zadání

2.4. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL A NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK 41dělitel nevidíme. Při aplikaci prvního způsobu společný dělitel najdeme: 156 = 2 2 · 3 · 13,1 287 = 3 2 · 11 · 13.Z prvočíselného rozkladu obou čísel ihned vidíme, že obě čísla jsou dělitelná číslem 3 a 13.Tedy obě jsou dělitelná číslem 3 · 13 = 39, a tedy D(156, 1 287) = 39.Příklad 7Najděte nejmenší společný násobek n čísel 156 a 1 287.ŘešeníVhled: Společný násobek dvou čísel je takové číslo, které je dělitelné každým z uvedenýchdvou čísel. Např. společným násobkem čísel 156 a 1 287 je zcela jistě číslo 156 · 1 287. Nevímevšak, zda je to nejmenší společný násobek.Strategie: Podobně jako při hledání D i zde existují obě zmíněné cesty. Druhý způsob jevšak, jak jsme již viděli v předchozí úloze, těžko realizovatelný, protože neznáme kritériumdělitelnosti číslem 13. Omezíme se proto pouze na způsob první.Realizace: Z předchozího případu víme, že 156 = 2 2 ·3·13 a 1 287 = 3 2 ·11·13. V prvočíselnémrozkladu hledaného nejmenšího společného násobku musí být prvočísla z rozkladu čísla 156,tj. n musí mít tvar 2 2 · 3 · 13 · x. Dále víme, že číslo 1 287 má být dělitelem čísla n, proto n mátvar 3 2 · 11 · 13 · y. Tedy v prvočíselném rozkladu čísla n musí být čísla 2 2 , 3 2 , 11, 13. Proton(156, 1 287) = 5 148.Výsledek: n = 5 148Příklad 8Najděte všechna x, pro něž D(x, 63) = 3 a n(x, 63) = 252.ŘešeníVhled: O čísle x, které hledáme, budeme uvažovat v souvislosti s jeho rozkladem na prvočísla.Tedy při výpočtu D a n budeme užívat způsob I.Strategie: Nejdříve uděláme prvočíselný rozklad všech čísel vystupujících v úloze a pak aplikujemepoznatky o největším společném děliteli a nejmenším společném násobku.Realizace: 63 = 3 2 · 7, 252 = 2 2 · 3 2 · 7.• Protože D = 3, je v rozkladu čísla x číslo 3, ale není tam 3 2 ani 7 (pak by totiž D bylo 3 2 ,resp. 3 · 7 = 21). tj. x = 3 · y, kde 3 ̸ |y a 7 ̸ |y.• Protože n = 252 = 2 2 · 3 2 · 7, musí být v rozkladu čísla 252 tato prvočísla a žádná jiná.Číslo 3 2 je tam „díky číslu 63, proto 3 2 v rozkladu čísla x může, ale nemusí být. Číslo 2 2tam není „díky číslu 63, musí tam tedy být „díky číslu x a musí být v jeho prvočíselnémrozkladu. Konečně číslo 7 tam je „díky číslu 63, v rozkladu čísla x může, ale nemusí být.tj. x 1 = 2 2 , x 2 = 2 2 · 3, x 3 = 2 2 · 3 2 , x 4 = 2 2 · 7, x 5 = 2 2 · 3 · 7, x 6 = 2 2 · 3 2 · 7.Musíme si uvědomit, že obě podmínky platí zároveň, tj. zjistíme, co nám plyne z obou podmínek,a oba výsledky porovnáme.