zadání

46 KAPITOLA 2. TEORIE ČÍSEL2.6 Diofantovské rovnicePoznámka: Rovnice, v nichž se řešení hledá pouze v oboru celých čísel, nazýváme také rovnicediofantovské na počest velkého řeckého matematika Diofanta, který jako první vybudovalteorii těchto rovnic.Příklad 11Najděte všechna celočíselná řešení rovnice 5x − 17y = 3.Řešení IVhled: V oboru reálných čísel má tato rovnice o dvou neznámých x, y nekonečně mnohořešení. Ke každému y lze najít x = 3+17y5tak, že dvojice (x, y) je řešením dané rovnice. Násvšak zajímají pouze řešení celočíselná. K jejich hledání musíme vypracovat speciální postupy.Strategie: Zkusíme nejdříve experimentálně najít nějaká řešení. Dosaďme za y postupně čísla1, 2, 3, . . . a dopočítejme x. Výsledky evidujme tabulkou.y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x205375545715885Pouze ve dvou z těchto deseti případů je hodnota x celočíselná – pro y = 1 a y = 6. Tedyřešením dané rovnice je například dvojice (4, 1) a (21, 6). Zatím nevíme, kolik celočíselnýchřešení daná rovnice má. Nějaká řešení rovnice najít dovedeme, ale nedokážeme zatím říci,zda existuje i obecné vyjádření celočíselného řešení – formule, pomocí které najdeme všechnařešení.Kdybychom našli dostatečný počet konkrétních řešení, snad by se nám tato řešení podařilozobecnit. Čtenář se o tento postup může pokusit. My však zvolíme jinou cestu. Podívámese ne na sérii řešení, ale přímo na rovnici jako na algebraický výraz. Když výraz upravíme,dostaneme:x = 17y + 3 = 3y + 2y + 355Protože x i y mají být celočíselná, musí být i zlomek 2y+35celočíselný. Původní úlohu jsmetedy transformovali na úlohu:1055122513951565Pro která celočíselná y je zlomek 2y+35celé číslo?Podobně jako u původní rovnice si uděláme tabulku, do které zapíšeme y a zbytek při dělení(2y + 3) : 5 (zajímají nás případy, kdy je tento zbytek 0).y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13zbytek 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3 0 2 41735Tato tabulka vnáší do situace více světla, protože její druhý řádek odhaluje rytmus, kterýje v dané situaci ukrytý. V první tabulce jsme z druhého řádku žádnou zákonitost nevyčetli.Z této tabulky je patrné, že ve druhém sloupci se periodicky opakují čísla 0, 2, 4, 1, 3. Zbytek0 dostáváme pro y ∈ {1, 6, 11, . . . }, příslušné x pak bude z množiny {4, 21, 38, . . . }. Teď je jižjasné, že rovnice má nekonečně mnoho celočíselných řešení.