zadání

2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 45Příklad 10Pro která n ∈ N je zlomek 12n+719n+15Řešenív základním tvaru?Vhled: Zlomek a bje v základním tvaru právě tehdy, když D(a, b) = 1. Tím je úloha převedenana úlohu najít n ∈ N, pro která D(12n + 7, 19n + 15) = 1.Realizace: Euklidovým algoritmem najdemeD(12n + 7, 19n + 15) = D(12n + 7, 7n + 8) = D(5n − 1, 7n + 8) = D(5n − 1, 2n + 9) == D(n − 19, 2n + 9) = D(n − 19, 47). Protože číslo 47 je prvočíslo, je D(n − 19, 47) rovno buď1, nebo 47.Pro všechna ostatní n je D(n − 19, 47) = 1.Např. k = 0 ⇒ n = 19 ⇒ 235376 = 5 8 .D(n − 19, 47) = 47 ⇔ n = 47k + 19, k ∈ N 0Výsledek: Zlomek 12n+719n+15 není v základním tvaru, když n = 47k + 19, k ∈ N 0. Pro všechnaostatní n je v základním tvaru.Úlohy34. Euklidovým algoritmem vypočtětea) D(259, 301); b) D(403, 494); c) D(5 797, 4 123);d) D(5 359, 7 889); e) D(92 701, 215 441).35. Zjistěte, pro která přirozená n daný zlomek není v základním tvaru.e)a)29n + 3132n + 41 ; b) 18n + 1311n + 8 ; c) 5n + 712n + 17 ; d) 79n + 2524n + 7 ;24n + 1339n + 21 ; f) 2n 2 + 2n − 3n 2 .− 2Řešení34. a) 7; b) 13; c) 31; d) 23; e) 323.35. a) n = 197k − 69, kde k ∈ N; b) pro žádná n; c) pro žádná n; d) n = 47k − 14, k ∈ N;e) pro žádná n; f) n = 7k + 3, k ∈ N 0 .