zadání

3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXTEM 5911. a) Úlohu řešíme postupným přidáváním přímek do roviny. Označme největší počet oblastí,na které rovinu rozdělí n přímek, číslem k(n). Lehce pomocí kreslení obrázků zjistíme, že promalá n platí:n 1 2 3 4 5 . . .k 2 4 7 11 16 . . .Z konstrukce dále vidíme, že každá nová přímka protne všechny již existující a vytvoří o jednuvíce oblastí, než bylo přímek předtím. Tuto skutečnost lze zapsat vztahem k(n + 1) == k(n) + n + 1. Tato rekurentní formule nám umožní zjistit k(n) pro libovolně velké n. Nenívšak vzorcem pro n-tý člen. Chceme-li zjistit k(1 000), musíme vypočítat všechna čísla odk(1) až do k(999).Vzorec existuje a není příliš složitý. Čtenář jej objeví, když si zapíše posloupnost čísel k(n)−1.Vzorec zní k(n) = n(n+1)2+ 1.b) (i) 8, (ii) 4; c) k = 5, 6, . . . , 13; d) k = 7, 8, . . . 26.12. Číslo k nabývá jedné z hodnot 4m + 1, 4m + 2, 4m + 3 pro m ≥ 2 (pro m = 1 nastanoupouze dvě možnosti k = 6, k = 7). První případ nastává, když každá z přímek b 1 , b 2 jerovnoběžná s některou z přímek a i . Druhý případ nastává, když právě jedna z přímek b 1 , b 2je rovnoběžná s některou z přímek a i . Třetí případ nastává, když žádná z přímek b 1 , b 2 nenírovnoběžná se žádnou z přímek a i .13. a) Existuje pět typů čtverců, které lze v dané množině najít. Budeme je odlišovat podlevelikosti strany. Čtverců se stranou 1 je devět, čtverce se stranou 2 jsou čtyři, čtverec sestranou 3 je jeden, čtverce se stranou √ 2 jsou čtyři a čtverce se stranou √ 5 jsou dva. Celkověk = 20.Námět na seminární práci: Najděte počet k v případě, že množina V je dána všemi body(a, b), pro které a, b ∈ {0, 1, 2, . . . , r}, kde r je libovolné přirozené číslo.b) (i) 0, (ii) 36, (iii) 88.14. a) 8; b) 21; c) 987.15. a) Všechny body rozdělíme do dvou množin. V množině A je 5 bodů ležících na danépřímce, v množině B zbylých 8 bodů. Přímky, které jsou těmito body určeny, jsou tří druhů:• Přímky určené dvojicí bodů z množiny B; těch je C(2, 8) = 8·72 = 28.• Přímky určené jedním bodem z množiny A a jedním z množiny B; těch je 8 · 5 = 40.• Přímka, na níž leží všechny body množiny A.Výsledek: Přímek je 28 + 40 + 1 = 69.b) 21 + 42 + 1 = 64