zadání

2.2. POČET DĚLITELŮ 3311. Nechť p, q jsou obě prvočísla. Na konkrétních příkladech vyšetřete, kolik dělitelů mohoumít čísla tvaru pq, p 2 q, pq 2 , p 2 q 2 , p 3 q. (Tvar pq mají například čísla 6, 15, 35 atd.)12. Napište množinu M všech dělitelů čísla 1 728. Zjistěte d(1 728).13. Nechť p, q jsou prvočísla. Zjistěte d(p n q m ).14. Jak lze přehledně zapsat množinu M všech dělitelů čísla 8 640? Zjistěte d(8 640). Výsledekzobecněte.15. Najděte všechna n < 20, pro která platí d(n) = 4 a d(n + 1) = 3.16. Kolik dělitelů má číslo a) 285 120, b) 1 148 175, c) 220 000?Řešení8. d(5) = d(7) = d(11) = 2; d(25) = d(49) = d(121) = 3; d(125) = d(343) = d(1 331) = 4.9. Uvedené vztahy platí právě tehdy, když n je prvočíslo.10. Řešení předchozí úlohy můžeme zobecnit. Dělitelé čísla p 2 jsou 1, p a p 2 , tj. d(p 2 ) = 3. Dáled(p 3 ) = 4, neboť dělitelé čísla p 3 jsou 1, p, p 2 , p 3 . Podobně d(p 4 ) = 5 atd. Z toho vyvodíme,že počet dělitelů mocnin prvočísla je vždy o jedničku větší než exponent, tj. d(p n ) = n + 1.11. Každé z těchto čísel je určeno jednoznačně: d(pq) = 4, d(p 2 q) = 6, d(pq 2 ) = 6, d(p 2 q 2 ) = 9,d(p 3 q) = 8.12. Dělitelem čísla 1 728 = 2 6 ·3 3 je každé číslo 2 a ·3 b , kde a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, b ∈ {0, 1, 2, 3}.Množinu M pak můžeme přehledně zapsat tabulkou:b | a 0 1 2 3 4 5 60 1 2 4 8 16 32 641 3 6 12 24 48 96 1922 9 18 36 72 144 288 5763 27 54 108 216 432 864 1 728Tedy d(1 728) = 7 · 4 = 28.13. d(p n q m ) = (n + 1)(m + 1)14. Protože číslo 8 640 = 2 6 · 3 3 · 5 je pětinásobek čísla 1 728, je každý dělitel čísla 1 728i dělitelem čísla 8 640. Navíc, jestliže k je dělitel čísla 1 728, pak 5k je dělitel čísla 8640. Protolze množinu M všech dělitelů čísla 8 640 zapsat pomocí dvou nad sebou ležících tabulekshodných s tabulkou z řešení úlohy 12. Nad každým číslem tabulky ležící v „přízemí senachází v „prvním patře jeho pětinásobek. Tak jsou všechna čísla z množiny M uspořádánav okénkách hranolu s rozměry 7 · 4 · 2. Tedy d(8 640) = 7 · 4 · 2 = 56.První zobecnění: Číslo 2 n 3 m 5 k má (n + 1)(m + 1)(k + 1) dělitelů, tedy