zadání

22 KAPITOLA 1. ROVNICE1.7 Parametrické rovniceDomluva: U všech parametrických rovnic je stejný text zadání: V R řešte parametrickourovnici s parametrem p. Parametr p je libovolné reálné číslo.Příklad 11p(p − 1)x − p + 1 = 0ŘešeníVhled: Nejběžnější způsob, jak získat porozumění parametrickým rovnicím, je vyřešit několikjejich konkrétních případů. Zvolme tedy za p několik konkrétních hodnot a každou získanourovnici vyřešme. Napříkladp = 2 → daná rovnice má tvar 2x − 1 = 0, odkud x = 1 2 ;p = −1 → daná rovnice má tvar 2x + 2 = 0, odkud x = −1;p = 5 → daná rovnice má tvar 20x − 4 = 0, odkud x = 1 5 .Ve dvou případech konkretizovaná rovnice „zmizí: pro p = 0 a p = 1. Jestliže p = 0, danárovnice má tvar 1 = 0. Této „rovnici nevyhovuje žádné x.Strategie: Danou rovnici řešíme, jako kdyby p bylo pevně dané reálné číslo. Případy, ve kterýchje v procesu řešení nutno udělat „choulostivý krok (např. dělit výrazem, který může býtnulou; odmocnit výraz, který může být záporný), je pak nutno pečlivě prozkoumat.Realizace: p(p − 1)x = p − 1, x =p−1p(p−1) = 1 p .✓✏ ❛ ❛|Odpověď: Je-li p = 0, rovnice nemá žádný kořen, tj. M = {}; je-li p ≠ 0, rovnice má právě✒✑⌢⊲⊳ jeden kořen x = 1 p , tj. M = { 1 p }.✓✏ ❛ ❛ Uvedené řešení je chybné, protože nám při úpravách unikl případ p = 1 (krátili jsme výrazem p − 1).✒✑⌣⊲⊳ Je-li p = 1, mění se daná rovnice na identitu 0 = 0, která je splněna pro všechna x. Tedy správnéřešení má tři části: pro p = 0 je M = {}; pro p = 1 je M = R; pro ostatní p je M = { 1 p }.Stručněji lze výsledek zapsat jako: p = 0 ⇒ M = {}, p = 1 ⇒ M = R, p ∉ {0, 1} ⇒ M = { 1 p }.Poučení: Chyba, které jsme se dopustili, patří k těm, které se nejčastěji vyskytují v řešeních posluchačů.Vzniká při úpravě výrazu, kdy je tento dělen jiným výrazem a zapomene se o tomto druhém výrazuuvážit, kdy je nulový. V našem případě jsme při opatrné úpravě dané rovnice měli postupovat takto0 = p(p − 1)x − p + 1 = (px − 1)(p − 1). Součin dvou čísel je nula, právě když některé z nich je nula.Proto je nutno diskutovat oba případy px = 1 a p = 1. Právě poslední z těchto případů nám přiúpravách unikl.Příklad 12px 2 + p 2 x + 2 = 0ŘešeníStrategie: Na první pohled je daná rovnice rovnicí kvadratickou. Musíme být však opatrní,protože v případě, že koeficient u x 2 je nula, mění se rovnice na rovnici lineární nebo dokoncena rovnost.