Kombinatorika3.1 Poznámk
- Page 53 and 54: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 55 and 56: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 57 and 58: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 59 and 60: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 61 and 62: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 63 and 64: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 65 and 66: Kapitola 4PlanimetrieDomluva:• Pr
- Page 67 and 68: 4.1. JEDNODUCHÉ KONSTRUKCE 67✓
- Page 69 and 70: 4.2. KONSTRUKCE ČÍSELNÉHO VÝRAZ
- Page 71 and 72: 4.3. KONSTRUKCE S POMOCNÝM ÚTVARE
- Page 73 and 74: 4.4. KONSTRUKCE POMOCÍ TRANSFORMAC
- Page 75: 4.5. OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY 754.5 O
- Page 79 and 80: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7924.
- Page 81 and 82: 4.8. DŮKAZY 8128. Označme Q průs
- Page 83 and 84: 4.8. DŮKAZY 8333. Nechť E, F , G
- Page 85: Obsah1 Rovnice 51.1 Slovní rovnice
4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7719. Označme P , resp. Q patu kolmice spuštěné na m z bodu I, resp. J. Protože P = U −•−M,Q = V − • − M, je |UV | = 2|P Q|.Konstrukce: m ‖ IJZdůvodnění: Nechť R je průsečík kolmice vedené bodem I k přímce m a rovnoběžky vedenébodem J s přímkou m. Platí |UV | = 2|P Q| = 2|JR| ≤ 2|IJ|, přičemž rovnost nastává, právěkdyž je R = I, tj. m ‖ IJ.4.6 Výpočty v planimetriiPříklad 8Pravoúhlý trojúhelník má obvod o = 52 a obsah S = 120. Vypočtěte velikost wpoloměru kružnice trojúhelníku vepsané a přeponu c.ŘešeníVhled: Standardní přístup je využít pro délky stran a, b, c Pythagorovu větu, ale údaj o obvodua obsahu je dosti početně náročný. Daleko rychlejší je uvědomit si, že v každém trojúhelníkuplatí ow = 2S.Strategie: Z daných údajů vypočteme w a ze vztahu c = a + b − 2w určíme c.Výpočet: Protože 240 = 52w, je w = 6013. Dále tedy o = a + b + c = 2(c + w), odkudc = o 602− w = 26 −13 = 27813 .✓✏ ❛ ❛|Výsledek: w = 6013 , c = 27813 .✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Řešení je špatné. Vše bylo zjištěno pouze pomocí vzorců a nepřesvědčili jsme se, zda daný trojúhelník✒✑⌣⊲⊳ existuje. Pokusme se vypočítat strany a, b. Víme, že a + b = c + 2w = 39813a ab = 2S = 240. Odtuda 2 − 39813a + 240 = 0. Diskriminant této kvadratické rovnice je záporné číslo (přibližně −22, 7), tedytrojúhelník neexistuje. Standardní způsob se tedy ukázal jako vhodnější než naše „zkratka.Opravený výsledek: Trojúhelník ze zadání neexistuje.
Change language