zadání

68 KAPITOLA 4. PLANIMETRIEdostáváme bod C. Nakonec vedeme bodem C přímku p rovnoběžnou s OP a průsečík ps polopřímkou AO označíme D.4.2 Konstrukce číselného výrazu.Příklad 3Sestrojte úsečku o velikosti x = √ 13 užitím Pythagorovy věty.ŘešeníVhled: Pythagorova věta tvrdí, že přepona c a odvěsny a, b pravoúhlého trojúhelníka jsouvázány vztahem c 2 = a 2 + b 2 . Tuto vazbu lze použít dvěma způsoby znázorněnými na obrázcích.BB❛ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛√ ❛ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛a2 + ba2 caCbAC√c2 − a 2AStrategie: Chceme-li konstruovat číslo √ n pomocí Pythagorovy věty, hledáme jeho vyjádřeníve tvaru √ a 2 + b 2 nebo √ c 2 − a 2 , kde a, b, c jsou přirozená čísla.Realizace: Sestrojit √ 13 podle Pythagorovy věty znamená najít vyjádření čísla 13 buď ve tvarua 2 + b 2 , nebo ve tvaru c 2 − a 2 , tedy buď jako součet, nebo jako rozdíl dvou čtverců.Prvních 10 čtverců x 2 je: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Číslo 13 lze vyjádřit jakosoučet dvou čtverců 13 = 4 + 9 i jako rozdíl dvou čtverců 13 = 49 − 36. To dává dvě řešení.V pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami 2 a 3 je přepona √ 13 a v pravoúhlém trojúhelníkus přeponou 7 a odvěsnou 6 je druhá odvěsna √ 13.Konstrukce druhého případu: 1. úsečka BC délky 6; 2. kolmice p v bodě C na BC; 3. kružnicek(B, 7); 4. jeden z průsečíků p ∩ k označíme A; pak |AC| = √ 13.Diskuse: Není těžké nahlédnout, že jiná řešení neexistují. Počet řešení závisí na čísle n.Například pro n = 6 neexistuje žádné řešení, pro n = 11 existuje řešení jediné a pron = 360 existuje jedno řešení prvního typu 18 2 + 6 2 = 360 a šest řešení druhého typu360 = 91 2 − 89 2 = 47 2 − 43 2 = 33 2 − 27 2 = 23 2 − 13 2 = 21 2 − 9 2 = 19 2 − 1 2 .Úlohy4. Sestrojte úsečku o velikosti x = √ 12 užitím a) Euklidovy věty o odvěsně, b) Euklidovyvěty o výšce.5. Je dán obdélník ABCD. Sestrojte čtverec o stejném obsahu.6. Sestrojte úsečku o velikosti a) e =Řešení√3+1 √2+1, b) f = √ 2 + √ 3.