zadání

54 KAPITOLA 3. KOMBINATORIKAStovky Desítky Jednotky✏✶✏ ✏✏2 ✲ ✏✶✏ ✏✏ ✲✟✯ 3 ✟✟ 1 ✟✓ ✓✓✓✓✓✼❍❙ ❍❍ ✏✶❙❙❙❙❙✇ ❍❥✏ ✏✏4 ✲ ✏✶5 ✏ ✏✏ ✲ 345245235234Způsob, kterým v tomto grafu přečteme všech dvanáct čísel od 123 po 154, je zřejmý. Z prvníčíslice 1 vychází čtyři cesty, protože máme k dispozici čtyři číslice 2, 3, 4, 5. Z každé z těchtočíslic vychází tři cesty, protože k dispozici zůstaly již pouze tři čísla. Celkově cest (a tedyčísel) je 4 · 3 = 12.Stejný graf můžeme udělat i pro čísla začínající 2, 3, 4 a 5. Celkem dostaneme 5 · 12 = 60možností trojciferných čísel.Analogickým způsobem postupujeme u čtyřciferných čísel. Příslušný graf dostaneme z grafuuvedeného nahoře dvěma operacemi. Přejmenujeme stovky na tisíce, desítky na stovky a jednotkyna desítky a z každého čísla posledního sloupce stávajícího grafu vedeme další dvavektory končící v číslech zatím neužitých. V tomto grafu existuje 5 · 4 · 3 = 60 cest.Počet prvků hledané množiny všech čtyřciferných čísel můžeme také zjistit stručnou úvahou.Číslici na místě tisíců můžeme vybrat pěti způsoby (1, 2, 3, 4, 5). Ke každé číslici na místětisíců můžeme čtyřmi způsoby vybrat číslici na místo stovek. Ke každé této možnosti můžemevybrat třemi způsoby číslici na místo desítek. Konečně ke každé této možnosti můžeme vybratdvěma způsoby číslici na místo jednotek. Celkem 5 · 4 · 3 · 2 = 120 možností.Zcela obdobně u pěticiferných čísel dostáváme 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 možností.Příklad 2Kolik čísel můžeme vytvořit z číslic 0, 1, 2, 3, jestliže se žádná číslice neopakuje?ŘešeníZpůsobem podrobně popsaným v předchozím řešení dostáváme• jednociferná čísla jsou 4;• dvouciferných čísel je 4 · 3 = 12;• trojciferných čísel je 4 · 3 · 2 = 24;• a čtyřciferných čísel je 4 · 3 · 2 · 1 = 24.✓✏ ❛ ❛|Výsledek: Čísel je 4 + 12 + 24 + 24 = 64.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Chyba vznikla formálním nasazením postupu. Neuvědomili jsme si, že nula vnesla do úlohy nový✒✑⌣⊲⊳ prvek. Čísla začínající nulou, kromě jednociferného čísla 0, nutno vyloučit, neboť jsou již v seznamupřítomna. Např. číslo 012 bylo již evidováno pod jménem 12. Musíme vyloučit čísla typu 0a (ty jsou3), typu 0ab (těch je 6) a typu 0abc (těch je 6).Výsledek tedy je 64 − 15 = 49.