zadánÃ
zadánà zadánÃ
36 KAPITOLA 2. TEORIE ČÍSELPříklad 3Najděte všechna trojciferná čísla ABB dělitelná devíti. Číslice A a B jsourůzné.Řešení IČíslo ABB je dělitelné devíti, jestliže je číslo A + 2B dělitelné devíti, tj. je rovno číslu 9, 18,27, 36. . . .A + 2B = 9A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9B 9 7 5 3 12423222120A + 2B = 18A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 917 15 13 11 9B 9282726252A + 2B = 27A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9B 27 25 23 21 1921321221121029A + 2B = 36A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 935 33 31 29 27B 182172162152142Z tabulek vybereme jen ty dvojice (A, B), ve kterých je B ∈ {0, 1, . . . , 9}, tj. (1, 4), (3, 3),(5, 2), (7, 1), (9, 0), (0, 9), (2, 8), (4, 7), (6, 6), (8, 5), (9, 9).✓✏ ❛ ❛|Výsledek: 144, 333, 522, 711, 900, 99, 288, 477, 666, 855, 999.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Ze zadání úlohy víme, že A a B jsou různé cifry. Z výsledku tedy vyřadíme čísla 333, 666, 999. Navíc✒✑⌣⊲⊳ hledáme pouze trojciferná čísla, vyřadíme proto číslo 99.Úloha má tedy sedm řešení.Řešení IIHledání číslic A a B pomocí tabulky je názorné, ale zbytečně pracné. Protože číslice A a Bmohou být nejméně 0 a nejvíce 9 a jsou to různé číslice, dostáváme omezující podmínky, kterémůžeme využít: 1 ≤ A + 2B ≤ 26Mezi těmito mezemi leží pouze 9 a 18 jako čísla dělitelná devíti. Tedy původní úloha sepřetransformovala na úlohu „Pro které různé číslice A, B je A + 2B rovno 9 nebo 18?.∗ A + 2B = 9 ⇔ A = 9 − 2B. Odtud po dosazení za B ∈ {0, 1, 2, 3, 4} dostáváme(A, B) ∈ {(9, 0), (7, 1), (5, 2), (1, 4)}. Podobně∗ A + 2B = 18 ⇔ A = 2 ∧ B = 8 (A musí být sudé), nebo A = 4 ∧ B = 7, neboA = 8 ∧ B = 5.
2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 37Příklad 4Najděte všechna čísla ABA dělitelná číslem 15 tak, aby ABA > 100. ČísliceA a B jsou různé.ŘešeníVhled: V této úloze hledáme čísla dělitelná číslem 15. Víme, že číslo je dělitelné patnácti,právě když je dělitelné třemi a pěti. Tedy hledáme čísla typu ABA dělitelná třemi a zároveňpěti. Protože kritérium dělitelnosti pěti je silná podmínka, nejdříve najdeme všechna čísladělitelná pěti a z nich vybereme čísla dělitelná třemi 1 .Realizace: A je dělitelné pěti ⇒ A = 0 nebo A = 5. Oba případy vyšetříme zvlášť.• Když A = 0, pak má hledané číslo tvar 0B0. Toto číslo je dělitelné třemi, právě kdyžB ∈ {3, 6, 9}. Pak ABA je jedno z čísel 30, 60 a 90.• Když A = 5, pak má hledané číslo tvar 5B5. Číslo B + 10 je dělitelné třemi, právě kdyžB ∈ {2, 5, 8}. Případ B = 5 vyloučíme, protože A a B jsou různé číslice. Pak ABA je jednoz čísel 525, 585.✓✏ ❛ ❛|Výsledek: 30, 60, 90, 525, 585.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Podle zadání musí být hledaná čísla větší než 100. Z námi nalezených čísel to první tři✒✑⌣⊲⊳ nesplňují. Úloha má dvě řešení.Příklad 5Najděte (ne nutně různé) číslice X, Y , Z tak, aby šesticiferné číslon = XY 2 43Z bylo dělitelné číslem 396.ŘešeníVhled: Tato úloha je obtížnější než předcházející tři. Přesto i u ní vystačíme s postupem,který jsme se právě naučili. Hledaná čísla mají být dělitelná číslem 396 = 4 · 9 · 11, tedy musíbýt dělitelná čtyřmi, devíti a současně i jedenácti.Strategie: Opět budeme postupně využívat jednotlivých kritérií dělitelnosti. Je na nás, jaképořadí si vybereme. Vzhledem k tomu, že kritérium dělitelnosti jedenácti je nejsložitější, budedobré si ho nechat až na konec. Rozhodneme se pro následující pořadí – nejprve aplikujemekritérium dělitelnosti čtyřmi, pak devíti a nakonec jedenácti.Při řešení nebudeme již používat tabulku ale „matematičtější způsob zápisu, tj. zjistímeomezující podmínky pro X, Y a Z.Realizace: Protože 4|n, je dvojciferné číslo 3Z dělitelné čtyřmi, nebo-li Z ∈ {2, 6}. Oba případyvyřešíme zvlášť.• Z = 2, tedy n = XY 2 432 je dělitelné devíti, právě když X + Y + 11 je dělitelné devíti,tj. X + Y + 2 je dělitelné devíti. Tedy X + Y + 2 je buď 9, nebo 18 (X + Y < 19). OdtudX + Y ∈ {7, 16}.1 Pokud žák začne s dělitelností pěti, již toto jeho rozhodnutí ukazuje na jeho vhled.
- Page 3: 3ÚvodSeminář z elementární mat
- Page 6 and 7: 6 KAPITOLA 1. ROVNICEPříklad 2Vod
- Page 8 and 9: 8 KAPITOLA 1. ROVNICE20 let. Její
- Page 11 and 12: 1.2. KVADRATICKÉ ROVNICE 11Přípa
- Page 13 and 14: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 131.3
- Page 15 and 16: 1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 15Ře
- Page 17 and 18: 1.5. LOGARITMICKÉ A EXPONENCIÁLN
- Page 19 and 20: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 21 and 22: 1.6. ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
- Page 23 and 24: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 23Realiz
- Page 25 and 26: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 25y−2
- Page 27 and 28: 1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 27f) p =
- Page 29 and 30: Kapitola 2Teorie číselDomluva:•
- Page 31 and 32: 2.1. DĚLITELNOST 313. Zjistěte, k
- Page 33 and 34: 2.2. POČET DĚLITELŮ 3311. Nechť
- Page 35: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 35
- Page 39 and 40: 2.3. ALGEBROGRAMY A DĚLITELNOST 39
- Page 41 and 42: 2.4. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITE
- Page 43 and 44: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 43b) x 1
- Page 45 and 46: 2.5. EUKLIDŮV ALGORITMUS 45Příkl
- Page 47 and 48: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 47Realiz
- Page 49 and 50: 2.6. DIOFANTOVSKÉ ROVNICE 49Přík
- Page 51 and 52: Kapitola 3Kombinatorika3.1 Poznámk
- Page 53 and 54: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 55 and 56: 3.2. ÚLOHY S ARITMETICKÝM KONTEXT
- Page 57 and 58: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 59 and 60: 3.3. ÚLOHY S GEOMETRICKÝM KONTEXT
- Page 61 and 62: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 63 and 64: 3.4. ÚLOHY S REÁLNÝM KONTEXTEM 6
- Page 65 and 66: Kapitola 4PlanimetrieDomluva:• Pr
- Page 67 and 68: 4.1. JEDNODUCHÉ KONSTRUKCE 67✓
- Page 69 and 70: 4.2. KONSTRUKCE ČÍSELNÉHO VÝRAZ
- Page 71 and 72: 4.3. KONSTRUKCE S POMOCNÝM ÚTVARE
- Page 73 and 74: 4.4. KONSTRUKCE POMOCÍ TRANSFORMAC
- Page 75 and 76: 4.5. OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY 754.5 O
- Page 77 and 78: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7719.
- Page 79 and 80: 4.6. VÝPOČTY V PLANIMETRII 7924.
- Page 81 and 82: 4.8. DŮKAZY 8128. Označme Q průs
- Page 83 and 84: 4.8. DŮKAZY 8333. Nechť E, F , G
- Page 85: Obsah1 Rovnice 51.1 Slovní rovnice
36 KAPITOLA 2. TEORIE ČÍSELPříklad 3Najděte všechna trojciferná čísla ABB dělitelná devíti. Číslice A a B jsourůzné.Řešení IČíslo ABB je dělitelné devíti, jestliže je číslo A + 2B dělitelné devíti, tj. je rovno číslu 9, 18,27, 36. . . .A + 2B = 9A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9B 9 7 5 3 12423222120A + 2B = 18A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 917 15 13 11 9B 9282726252A + 2B = 27A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9B 27 25 23 21 1921321221121029A + 2B = 36A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 935 33 31 29 27B 182172162152142Z tabulek vybereme jen ty dvojice (A, B), ve kterých je B ∈ {0, 1, . . . , 9}, tj. (1, 4), (3, 3),(5, 2), (7, 1), (9, 0), (0, 9), (2, 8), (4, 7), (6, 6), (8, 5), (9, 9).✓✏ ❛ ❛|Výsledek: 144, 333, 522, 711, 900, 99, 288, 477, 666, 855, 999.✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Ze zadání úlohy víme, že A a B jsou různé cifry. Z výsledku tedy vyřadíme čísla 333, 666, 999. Navíc✒✑⌣⊲⊳ hledáme pouze trojciferná čísla, vyřadíme proto číslo 99.Úloha má tedy sedm řešení.Řešení IIHledání číslic A a B pomocí tabulky je názorné, ale zbytečně pracné. Protože číslice A a Bmohou být nejméně 0 a nejvíce 9 a jsou to různé číslice, dostáváme omezující podmínky, kterémůžeme využít: 1 ≤ A + 2B ≤ 26Mezi těmito mezemi leží pouze 9 a 18 jako čísla dělitelná devíti. Tedy původní úloha sepřetransformovala na úlohu „Pro které různé číslice A, B je A + 2B rovno 9 nebo 18?.∗ A + 2B = 9 ⇔ A = 9 − 2B. Odtud po dosazení za B ∈ {0, 1, 2, 3, 4} dostáváme(A, B) ∈ {(9, 0), (7, 1), (5, 2), (1, 4)}. Podobně∗ A + 2B = 18 ⇔ A = 2 ∧ B = 8 (A musí být sudé), nebo A = 4 ∧ B = 7, neboA = 8 ∧ B = 5.
Change language