zadánÃ
zadánà zadánÃ
60 KAPITOLA 3. KOMBINATORIKA3.4 Úlohy s reálným kontextemPříklad 6V kupé je deset míst, pět ve směru jízdy a pět proti směru. Tři pasažéřichtějí sedět ve směru jízdy a jeden proti směru. Ostatním šesti, mezi něž patříVenoušek s maminkou, je to jedno, až na to, že Venoušek chce sedět u oknaa vedle maminky. Kolika způsoby se mohou cestující usadit, aby byli všichnispokojeni?ŘešeníVhled: Nakreslíme si obrázek kupé a umístíme v něm podle stanovených podmínek všechnypasažéry: Venouška V k oknu, maminku M hned vedle. Dále tři pasažéry S, kteří chtějí sedět vesměru jízdy, jednoho pasažéra P, který chce sedět proti směru jízdy, a konečně čtyři pasažéryJ, kterým je jedno, kde sedí. Jedno možné usazení je tedy na následujícím obrázku.Směrjízdy❄S S J S JJPJ MVOknoNakresleme si ještě několik dalších usazení.S S S J JS S S MVS S S MVS S S J JJ J S S SJ JPMVJ J PJ JPJ J J JPJ J MVJ JPMVJe zřejmé, že těch šest usazení, které jsme zatím vytvořili, nevyčerpává všechny možnosti.Ale již tušíme, jak bychom soubor všech usazení mohli vytvořit. Budeme pasažéry usazovatpostupně.Metoda postupného usazováníDomluvme se, v jakém pořadí budeme pasažéry usazovat. Nejjednodušší je usadit Venouškas maminkou. Těmi tedy začněme. Pak usaďme jednoho P, pak tři S a nakonec čtyři J. Zvolilijsme tedy toto pořadí usazování: V, M, P, S, S, S, J, J, J, J.Pro Venouška jsou pouze dvě možnosti, protože pouze dvě místa jsou u okna. Obě možnostiprobereme zvlášť.• Případ I: Venoušek sedí ve směru jízdy. Maminku posadíme vedle něj. To lze udělat jedinýmzpůsobem. Dále posadíme pasažéra P na jedno z pěti míst proti směru jízdy. To lze udělatpěti různými způsoby. Jeden z nich zvolme – například u okna. Pak usadíme tři S. To lzeudělat jediným způsobem, neboť pouze tři místa ve směru jízdy jsou volná. Konečně na čtyřizbylá místa usadíme čtyři J. I toto lze udělat jediným způsobem. Jsme hotovi. Dostávámepět možných různých usazení.• Případ II: Venoušek sedí proti směru jízdy u okna a maminka vedle něj. To lze udělatjediným způsobem. Dále posadíme pasažéra P na jedno ze tří míst téže lavice. To lze udělattřemi způsoby. Jeden z nich zvolme. Dále posadíme tři pasažéry S na tři z pěti míst protějšílavice. Na zbylá čtyři místa posadíme čtyři pasažéry J. Pak místa po směru jízdy mohou
3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 61být obsazena některým z těchto deseti způsobů: S, S, S, J, J, S,S,J,S,J, S,S,J,J,S, S,J,S,S,J,S,J,S,J,S, S,J,J,S,S, J,S,S,S,J, J,S,S,J,S, J,S,J,S,S, J,J,S,S,S. Tím je usazování hotovo.Usazení případu II je hotovo, ale zatím nevíme, kolik takových možností je. Zjistěme to.Opakujeme – V a M byli usazeni jednoznačně, pro P byly tři možnosti, pro S a J pak desetmožností. Důležité je uvědomit si, že ke každé ze tří možností usazení P existuje 10 možnostíusazení S a J. Tedy celkově je 3 · 10, tj. 30 možností v tomto druhém případě.✓✏ ❛ ❛|Odpověď: Existuje 5 + 30 = 35 možných různých usazení.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Co když si dva pasažéři J vymění navzájem místo? Vznikne tím nové usazení? Nebo budou✒✑⌣⊲⊳ obě usazení stejná?Je zřejmé, že dvě usazení můžeme považovat za stejná tenkrát, když se v ničem neliší. Jakmilepřesadíme jakékoli dva pasažéry, pak nutně dostaneme nové usazení.Z uvedeného plyne, že celá předchozí úvaha je špatná, že případů bude podstatně více, nežjsme našli. Musíme začít od začátku.Nové nabývání vhledu: Dopustili jsme se chyby. Usazovali jsme tři stejné S a čtyři stejné J,ačkoli se jedná o tři různé S 1 , S 2 , S 3 a čtyři různé J 1 , J 2 , J 3 , J 4 .To, co jsme považovali za jediné usazení, je ve skutečnosti celá série usazení. Na tři místaoznačena znakem S musíme usadit tři různé S 1 , S 2 , S 3 a na čtyři místa J čtyři různé J 1 , J 2 ,J 3 , J 4 . Tak se původně jediný případ rozpadne na mnoho případů. Na kolik?Pokusme se zodpovědět otázku: Kolik je možných „rozrůznění kteréhokoli z dosud uvažovanýchpřípadů? Vraťme se k postupnému usazování pasažérů, ale berme v úvahu, že tři pasažéřiS jsou různí a stejně tak čtyři pasažéři J. Nic se nezmění na usazování V, M a P. Změní seobsazování tří míst S a čtyř míst J. Obsaďme tři místa S. Nejprve usadíme pasažéra S 1 , pakS 2 a nakonec S 3 . Protože máme pro ně pouze tři místa, má S 1 tři možnosti, S 2 pak dvě a S 3již pouze jedinou. Celkově tedy S 1 , S 2 , S 3 lze usadit 3 · 2 · 1 = 6 různými způsoby. Konečněusaďme i čtyři pasažéry J 1 , J 2 , J 3 , J 4 . Zveme je do kupé v uvedeném pořadí. Pak J 1 volíze čtyř možností, J 2 již jen ze tří, pro J 3 zbývají dvě možnosti a J 4 sedne na poslední volnésedadlo. Na čtyři místa J lze tedy usadit čtyři pasažéry J 1 , J 2 , J 3 , J 4 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24způsoby.Víme, že(a) tři pasažéry S 1 , S 2 , S 3 lze na místa S usadit šesti způsoby a(b) čtyři pasažéry J 1 , J 2 , J 3 , J 4 na místa J lze usadit 24 způsoby.Ke každému ze šesti obsazení míst S existuje tedy 24 různých obsazení míst J. To dává6 · 24 = 144 možností. Tak se jediný případ rozrostl na 144 případů.Teď je již jasné, že každý z 35 případů, ke kterým jsme dospěli při první chybné úvaze,se rozroste na 144 případů. To je potěšitelné zjištění, protože ukazuje, že práce, kterou jsme přichybném vidění problému udělali, nebyla zbytečná. Stačí totiž každý ze 35 původně získanýchpřípadů nahradit správnými 144 případy.Závěr: Existuje 35 · 144 = 5 040 možností.Rychlý postupKdyž do problému vidíme, můžeme napsat řešení dané úlohy v jazyce vzorců. Je to rozumné,protože nám tento pohled napoví, jak číst kombinatorické úvahy, které jsou napsány v jazycevzorců, a proto se nám jeví jako nedostupné. Opět budeme uvažovat o dvou případech.
- Page 11 and 12: 1.2. KVADRATICKÉ ROVNICE 11Přípa
- Page 13 and 14: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 131.3
- Page 15 and 16: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 15Ře
- Page 17 and 18: 1.5. LOGARITMICKÉ A EXPONENCIÁLN
- Page 19 and 20: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 21 and 22: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 23 and 24: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 23Realiz
- Page 25 and 26: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 25y−2
- Page 27 and 28: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 27f) p =
- Page 29 and 30: Kapitola 2Teorie číselDomluva:•
- Page 31 and 32: 2.1. DĚLITELNOST 313. Zjistěte, k
- Page 33 and 34: 2.2. POČET DĚLITELŮ 3311. Nechť
- Page 35 and 36: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 35
- Page 37 and 38: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 37
- Page 39 and 40: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 39
- Page 41 and 42: 2.4. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITE
- Page 43 and 44: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 43b) x 1
- Page 45 and 46: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 45Příkl
- Page 47 and 48: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 47Realiz
- Page 49 and 50: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 49Přík
- Page 51 and 52: Kapitola 3Kombinatorika3.1 Poznámk
- Page 53 and 54: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 55 and 56: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 57 and 58: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 59: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 63 and 64: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 65 and 66: Kapitola 4PlanimetrieDomluva:• Pr
- Page 67 and 68: 4.1. JEDNODUCHÉ KONSTRUKCE 67✓
- Page 69 and 70: 4.2. KONSTRUKCE ČÍSELNÉHO VÝRAZ
- Page 71 and 72: 4.3. KONSTRUKCE S POMOCNÝM ÚTVARE
- Page 73 and 74: 4.4. KONSTRUKCE POMOCÍ TRANSFORMAC
- Page 75 and 76: 4.5. OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY 754.5 O
- Page 77 and 78: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7719.
- Page 79 and 80: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7924.
- Page 81 and 82: 4.8. DŮKAZY 8128. Označme Q průs
- Page 83 and 84: 4.8. DŮKAZY 8333. Nechť E, F , G
- Page 85: Obsah1 Rovnice 51.1 Slovní rovnice
60 KAPITOLA 3. KOMBINATORIKA3.4 Úlohy s reálným kontextemPříklad 6V kupé je deset míst, pět ve směru jízdy a pět proti směru. Tři pasažéřichtějí sedět ve směru jízdy a jeden proti směru. Ostatním šesti, mezi něž patříVenoušek s maminkou, je to jedno, až na to, že Venoušek chce sedět u oknaa vedle maminky. Kolika způsoby se mohou cestující usadit, aby byli všichnispokojeni?ŘešeníVhled: Nakreslíme si obrázek kupé a umístíme v něm podle stanovených podmínek všechnypasažéry: Venouška V k oknu, maminku M hned vedle. Dále tři pasažéry S, kteří chtějí sedět vesměru jízdy, jednoho pasažéra P, který chce sedět proti směru jízdy, a konečně čtyři pasažéryJ, kterým je jedno, kde sedí. Jedno možné usazení je tedy na následujícím obrázku.Směrjízdy❄S S J S JJPJ MVOknoNakresleme si ještě několik dalších usazení.S S S J JS S S MVS S S MVS S S J JJ J S S SJ JPMVJ J PJ JPJ J J JPJ J MVJ JPMVJe zřejmé, že těch šest usazení, které jsme zatím vytvořili, nevyčerpává všechny možnosti.Ale již tušíme, jak bychom soubor všech usazení mohli vytvořit. Budeme pasažéry usazovatpostupně.Metoda postupného usazováníDomluvme se, v jakém pořadí budeme pasažéry usazovat. Nejjednodušší je usadit Venouškas maminkou. Těmi tedy začněme. Pak usaďme jednoho P, pak tři S a nakonec čtyři J. Zvolilijsme tedy toto pořadí usazování: V, M, P, S, S, S, J, J, J, J.Pro Venouška jsou pouze dvě možnosti, protože pouze dvě místa jsou u okna. Obě možnostiprobereme zvlášť.• Případ I: Venoušek sedí ve směru jízdy. Maminku posadíme vedle něj. To lze udělat jedinýmzpůsobem. Dále posadíme pasažéra P na jedno z pěti míst proti směru jízdy. To lze udělatpěti různými způsoby. Jeden z nich zvolme – například u okna. Pak usadíme tři S. To lzeudělat jediným způsobem, neboť pouze tři místa ve směru jízdy jsou volná. Konečně na čtyřizbylá místa usadíme čtyři J. I toto lze udělat jediným způsobem. Jsme hotovi. Dostávámepět možných různých usazení.• Případ II: Venoušek sedí proti směru jízdy u okna a maminka vedle něj. To lze udělatjediným způsobem. Dále posadíme pasažéra P na jedno ze tří míst téže lavice. To lze udělattřemi způsoby. Jeden z nich zvolme. Dále posadíme tři pasažéry S na tři z pěti míst protějšílavice. Na zbylá čtyři místa posadíme čtyři pasažéry J. Pak místa po směru jízdy mohou
Change language