zadání

58 KAPITOLA 3. KOMBINATORIKA10. Z obdélníku s rozměry mxn lze k způsoby vystřihnout obdélník 3x1. Určete k a) v případěm = 5, n = 4, b) v obecném případě.11. a) Na kolik nejvíce oblastí dělí rovinu (i) 5 přímek, (ii) n přímek?b) Na kolik (i) nejvíce, (ii) nejméně oblastí dělí rovinu tři různé kružnice?c) Tři přímky a jedna kružnice dělí rovinu na k částí. Najděte všechny možnosti pro k.d) Pět přímek a jedna kružnice dělí rovinu na k částí. Najděte všechny možnosti pro k.12. Řešte příklad 5 za předpokladu, že bodem B prochází dvě různé přímky b 1 , b 2 a žádnáz nich neprochází bodem A.13. Je dána množina V šestnácti bodů se souřadnicemi (a, b), kde a, b ∈ {0, 1, 2, 3}.a) Najděte počet k všech čtverců, jejichž všechny čtyři vrcholy leží v množině V .b) Najděte počet l všech (i) ostroúhlých, (ii) pravoúhlých, (iii) tupoúhlých trojúhelníkůs obsahem 1 2, jejichž všechny vrcholy leží v množině V .14. Na obrázku vidíme pět různých rozkladů obdélníku 4x2 na domina. Najděte počet kvšech takových rozkladů pro obdélník a) 5x2, b) 7x2, c) 15x2.15. Je dáno 13 bodů v rovině, z nichž a) 5, b) 6 leží na jedné přímce. Žádné další tři na jednépřímce neleží. Kolik přímek je těmito body určeno?Řešení8. Existují dva druhy trojúhelníků. První má dva vrcholy na přímce a a jeden na přímce b,druhý má dva vrcholy na přímce b a jeden na přímce a.Podívejme se nejprve na speciální případ n = 3, m = 5. Trojúhelníky prvního druhu s vrcholemB 1 jsou tři, protože z bodů A 1 , A 2 , A 3 lze třemi různými způsoby vybrat dvojici. Stejnáúvaha platí i pro vrcholy B 2 , . . . , B 5 . Tedy trojúhelníků prvního druhu je 5 · 3 = 15. Podobněnajdeme počet trojúhelníků druhého druhu. Vrchol A můžeme vybrat třemi způsoby,vrchol B C(2, 5), tj. deseti způsoby. Tedy trojúhelníků druhého druhu je 3 · 10 = 30. Všechtrojúhelníků pak je 15 + 30 = 45.Obecný případ: Úvaha, kterou jsme udělali pro speciální případ, se snadno zobecní. Počettrojúhelníků je n · C(2, m) + m · C(2, n) = mn(m+n−2)2.9. a) k = 4 · 3 = 12, b) k = (m − 1)(n − 1).10. a) k = 2 · 5 + 4 · 3 = 22,✓✏ ❛ ❛|b) k = (m − 2)n + (n − 2)m.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ V případě, že m = 1 nebo n = 1, výsledek pravdivý není. Pro m ≥ 2, n = 1, je k = m − 2, pro m > 1,✒✑⌣⊲⊳ n ≥ 2, je k = n − 2.