zadání

1.7. PARAMETRICKÉ ROVNICE 23Realizace:• Je-li p = 0, rovnice bude mít tvar 2 = 0, tedy řešení neexistuje.• Je-li p ≠ 0, kvadratická rovnice má kořeny:x 1,2 = −p2 ± √ p 4 − 8p2p= −p√ p ± √ p 3 − 82 √ p(∗ ∗ ∗)Poslední výraz má smysl pouze pro p > 0 a p 3 > 8, tj. pro p > 2.✓✏ ❛ ❛|Odpověď: Je-li p < 2, rovnice nemá žádný kořen, tj. M = {}. Je-li p = 2, je M = {−1}. Je-li✒✑⌢⊲⊳√ p > 2, je M = { −p√ p± p 3 −82 √ p}.✓✏ ❛ ❛ Uvedené řešení je chybné, což snadno nahlédneme. Například podle horní odpovědi daná rovnice nemá✒✑⌣⊲⊳ pro p = −1 žádné řešení, ale pouhým dosazením se přesvědčíme, že x 1 = −1 i x 2 = 2 jsou kořeny. Kdeje chyba?Chyba je v úpravě (∗ ∗ ∗). Vztah √ p 4 − 8p = √ p √ p 3 − 8, který jsme při úpravě použili jako identitu,identitou není. Platí pouze pro p ≥ 0. Pro p < 0 neplatí, neboť levá strana definována je, ale pravánení. Výraz pod odmocninou p 4 − 8p = p(p 3 − 8) = p(p − 2)(p 2 + 2p + 4) je záporný pro p ∈ (0, 2).Pro všechna jiná p je výraz nezáporný.Tedy správné řešení√má části: p ∈ 〈0, 2) ⇒ M = {}; p = 2 ⇒ M = {−1}; p ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞) ⇒⇒ M = {− p 2 ± p 24 − 2 p }.Poznámka: Případ p = 2 ⇒ M = {−1} lze vypustit,√protože je podpřípadem posledního případu. Paknapíšeme p ∈ (−∞, 0) ∪ 〈2, ∞) ⇒ M = {− p 2 ± p 24 − 2 p }.Příklad 13( √ p − 1)x 2 − 2x √ p + 1 + √ p + 1 = 0ŘešeníRovnice má smysl pouze pro nezáporná p. Pro p = 1 je daná rovnice lineární s řešením x =Pro jiná p je daná rovnice kvadratická s diskriminantem D = 4(p + 1) − 4(p − 1) = 8. Pakx 1,2 =√ √p+1±√ 2p−1.✓✏√ √ √❛ ❛|Výsledek: p = 1 ⇒ M = { 22 }; p ∈ 〈0, 1) ∪ (1, ∞) ⇒ M = { p+1±√ 2p−1}✒✑⌢✓✏ ⊲⊳❛ ❛ Řešit parametrickou rovnici znamená určit množinu kořenů M v závislosti na všech hodnotách daného✒✑⌣⊲⊳ parametru. V uvedeném případě nás výraz √ p vedl k opomenutí případu p < 0. Tím se ovšem stalořešení neúplným. Proto je nutno k řešení ještě přidat p ∈ (−∞, 0) ⇒ rovnice nemá smysl.Poznámka: Je nutno rozlišovat dva případy. (1) Rovnice nemá řešení (např. v příkladu 11 prop = 0). (2) Rovnice nemá smysl (např. v příkladu 13 pro p < 0).√22 .