zadánÃ
zadánà zadánÃ
74 KAPITOLA 4. PLANIMETRIE✓✏ ❛ ❛|Diskuse: Úloha má čtyři řešení, když se k 2 a k 3 protínají ve dvou bodech. Když se tyto✒✑⌢⊲⊳ kružnice dotýkají, úloha má dvě řešení. Když nemají společný bod, úloha nemá žádné řešení.✓✏ ❛ ❛ Naší pozornosti unikly dvě věci. Když kružnice k 2 a k 3 splývají, existuje nekonečně mnoho řešení;✒✑⌣⊲⊳ když průsečík těchto kružnic leží na přímce p, nemůže být vrcholem hledaného trojúhelníka – takovýpřípad nutno vyloučit.13. Klíčem je otáčení o 60 ◦ kolem vrcholu hledaného trojúhelníka.Konstrukce: Nechť k a , k b , k c jsou tři soustředné kružnice. Zvolme bod A ∈ k a a sestrojmekružnici k b ′, resp. k b” , která vznikne otočením kružnice k b kolem bodu A o úhel 60 ◦ , resp.−60 ◦ . Nechť C 1 , C 2 jsou průsečíky kružnic k c a k b ′ a C 3 , C 4 průsečíky kružnic k c a k b” .Otočením opačným k otočení, kterým vznikly kružnice k b ′ a k b ′′, dostaneme z každého z bodůC i příslušný bod B i . O tom, zda úloha má řešení, rozhoduje vzájemná poloha kružnic k c , k b ′(ta je stejná jako vzájemná poloha kružnic k c , k b” ). Nemají-li tyto kružnice společný bod,úloha nemá řešení. To nastává, právě když poloměr největší z kružnic k a , k b , k c je větší nežsoučet poloměrů zbylých dvou kružnic. Dvě řešení jsou v případě, když nastává rovnost, ačtyři řešení, když je zmíněný poloměr menší než součet poloměrů zbylých dvou kružnic.14. a) Nechť k ′ je obraz kružnice k ve stejnolehlosti f se středem P a koeficientem 2. Každýz průsečíků kružnic k, k ′ je bodem B. Úloha má právě dvě/jedno/žádné řešení, když|SP | < 3r/|SP | = 3r/|SP | > 3r.b) Nechť UV je tětiva kružnice k délky r. Nechť k ′ je kružnice se středem S dotýkající sepřímky UV . Tečna z bodu P ke kružnici k ′ je přímka p. Úloha má vždy dvě řešení.15. Klíč: Složením tří osových souměrností, jejichž osy procházejí společným bodem, dosta-opět osovou souměrnost.✓✏neme❛ ❛|Konstrukce: 1. zvolme bod X ∈ k; 2. bod Y = (s o ◦ s q ◦ s p )(X); 3. střed Z = X − • − Y ;✒✑⌢⊲⊳ 4. průsečík přímky ZS a kružnice je hledaný vrchol A; 5. B = s p (A), C = s o (A).Diskuse: Úloha má vždy dvě řešení, ta jsou středově souměrná podle středu S.✓✏ ❛ ❛ V případě, že Z = S, je čtvrtý krok konstrukce špatně popsaný, protože přímka ZS neexistuje. Nutno✒✑⌣⊲⊳ vzít místo ní osu úsečky XY .16. Klíč: Složením lichého počtu středových souměrností je opět středová souměrnost.Konstrukce: (Středovou souměrnost podle bodu S i označme s i .) 1. libovolně zvolíme bod X;2. bod Y = (s 5 ◦ s 4 ◦ s 3 ◦ s 2 ◦ s 1 )(X); 3. A 1 = X − • − Y ; 4. A 2 = s 1 (A 1 ), . . . .Diskuse: Nutno prověřit, zda sestrojený „pětiúhelník je opravdu pětiúhelníkem.Zdůvodnění: Vázaný vektor −−→ A 1 X se při každé středové souměrnosti přemístí do vázanéhovektoru opačně orientovaného. Po pěti středových souměrnostech bude tedy vektorem −−→ A 1 Y .
4.5. OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY 754.5 Optimalizační úlohyPříklad 6Úsečka AB nemá s přímkou p společný žádný bod. Najděte na přímce p bod Xtak, aby součet f = |AX| + |XB| byl co nejmenší.ŘešeníVhled: Klíčem k řešení je bod B ′ souměrný s bodem Bpodle přímky p. Pro libovolný bod Y na p pak platí |BY | = |B ′ Y |, tedy f = |AY | + |Y B ′ |.Tato velikost je nejkratší tenkrát, když lomená čára AY B ′ je úsečkou.Konstrukce:Sestrojme bod B ′ = s p (B), pak {X} = AB ′ ∩ p.Diskuse: Úloha má vždy jediné řešení.Příklad 7Je dána přímka p, mimo ni body A, B, A ≠ B, a délka d > 0. Na p sestrojteúsečku XY délky d tak, aby délka f = |AX| + |XY | + |Y B| byla minimální.ŘešeníVhled: Uvažujme případ, kdy úsečka AB protíná přímku p.Zvolme libovolně úsečku UV délky d na přímce p a sestrojme body P , Q tak, aby AV UPa AUV Q byly rovnoběžníky. Délka lomené čáry BV UA je teď f = |BV | + |V Q| + d a délkalomené čáry BUV A je g = |BU| + |UP | + d. Nechme úsečku UV „klouzat po přímce p a dívejmese, co se děje s délkami f, g.Strategie: Protože body P a Q jsou pevné, bude f nejkratší pro {V } = BQ ∩ p a g nejkratšípro {U} = BP ∩ p.Konstrukce:a) body P , Q jako průsečíky q ∩ k, kde k je kružnice k(A, d) a q je rovnoběžka s p vedenábodem A;b) zjistíme, která z úseček BP a BQ je kratší; nechť je například |BQ| ≤ |BP |;c) položíme {Y } = BQ ∩ p;d) hledaný bod X je vrchol rovnoběžníku AXY Q.✓✏ ❛ ❛|Diskuse: Úloha má vždy jediné řešení.✒✑⌢⊲⊳
- Page 23 and 24: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 23Realiz
- Page 25 and 26: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 25y−2
- Page 27 and 28: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 27f) p =
- Page 29 and 30: Kapitola 2Teorie číselDomluva:•
- Page 31 and 32: 2.1. DĚLITELNOST 313. Zjistěte, k
- Page 33 and 34: 2.2. POČET DĚLITELŮ 3311. Nechť
- Page 35 and 36: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 35
- Page 37 and 38: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 37
- Page 39 and 40: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 39
- Page 41 and 42: 2.4. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITE
- Page 43 and 44: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 43b) x 1
- Page 45 and 46: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 45Příkl
- Page 47 and 48: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 47Realiz
- Page 49 and 50: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 49Přík
- Page 51 and 52: Kapitola 3Kombinatorika3.1 Poznámk
- Page 53 and 54: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 55 and 56: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 57 and 58: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 59 and 60: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 61 and 62: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 63 and 64: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 65 and 66: Kapitola 4PlanimetrieDomluva:• Pr
- Page 67 and 68: 4.1. JEDNODUCHÉ KONSTRUKCE 67✓
- Page 69 and 70: 4.2. KONSTRUKCE ČÍSELNÉHO VÝRAZ
- Page 71 and 72: 4.3. KONSTRUKCE S POMOCNÝM ÚTVARE
- Page 73: 4.4. KONSTRUKCE POMOCÍ TRANSFORMAC
- Page 77 and 78: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7719.
- Page 79 and 80: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7924.
- Page 81 and 82: 4.8. DŮKAZY 8128. Označme Q průs
- Page 83 and 84: 4.8. DŮKAZY 8333. Nechť E, F , G
- Page 85: Obsah1 Rovnice 51.1 Slovní rovnice
4.5. OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY 754.5 Optimalizační úlohyPříklad 6Úsečka AB nemá s přímkou p společný žádný bod. Najděte na přímce p bod Xtak, aby součet f = |AX| + |XB| byl co nejmenší.ŘešeníVhled: Klíčem k řešení je bod B ′ souměrný s bodem Bpodle přímky p. Pro libovolný bod Y na p pak platí |BY | = |B ′ Y |, tedy f = |AY | + |Y B ′ |.Tato velikost je nejkratší tenkrát, když lomená čára AY B ′ je úsečkou.Konstrukce:Sestrojme bod B ′ = s p (B), pak {X} = AB ′ ∩ p.Diskuse: Úloha má vždy jediné řešení.Příklad 7Je dána přímka p, mimo ni body A, B, A ≠ B, a délka d > 0. Na p sestrojteúsečku XY délky d tak, aby délka f = |AX| + |XY | + |Y B| byla minimální.ŘešeníVhled: Uvažujme případ, kdy úsečka AB protíná přímku p.Zvolme libovolně úsečku UV délky d na přímce p a sestrojme body P , Q tak, aby AV UPa AUV Q byly rovnoběžníky. Délka lomené čáry BV UA je teď f = |BV | + |V Q| + d a délkalomené čáry BUV A je g = |BU| + |UP | + d. Nechme úsečku UV „klouzat po přímce p a dívejmese, co se děje s délkami f, g.Strategie: Protože body P a Q jsou pevné, bude f nejkratší pro {V } = BQ ∩ p a g nejkratšípro {U} = BP ∩ p.Konstrukce:a) body P , Q jako průsečíky q ∩ k, kde k je kružnice k(A, d) a q je rovnoběžka s p vedenábodem A;b) zjistíme, která z úseček BP a BQ je kratší; nechť je například |BQ| ≤ |BP |;c) položíme {Y } = BQ ∩ p;d) hledaný bod X je vrchol rovnoběžníku AXY Q.✓✏ ❛ ❛|Diskuse: Úloha má vždy jediné řešení.✒✑⌢⊲⊳
Change language