zadání

76 KAPITOLA 4. PLANIMETRIE✓✏ ❛ ❛✒✑⌣⊲⊳ V případě, že úsečka AB je kolmá na přímku p, má úloha dvě řešení souměrná podle přímky AB.V celém řešení je ale vážnější nedostatek. Je opomenut případ, kdyúsečka AB neprotíná přímku p. Naštěstí tento případ lze lehce převést na případ předešlý:Sestrojíme bod B ′ souměrný s bodem B podle přímky p. Stejnějako v prvním případě najdeme body X, Y tak, aby délka|AX|+|XY |+|Y B ′ | byla minimální. Tvrdíme, že stejné body X, Y jsou řešením i pro bod B. To plyneokamžitě ze skutečnosti, že každé lomené čáře AUV B ′ jednoznačně odpovídá stejně dlouhá lomenáčára AUV B.Úlohy17. Do pravoúhlého trojúhelníka ABC, a < b < c vepište obdélník CXY Z (X ∈ AC,Y ∈ AB, Z ∈ BC) tak, aby a) úsečka XZ byla co nejkratší, b) úsečka XZ byla co nejdelší,c) obsah obdélníka CXY Z byl co největší.18. Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Na úsečce AB zvolme bod X. Sestrojme body Y , Zsouměrné s bodem X podle přímek AC, BC. Najděte takovou polohu bodu X, aby úsečkaY Z byla co nejkratší.19. Jsou dány různé kružnice i(I, a), j(J, b) procházející společným bodem M. Najdětepřímku m procházející bodem M tak, aby velikost úsečky UV byla co největší; body U, Vpodle obrázku.Řešení17. a) Klíč: Úhlopříčky XZ a CY jsou shodné. Tedy XZ je nejkratší, když i CY je nejkratší.To nastává tehdy, když CY je výška v trojúhelníku ABC.b) XZ je nejdelší, když i CY je nejdelší. To nikdy nenastává. Čím blíže je bod Y k bodu A,tím je CY delší, ale bod Y s bodem A splynout nesmí, protože by zanikl obdélník AXY Z.Tedy ke každé poloze bodu Y lze najít polohu „lepší, například Y −•−A. Řešení neexistuje.c) Sestrojme body P = s X (A), Q = s Z (B) a všimněme si, že čtyřúhelník ABQP se skládáze čtyř pravoúhlých trojúhelníků AY X, P Y X, BY Z, QY Z, pričemž první dva jsou shodnéi druhé dva jsou shodné. Obsah |ABQP | je tedy roven dvojnásobku součtu obsahů |AY X|a |BY Z|, což je dvojnásobek rozdílu obsahu |ABC| a obsahu |CXY Z|. Tedy |ABQP | == 2|AY X| + 2|BY Z| = 2(|ABC| − |CXY Z|), odkud |CXY Z| = |ABC| − 1 2 |ABQP | == 1 2(|ABC| − |P CQ|). Proto obsah čtyřúhelníka CXY Z bude největší, když obsah trojúhelníkaP CQ bude nejmenší. To nastane v případě, že trojúhelník P CQ degeneruje do bodu, tj.P = C = Q. V tomto případě je X = A − • − C, Y = A − • − B, Z = B − • − C a obsahčtyřúhelníka CXY Z je polovina obsahu trojúhelníka ABC.18. Klíč: Trojúhelník Y ZC je rovnoramenný a | < Y CZ| = 2γ. Hledaný bod X je pata výškyspuštěné z bodu C na stranu AB.Zdůvodnění: Trojúhelník XCY , resp. XCZ je rovnoramenný a přímka AC, resp. BC je jehoosou souměrnosti. Proto je | < Y CZ| = 2| < ACB| nezávislý na bodu X a |Y C| = |ZC|.Tedy |Y Z| je minimální, když |CY | je minimální a to nastává, když |CX| je minimální.