zadání

2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 3919. Najděte různé číslice A a B tak, aby současně platilo 9|ABB a 4|BAA. Najděte všechnařešení.20. Najděte všechna čísla tvaru A BBA, která jsou dělitelná číslem a) 9, b) 99, kde A a Bjsou různé číslice.21. Najděte všechna čísla tvaru A BAB, která jsou dělitelná číslem 39, kde A a B jsou různéčíslice.22. Dokažte, že pro každou dvojici různých číslic A, B platí 7|A BBA ⇒ 77|A BBA.23. Najděte všechna čísla tvaru A ABA, která jsou dělitelná číslem 11, kde A a B jsou různéčíslice.24. Najděte všechna čísla tvaru AA BAB, která jsou dělitelná číslem 33, kde A a B jsourůzné číslice.25. Dokažte, že pro každou trojici různých číslic A, B, C platí (9|ACA ∧ 9|BC) ⇒ 3|AB.26. Najděte všechna čísla tvaru XY 32Z, která jsou dělitelná číslem 216, kde X, Y , Z jsourůzné číslice.27. a) Najděte všechna čísla XY 2 44Z, kde X, Y , Z jsou navzájem různé číslice, tak, abyXY 2 44Z bylo dělitelné číslem 180 a aby toto číslo bylo větší nebo rovno 600 000.b) Najděte takové různé číslice X, Y , Z, aby platilo: 120|XY 2 44Z a současně čísloXY 2 44Z < 250 000.Řešení17. a) 228, 336, 552, 660, 996; b) 558, 774, 882, 990; c) 225, 550, 775; d) 990, 225.18. a) 1 212, 2 424; b) žádné.19. A = 0 a B = 9; A = 4 a B = 7; A = 8 a B = 5.20. 990, 1 881, 2 772, 3 663, 4 554, 5 445, 6 336, 7 227, 8 118, 9 009. Stejný výsledek pro číslo 9i 99 (viz úloha 22).21. 3939, 7878.22. Číslo A BBA lze psát ve tvaru 1 000A + 100B + 10B + A = 1 001A + 110B == 11(91A + 10B). Protože číslo A BBA je vždy dělitelné jedenácti, plyne z jeho dělitelnostisedmi i dělitelnost číslem 77.23. Protože A − A + B − A = B − A má být dělitelné jedenácti, musí být B − A = 0, tedyB = A, což odporuje zadání úlohy. Úloha nemá řešení.24. 11 616, 66 363, 77 979.