zadání

32 KAPITOLA 2. TEORIE ČÍSELPodobně končí-li číslicí 7, je vždy dělitelné třemi, končí-li číslicí 3, je také dělitelné třemi,a končí-li číslem 1, je dělitelné devíti. Všechna čísla z dané množiny jsou složená.6. a) Neexistují, neboť v množině šesti po sobě jdoucích čísel jsou určitě tři sudá čísla, kteráurčitě nejsou prvočísly (případ, kdy je číslo 2 jedním z těchto čísel, je už v zadání).b) Vezmeme zbývající tři lichá čísla. Označme n nejmenší z nich. Pak n+2, n+4 jsou dalšídvě. Z těchto tří čísel právě jedno je dělitelné třemi (prověřte na příkladech). Víme, že jedinéprvočíslo dělitelné třemi je číslo 3. Existují pouze tyto šestice: 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 3, 4, 5, 6, 7, 8.7. a) Všechna kromě čísla 2. Dvě po sobě jdoucí čísla můžeme napsat jako n+(n+1) = 2n+1a takto můžeme napsat všechna lichá čísla větší než 2 a tedy i prvočísla kromě čísla 2.b) Žádné. Tři po sobě jdoucí čísla můžeme napsat jako n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1).Tak dostaneme čísla dělitelná třemi.c) Žádné. Sečteme-li obdobně čtyři po sobě jdoucí čísla n, n + 1, n + 2, n + 3, dostanemečíslo 2(2n + 3) a to je číslo dělitelné dvěma. Nelze tedy tak zapsat žádné prvočíslo (číslo 2jedině pro n záporné).d) Žádné. Dostaneme číslo 3(2n + 5), tedy číslo dělitelné třemi.2.2 Počet dělitelůDomluva:• Počet dělitelů čísla n označíme d(n). Například číslo n = 3 má dva dělitele (čísla 1 a 3),tj. d(3) = 2. Podobně d(4) = 3.• Pomocí funkce d můžeme definovat pojem prvočíslo:Přirozené číslo n je prvočíslo ⇔ d(n) = 2.• Připomeňme, že číslo k, které je dělitelem čísla n, nazýváme vlastní dělitel, právě kdyžk < n. Tedy každé číslo n má d(n) − 1 vlastních dělitelů.Poznámka: Protože d(1) = 1, číslo 1 nepovažujeme za prvočíslo.Cílem této části je naučit se hledat čísla d(n) ke každému n. U mnoha úloh teorie čísel jevhodné nejdříve prozkoumat konkrétní číselné příklady, než se pokusíme o obecné řešení.Často je rozumné prozkoumat menší čísla dříve, než přistoupíme ke studiu čísel velkých.Touto myšlenkou se řídí série úloh, pomocí nichž se čtenář sám propracuje k pěknému tvrzeníz teorie čísel.Úlohy8. Najděte čísla d(5), d(25), d(125), d(7), d(49), d(343), d(11), d(121), d(1 331).9. Zjistěte, pro která n platí d(n) = 2, d(n 2 ) = 3 a d(n 3 ) = 4.10. Najděte d(p 2 ), d(p 3 ), d(p 4 ), d(p n ).