zadání

3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6321. Kolik je různých možností pro označení jízdenky MHD strojkem, jestliže předpokládáme,že strojky mohou děrovat jeden až devět polí?22. Z jistého počtu uchazečů mají být vybráni tři. Kdyby bylo uchazečů o dva méně, zmenšilby se počet možností výběru pětkrát. Kolik je uchazečů?23. Kolika způsoby lze vytvořit expertní jazykový tým, který se má skládat ze dvou francouzštinářů(k dispozici jich je 16), tří angličtinářů (k dispozici jich je 12) a jednoho němčináře(k dispozici jich je 35)?24. Schodiště má n schodů. Po schodišti stoupám tak, že každým krokem překročím buď 1,nebo 2 schody. Kolika různými způsoby mohu po schodišti vystoupat, když a) n = 5, b) n = 7,c) n = 15?25. Kolika způsoby lze pomocí mincí 1 Kč, 2 Kč a 5 Kč zaplatit sumu a) 5 Kč, b) 10 Kč,c) 15 Kč?Řešení16. Pro první tažení máme 6 možností, pro druhé máme 5 možností, . . . , pro páté máme2 možnosti a pro šesté již možnost jedinou. Výsledek je 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6! = 720 způsobů.17. Označme f(n) počet průběhů všech zápasů, ve kterých padlo právě n gólů.Pro n = 0 je f(0) = 1. Zápas skončil bezbrankovou remízou.Pro n = 1 nastávají dvě možnosti. Buď skórem 1 : 0 vyhráli domácí, nebo hosté. Tedyf(1) = 2.Pro n = 2 nastávají čtyři možnosti: dd, dh, hd, hh. Tedy f(2) = 4.Pro n = 3 nastává osm možností. Ke každé ze čtyř možností předchozího případu na konecpřidáme buď gól d nebo h. Tedy f(3) = 8.Je vidět, že zvýší-li se počet gólů o jeden, číslo f(n) se zdvojnásobí:f(n + 1) = 2f(n). Odtud f(n) = 2 n pro všechna n ∈ {0, 1, 2, . . . }.Výsledek: a) f(5) = 2 5 = 32, b) f(10) = 2 10 = 1 024.Jiné řešení:Do tabulky zakreslíme všechny možné stavy v zá- Tabulka 1pase, v němž padlo pět gólů (viz tabulka 1). Každýprůběh zápasu v této tabulce znázorníme cestou,která vychází ze stavu 0 : 0 a končí v některémz šesti okének závěrečné diagonály. Ptejme se, kolikazpůsoby se ze stavu 0 : 0 můžeme dostat dostavu 1 : 1. Zřejmě dvěma: dh nebo hd. Napišmeteď do příslušného okénka tabulky 2 místo stavu1 : 1 číslo 2 označující počet cest z 0 : 0 do 1 : 1.0 : 50 : 4 1 : 40 : 3 1 : 3 2 : 30 : 2 1 : 2 2 : 2 3 : 20 : 1 1 : 1 2 : 1 3 : 1 4 : 10 : 0 1 : 0 2 : 0 3 : 0 4 : 0 5 : 0Udělejme to pro všechna okénka. Výsledek vidíme v tabulce 2. Z ní též vidíme, že v každémokénku (které není v dolní řadě) je součet čísel okénka spodního a levého. To dává možnostrychlého vyplnění všech okének. Když teď sečteme všechna čísla na závěrečné diagonále,dostaneme hledaný počet průběhů – 32.