zadánÃ
zadánà zadánÃ
40 KAPITOLA 2. TEORIE ČÍSEL25. Zvolme číslice C, pak ze vztahu B + C = 9 vypočteme B a ze vztahu 2A + C ∈ {9, 18}vypočteme A. Případy, kdy některé dvě z číslic A, B, C splynou, vypustíme. Ostatní případyjsou dány v tabulce.A 4 8 7 2 1 5B 8 7 5 4 2 1C 1 2 4 5 7 8Tedy číslo AB je některé z čísel 48, 87, 75, 24, 51, 12. Všechna tato čísla jsou dělitelná třemi.26. Pro Z = 0 je XY ∈ {31, 58, 85}. Pro Z = 8 je XY ∈ {23, 50}.27. a) 622 440, 712 440, 892 440, 982 440; b) 142 440, 172 440, 232 440.2.4 Největší společný dělitel a nejmenší společný násobekPříklad 6Najděte největší společný dělitel D čísel 1 496 a 2 024.ŘešeníVhled: Společný dělitel dvou čísel je takové číslo, které je dělitelem každého z nich. V našempřípadě např. číslo 2 je společným dělitelem čísel 1 496 a 2 024. Lehce zjistíme, že i číslo4 a dokonce 8 je společným dělitelem obou čísel. Nevíme však, zda číslo 8 je největšímspolečným dělitelem. Abychom to zjistili, budeme hledat, zda neexistuje ještě další společnýdělitel, případně dělitelé.Strategie: Při hledání největšího společného dělitele používáme dvou metod. První z nich jerozklad každého z čísel na prvočísla, druhá spočívá v souběžném zmenšování obou zkoumanýchčísel. Naši úlohu vyřešíme oběma způsoby.Způsob I1 496 = 2 3 · 11 · 172 024 = 2 3 · 11 · 23Největším společným dělitelem je tedy číslo D(1 496, 2 024) = 2 3 · 11 = 88.Způsob II1 496 2 024 :748 1 012 2374 506 2187 253 217 23 11D(1 496, 2 024) = 2 · 2 · 2 · 11 = 88.Druhý způsob je méně úspěšný tenkrát, když jedním ze společných dělitelů je prvočíslo,pro které neznáme kritérium dělitelnosti. Například, když hledáme D(156, 1 287). Obě číslajsou dělitelná číslem 3 a po zmenšení dostáváme dvojici čísel 52, 429, u nichž však společný
2.4. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL A NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK 41dělitel nevidíme. Při aplikaci prvního způsobu společný dělitel najdeme: 156 = 2 2 · 3 · 13,1 287 = 3 2 · 11 · 13.Z prvočíselného rozkladu obou čísel ihned vidíme, že obě čísla jsou dělitelná číslem 3 a 13.Tedy obě jsou dělitelná číslem 3 · 13 = 39, a tedy D(156, 1 287) = 39.Příklad 7Najděte nejmenší společný násobek n čísel 156 a 1 287.ŘešeníVhled: Společný násobek dvou čísel je takové číslo, které je dělitelné každým z uvedenýchdvou čísel. Např. společným násobkem čísel 156 a 1 287 je zcela jistě číslo 156 · 1 287. Nevímevšak, zda je to nejmenší společný násobek.Strategie: Podobně jako při hledání D i zde existují obě zmíněné cesty. Druhý způsob jevšak, jak jsme již viděli v předchozí úloze, těžko realizovatelný, protože neznáme kritériumdělitelnosti číslem 13. Omezíme se proto pouze na způsob první.Realizace: Z předchozího případu víme, že 156 = 2 2 ·3·13 a 1 287 = 3 2 ·11·13. V prvočíselnémrozkladu hledaného nejmenšího společného násobku musí být prvočísla z rozkladu čísla 156,tj. n musí mít tvar 2 2 · 3 · 13 · x. Dále víme, že číslo 1 287 má být dělitelem čísla n, proto n mátvar 3 2 · 11 · 13 · y. Tedy v prvočíselném rozkladu čísla n musí být čísla 2 2 , 3 2 , 11, 13. Proton(156, 1 287) = 5 148.Výsledek: n = 5 148Příklad 8Najděte všechna x, pro něž D(x, 63) = 3 a n(x, 63) = 252.ŘešeníVhled: O čísle x, které hledáme, budeme uvažovat v souvislosti s jeho rozkladem na prvočísla.Tedy při výpočtu D a n budeme užívat způsob I.Strategie: Nejdříve uděláme prvočíselný rozklad všech čísel vystupujících v úloze a pak aplikujemepoznatky o největším společném děliteli a nejmenším společném násobku.Realizace: 63 = 3 2 · 7, 252 = 2 2 · 3 2 · 7.• Protože D = 3, je v rozkladu čísla x číslo 3, ale není tam 3 2 ani 7 (pak by totiž D bylo 3 2 ,resp. 3 · 7 = 21). tj. x = 3 · y, kde 3 ̸ |y a 7 ̸ |y.• Protože n = 252 = 2 2 · 3 2 · 7, musí být v rozkladu čísla 252 tato prvočísla a žádná jiná.Číslo 3 2 je tam „díky číslu 63, proto 3 2 v rozkladu čísla x může, ale nemusí být. Číslo 2 2tam není „díky číslu 63, musí tam tedy být „díky číslu x a musí být v jeho prvočíselnémrozkladu. Konečně číslo 7 tam je „díky číslu 63, v rozkladu čísla x může, ale nemusí být.tj. x 1 = 2 2 , x 2 = 2 2 · 3, x 3 = 2 2 · 3 2 , x 4 = 2 2 · 7, x 5 = 2 2 · 3 · 7, x 6 = 2 2 · 3 2 · 7.Musíme si uvědomit, že obě podmínky platí zároveň, tj. zjistíme, co nám plyne z obou podmínek,a oba výsledky porovnáme.
- Page 3: 3ÚvodSeminář z elementární mat
- Page 6 and 7: 6 KAPITOLA 1. ROVNICEPříklad 2Vod
- Page 8 and 9: 8 KAPITOLA 1. ROVNICE20 let. Její
- Page 11 and 12: 1.2. KVADRATICKÉ ROVNICE 11Přípa
- Page 13 and 14: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 131.3
- Page 15 and 16: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 15Ře
- Page 17 and 18: 1.5. LOGARITMICKÉ A EXPONENCIÁLN
- Page 19 and 20: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 21 and 22: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 23 and 24: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 23Realiz
- Page 25 and 26: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 25y−2
- Page 27 and 28: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 27f) p =
- Page 29 and 30: Kapitola 2Teorie číselDomluva:•
- Page 31 and 32: 2.1. DĚLITELNOST 313. Zjistěte, k
- Page 33 and 34: 2.2. POČET DĚLITELŮ 3311. Nechť
- Page 35 and 36: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 35
- Page 37 and 38: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 37
- Page 39: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 39
- Page 43 and 44: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 43b) x 1
- Page 45 and 46: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 45Příkl
- Page 47 and 48: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 47Realiz
- Page 49 and 50: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 49Přík
- Page 51 and 52: Kapitola 3Kombinatorika3.1 Poznámk
- Page 53 and 54: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 55 and 56: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 57 and 58: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 59 and 60: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 61 and 62: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 63 and 64: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 65 and 66: Kapitola 4PlanimetrieDomluva:• Pr
- Page 67 and 68: 4.1. JEDNODUCHÉ KONSTRUKCE 67✓
- Page 69 and 70: 4.2. KONSTRUKCE ČÍSELNÉHO VÝRAZ
- Page 71 and 72: 4.3. KONSTRUKCE S POMOCNÝM ÚTVARE
- Page 73 and 74: 4.4. KONSTRUKCE POMOCÍ TRANSFORMAC
- Page 75 and 76: 4.5. OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY 754.5 O
- Page 77 and 78: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7719.
- Page 79 and 80: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7924.
- Page 81 and 82: 4.8. DŮKAZY 8128. Označme Q průs
- Page 83 and 84: 4.8. DŮKAZY 8333. Nechť E, F , G
- Page 85: Obsah1 Rovnice 51.1 Slovní rovnice
40 KAPITOLA 2. TEORIE ČÍSEL25. Zvolme číslice C, pak ze vztahu B + C = 9 vypočteme B a ze vztahu 2A + C ∈ {9, 18}vypočteme A. Případy, kdy některé dvě z číslic A, B, C splynou, vypustíme. Ostatní případyjsou dány v tabulce.A 4 8 7 2 1 5B 8 7 5 4 2 1C 1 2 4 5 7 8Tedy číslo AB je některé z čísel 48, 87, 75, 24, 51, 12. Všechna tato čísla jsou dělitelná třemi.26. Pro Z = 0 je XY ∈ {31, 58, 85}. Pro Z = 8 je XY ∈ {23, 50}.27. a) 622 440, 712 440, 892 440, 982 440; b) 142 440, 172 440, 232 440.2.4 Největší společný dělitel a nejmenší společný násobekPříklad 6Najděte největší společný dělitel D čísel 1 496 a 2 024.ŘešeníVhled: Společný dělitel dvou čísel je takové číslo, které je dělitelem každého z nich. V našempřípadě např. číslo 2 je společným dělitelem čísel 1 496 a 2 024. Lehce zjistíme, že i číslo4 a dokonce 8 je společným dělitelem obou čísel. Nevíme však, zda číslo 8 je největšímspolečným dělitelem. Abychom to zjistili, budeme hledat, zda neexistuje ještě další společnýdělitel, případně dělitelé.Strategie: Při hledání největšího společného dělitele používáme dvou metod. První z nich jerozklad každého z čísel na prvočísla, druhá spočívá v souběžném zmenšování obou zkoumanýchčísel. Naši úlohu vyřešíme oběma způsoby.Způsob I1 496 = 2 3 · 11 · 172 024 = 2 3 · 11 · 23Největším společným dělitelem je tedy číslo D(1 496, 2 024) = 2 3 · 11 = 88.Způsob II1 496 2 024 :748 1 012 2374 506 2187 253 217 23 11D(1 496, 2 024) = 2 · 2 · 2 · 11 = 88.Druhý způsob je méně úspěšný tenkrát, když jedním ze společných dělitelů je prvočíslo,pro které neznáme kritérium dělitelnosti. Například, když hledáme D(156, 1 287). Obě číslajsou dělitelná číslem 3 a po zmenšení dostáváme dvojici čísel 52, 429, u nichž však společný
Change language