zadání

3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXTEM 57Zobecnění: Jestliže domino střiháme z obdélníku s rozměry mxn, bude možností „na výškum(n − 1), možností „na délku n(m − 1), tedy k = 2mn − (m + n).Příklad 5V rovině jsou dány různé body A, B. Bodem A prochází m přímek a 1 , a 2 ,. . . a m .Bodem B prochází jediná přímka b tak, že neprochází bodem A. Tyto přímkydělí rovinu na k oblastí. Zjistěte, jakých hodnot může nabývat číslo k.ŘešeníStrategie: Je těžké řešit úlohu v uvedené obecnosti. Prozkoumáme nejdříve případy a) m = 1,b) m = 2, c) m = 3.Realizace:a) Dvojice různých přímek a, b dělí rovinu buď na tři části (jestliže a ‖ b) nebo na čtyři části(jestliže a ̸‖ b).b) Přímky a 1 , a 2 jsou různoběžné a přímka b může mít dvojí různou polohu. Buď je s některouz přímek rovnoběžná, nebo obě přímky protíná. V prvním případě je k = 6, ve druhémpřípadě k = 7. (Kreslete obrázek.)c) Přímky a 1 , a 2 , a 3 jsou různoběžné a přímka b může mít dvojí různou polohu. Buď jes některou z přímek rovnoběžná, nebo všechny tři přímky protíná, viz obrázek. V prvnímpřípadě k = 9, ve druhém případě k = 10.❆❆❆ •✁ ✁ ✁ ✁✁• •❆B❆• ❆ • ✁ •❆✁• ✁A❆ •✁ ❆✁ • ❆ ❆❆✁❅❅ •❅❅ •• ❅ B • ❅ •❅❅• ❅• A • ❅ • •❅ ❅Zobecnění: Skupina m přímek procházejících bodem A rozdělí rovinu na 2m oblastí. Přímka bv případě, že protne každou z přímek a i , rozdělí m + 1 z již existujících oblastí na dvě. Tímpřibude m + 1 oblastí a k = 3m + 1. Pokud je přímka b rovnoběžná s některou z přímek a i ,rozdělí pouze m existujících oblastí na dvě. Proto v tomto případě bude k = 3m.Úlohy8. Jsou dány rovnoběžky a, b. Na přímce a je dáno n bodů A 1 , A 2 ,. . . A n , na přímce b jedáno m bodů B 1 , B 2 ,. . . B m . Kolik trojúhelníků je těmito body určeno? Úlohu řešte nejprvepro n = 3 a m = 5.9. Z obdélníku s rozměry mxn lze k způsoby vystřihnout čtverec 2x2. Určete k a) v případěm = 5, n = 4, b) v obecném případě.