zadání

16 KAPITOLA 1. ROVNICEcos 3 x ≤ cos 2 x, sin 3 x ≤ sin 2 x nastává rovnost. K tomu dochází, právě když cos x = 1,sin x = 0, nebo cos x = 0, sin x = 1, tj. x = 2kπ nebo x = 2kπ + π 2 .c) x = kπ25. a) Všechna x ∈ R; b) všechna x ∈ R různá od kπ; c) žádné x; d) x = π 8 + kπ 4 a x = π 2 +kπ.1.4 Iracionální rovnicePříklad 6√x +√ x + 4 = 2√x −√ x + 4ŘešeníStrategie: Použijeme nejběžnější způsob řešení iracionálních rovnic, tj. umocňováním odstranímeodmocniny.Realizace: Po umocnění a úpravě dostaneme 5 √ x + 4 = 3x. Opět umocníme, upravíme a dostaneme9x 2 − 25x − 100 = 0. Odtud x 1 = 5, x 2 = − 20 9 .✓✏ ❛ ❛|Výsledek: Rovnice má dva kořeny x 1 = 5, x 2 = − 20 9 .✒✑⌢⊲⊳✓✏ ❛ ❛ Protože jsme při upravování rovnice umocňovali, musíme prověřit, zda jsou nalezené „kořeny opravdovýmikořeny. Hrozí totiž dvě nebezpečí:✒✑⌣⊲⊳• kořen po dosazení do původní rovnice může vést k zápornému číslu pod odmocninou;• kořen po dosazení do původní rovnice dá na obou stranách rovnice reálná čísla, ale tato čísla jsourůzná.V našem případě dosazením zjistíme, že kořen x 1 rovnici vyhovuje, ale kořen x 2 nevyhovuje, neboťpo dosazení do výrazu √ x − √ x + 4 vyjde pod odmocninou záporné číslo.Úlohy26. a) 7 + √ x − 7 = x; b) √ x + 7 = x + 5;c) 1 + √ x + 1 = 2x; d) 2 3 + √ x + 2 = 3x.27. a) √ x + 5 = √ x − 2 + 1; b) √ x + 2 = √ x − 1 + 1;c) √ x + 5 − 2 = √ x + 1; d) √ 3x + 7 = √ 3x + 2 + 1.28. a) √ x 2 − 2x + 5 = x + 1; b) √ 2x 2 + x + 3 = 2x + 1;c) √ x 2 − x + 6 = 2x + 16; d) √ 2x 2 + 2x − 1 = x + 1.29. a) √ 4x − 2 √ x + 1 = √ 2x + √ x + 1;b) √ √ x + 4 − x =√√ x + 4 + 2;c) 2 √ √ x − 1 − 1 =√ √x − 1 +12 ;d) √ 2 √ 2x + 3 − 2x = √ 1 + 3 √ 2 − √ 2x + 3.Řešení