zadánÃ
zadánà zadánÃ
52 KAPITOLA 3. KOMBINATORIKA• dobré číslo je větší než 15;• číslo, které obsahuje byť jen jedinou z číslic 0, 6, 7, 8, 9, je číslo špatné; dobré číslo obsahujepouze číslice 1, 2, 3, 4, 5;• číslo, ve kterém se některá číslice opakuje, je špatné; dobré číslo obsahuje libovolnou číslicinejvýše jednou.Teď konkrétně. Z první podmínky víme, že do množiny M mohou patřit všechna přirozenáčísla počínaje číslem 16. Tedy čísla 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,. . . , 99, 100,101,. . . , 999, 1 000,. . .Druhá podmínka z těchto čísel mnohé vyloučí; například čísla 16, 17 nebo 20 jsou špatná. Jakokandidáti na dobrá zůstávají pouze čísla 21, 22, 23, 24, 25; 31, 32, 33, 34, 35; 51, 52, 53, 54, 55;111, 112, 113, 114, 115; 121, 122, 123, 124, 125; 131, 132, 133, 134, 135; 141, 142, 143, 144, 145;151, 152, 153, 154, 155; . . .Konečně třetí podmínka skoro všechna z těchto čísel vyloučí. Předně každé šestimístné číslosložené pouze z číslic 1, 2, 3, 4, 5 je špatné, protože v něm se aspoň jedna číslice nutně opakuje.Tím spíše všechna sedmimístná, osmimístná,. . . čísla jsou špatná. Zůstávají pouze dvojmístná,trojmístná, čtyřmístná a pětimístná čísla.• Dobrá dvojmístná čísla: 21, 23, 24, 25; 31, 32, 34, 35; 41, 42, 43, 45; 51, 52, 53, 54 (je jich 16).• Dobrá třímístná čísla: 123, 124, 125; 132, 134, 135; 142, 143, 145; 152, 153, 154; 213, 214, 215;231, 234, 235; 241, 243, 245; 251, 253, 254; 312, 314, 315; 321, 324, 325; 341, 342, 345; 351, 352, 354;412, 413, 415; 421, 423, 425; 431, 432, 435; 451, 452, 453; 512, 513, 514; 521, 523, 524; 531, 532, 534;541, 542, 543 (těch je 60).• Dobrá čtyřmístná čísla 1 234, 1 235, 1 243, 1 245, 1 253, 1 254; 1 324, 1 325, 1 342, 1 345, 1 352,1 354; atd. (těch je hodně).Vypisování všech čtyřmístných dobrých čísel je asi příliš zdlouhavý způsob evidence. Buderozumné hledat úspornější cestu.Metoda rozkladuV první části jsme se pokusili nabýt vhled do zkoumané situace. Evidovali jsme tři podmínkytextu úlohy. Pak jsme začali vypisovat dobrá čísla (tj. ta, co vyhovují třem podmínkám)počínaje nejmenším dobrým číslem 21. Bylo přirozené rozdělit všechna dobrá čísla do čtyřpodmnožin:M 2 je množina všech dobrých 2-ciferných čísel (má 16 prvků), M 3 je množina všech dobrých3-ciferných čísel (má 60 prvků), M 4 je množina všech dobrých 4-ciferných čísel (má hodněprvků), M 5 je množina všech dobrých 5-ciferných čísel (má hodně prvků).Zjistíme-li počet prvků množin M 4 i M 5 , budeme s řešením úlohy hotovi.• Počet prvků množiny M 4Musíme získat přehled přes všechna dobrá čtyřciferná čísla. To lze udělat různými způsoby.Například tak, že celou množinu M 4 rozložíme na dalších pět podmnožin podle první číslice:P 1 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 1, P 2 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 2,P 3 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 3, P 4 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 4,P 5 je množina všech čísel z M 4 s první číslicí 5.Postupně zjistíme, kolik prvků má každá z množin P 1 , P 2 , P 3 , P 4 a P 5 .
3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXTEM 53Množina P 1 se skládá z čísel typu 1abc, kde a, b, c jsou tři různé z číslic 2, 3, 4, 5. Vypišmevšechny možné takové trojice abc:234, 243, 253, 324, 342, 352, 423, 432, 452, 523, 532, 542,235, 245, 254, 325, 345, 354, 425, 435, 453, 524, 534, 543.Trojice abc, Trojice abc, Trojice abc, Trojice abc,pro něž a = 2 pro něž a = 3 pro něž a = 4 pro něž a = 5Zjistili jsme, že množina P 1 má 6 · 4 = 24 prvků.Zcela stejným způsobem vyšetříme množinu P 2 a zjistíme, že má rovněž 24 prvků. Podobněmnožiny P 3 , P 4 i P 5 mají každá 24 prvků.Množina M 4 má tedy 5 · 24 = 120 prvků.• Počet prvků množiny M 5Při vyšetřování množiny M 5 postupujeme podobně jako v předchozím případě. Celou množinuM 5 rozložíme na podmnožiny:P 1 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 1, P 2 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 2,P 3 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 3, P 4 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 4,P 5 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 5.Postupně zjistíme, kolik prvků má každá z množin P 1 , P 2 , P 3 , P 4 a P 5 .Množina P 1 se skládá z čísel typu 1abcd, kde a, b, c, d jsou číslice 2, 3, 4, 5. Vypišme všechnymožné takové čtveřice abcd:2345, 2354, 2435, 2453, 2534, 2543 jsou ty čtveřice, pro které a = 2,3245, 3254, 3425, 3452, 3524, 3542 jsou ty čtveřice, pro které a = 3,4235, 4253, 4325, 4352, 4523, 4532 jsou ty čtveřice, pro které a = 4,5234, 5243, 5324, 5342, 5423, 5432 jsou ty čtveřice, pro které a = 5.Celkem je 6 · 4 = 24 čtveřic.Množina P 1 má tedy 24 prvků. Stejně lze rozepsat každou z množin P 2 , P 3 , P 4 a P 5 . Každámá tedy 24 prvků.Množina M 5 má tedy 5 · 24 = 120 prvků.Výsledek: M 2 má 16 prvků, M 3 má 60 prvků, M 4 má 120 prvků a M 5 má 120 prvků. Tedyvyšetřovaná množina M má 16 + 60 + 120 + 120 = 316 prvků.Řešení IIZpůsob, kterým jsme vypisovali všechny prvky množin M nebo P , je dosti těžkopádný. Existujegrafické schéma, které zestruční zápis a pro některé čtenáře jej může i zpřehlednit. Ukážemeho na příkladu množiny M 3 .Všech 12 čísel prvního řádku množiny M 3 je zapsáno v grafu:
- Page 3: 3ÚvodSeminář z elementární mat
- Page 6 and 7: 6 KAPITOLA 1. ROVNICEPříklad 2Vod
- Page 8 and 9: 8 KAPITOLA 1. ROVNICE20 let. Její
- Page 11 and 12: 1.2. KVADRATICKÉ ROVNICE 11Přípa
- Page 13 and 14: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 131.3
- Page 15 and 16: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 15Ře
- Page 17 and 18: 1.5. LOGARITMICKÉ A EXPONENCIÁLN
- Page 19 and 20: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 21 and 22: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 23 and 24: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 23Realiz
- Page 25 and 26: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 25y−2
- Page 27 and 28: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 27f) p =
- Page 29 and 30: Kapitola 2Teorie číselDomluva:•
- Page 31 and 32: 2.1. DĚLITELNOST 313. Zjistěte, k
- Page 33 and 34: 2.2. POČET DĚLITELŮ 3311. Nechť
- Page 35 and 36: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 35
- Page 37 and 38: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 37
- Page 39 and 40: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 39
- Page 41 and 42: 2.4. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITE
- Page 43 and 44: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 43b) x 1
- Page 45 and 46: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 45Příkl
- Page 47 and 48: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 47Realiz
- Page 49 and 50: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 49Přík
- Page 51: Kapitola 3Kombinatorika3.1 Poznámk
- Page 55 and 56: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 57 and 58: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 59 and 60: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 61 and 62: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 63 and 64: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 65 and 66: Kapitola 4PlanimetrieDomluva:• Pr
- Page 67 and 68: 4.1. JEDNODUCHÉ KONSTRUKCE 67✓
- Page 69 and 70: 4.2. KONSTRUKCE ČÍSELNÉHO VÝRAZ
- Page 71 and 72: 4.3. KONSTRUKCE S POMOCNÝM ÚTVARE
- Page 73 and 74: 4.4. KONSTRUKCE POMOCÍ TRANSFORMAC
- Page 75 and 76: 4.5. OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY 754.5 O
- Page 77 and 78: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7719.
- Page 79 and 80: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7924.
- Page 81 and 82: 4.8. DŮKAZY 8128. Označme Q průs
- Page 83 and 84: 4.8. DŮKAZY 8333. Nechť E, F , G
- Page 85: Obsah1 Rovnice 51.1 Slovní rovnice
3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXTEM 53Množina P 1 se skládá z čísel typu 1abc, kde a, b, c jsou tři různé z číslic 2, 3, 4, 5. Vypišmevšechny možné takové trojice abc:234, 243, 253, 324, 342, 352, 423, 432, 452, 523, 532, 542,235, 245, 254, 325, 345, 354, 425, 435, 453, 524, 534, 543.Trojice abc, Trojice abc, Trojice abc, Trojice abc,pro něž a = 2 pro něž a = 3 pro něž a = 4 pro něž a = 5Zjistili jsme, že množina P 1 má 6 · 4 = 24 prvků.Zcela stejným způsobem vyšetříme množinu P 2 a zjistíme, že má rovněž 24 prvků. Podobněmnožiny P 3 , P 4 i P 5 mají každá 24 prvků.Množina M 4 má tedy 5 · 24 = 120 prvků.• Počet prvků množiny M 5Při vyšetřování množiny M 5 postupujeme podobně jako v předchozím případě. Celou množinuM 5 rozložíme na podmnožiny:P 1 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 1, P 2 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 2,P 3 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 3, P 4 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 4,P 5 je množina všech čísel z M 5 s první číslicí 5.Postupně zjistíme, kolik prvků má každá z množin P 1 , P 2 , P 3 , P 4 a P 5 .Množina P 1 se skládá z čísel typu 1abcd, kde a, b, c, d jsou číslice 2, 3, 4, 5. Vypišme všechnymožné takové čtveřice abcd:2345, 2354, 2435, 2453, 2534, 2543 jsou ty čtveřice, pro které a = 2,3245, 3254, 3425, 3452, 3524, 3542 jsou ty čtveřice, pro které a = 3,4235, 4253, 4325, 4352, 4523, 4532 jsou ty čtveřice, pro které a = 4,5234, 5243, 5324, 5342, 5423, 5432 jsou ty čtveřice, pro které a = 5.Celkem je 6 · 4 = 24 čtveřic.Množina P 1 má tedy 24 prvků. Stejně lze rozepsat každou z množin P 2 , P 3 , P 4 a P 5 . Každámá tedy 24 prvků.Množina M 5 má tedy 5 · 24 = 120 prvků.Výsledek: M 2 má 16 prvků, M 3 má 60 prvků, M 4 má 120 prvků a M 5 má 120 prvků. Tedyvyšetřovaná množina M má 16 + 60 + 120 + 120 = 316 prvků.Řešení IIZpůsob, kterým jsme vypisovali všechny prvky množin M nebo P , je dosti těžkopádný. Existujegrafické schéma, které zestruční zápis a pro některé čtenáře jej může i zpřehlednit. Ukážemeho na příkladu množiny M 3 .Všech 12 čísel prvního řádku množiny M 3 je zapsáno v grafu:
Change language