zadání

1.3. TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE 15Řešení√21. cos 18 ◦ 5+ √ √5=8, sin 36 ◦ 5− √ 5=8, cotg 18 ◦ = √ 5 + 2 √ √5, cotg 36 ◦ 5+2 √ 5=5,√tg 18 ◦ 5−2 √ 5=5, tg 36 ◦ = √ 5 − 2 √ 5.22. Množina řešení jea) {0, π 3 , π, 5π 3 };b) {0, π 5 , 3π 5 , 2π 3 , π, 4π 3 , 7π 5 , 9π 5 };c) {0, π 10 , 3π10 , π 2 , 7π10 , 9π10, π,11π10 , 13π10 , 3π 2 , 17π10 , 19π10 };d) { πm+1 , 3πm+1 , 5πm+1 , . . . , (2m+1)πm+1} ∪ {0,2πm−1 , 4πm−1 , . . . , (2m−4)πm−1};e) {0, 2π 3 , 4π 3 };f) {0, 2π 5 , 2π 3 , 4π 5 , 6π 5 , 4π 3 , 8π 5 };g) {0, π 5 , 2π 5 , π 2 , 3π 5 , 4π 5 , π, 6π 5 , 7π 5 , 3π 2 , 8π 5 , 9π 5 };h) {0,2πm+1 , 4πm+1 , 6πm+1 , . . . , 2mπm+1 } ∪ { 2πm−1 , 4πm−1 , 6πm−1 , . . . , (2m−4)πm−1}.Rada ad d) a h): Zobecnění proveďte buď na základě předchozích konkrétních úloh, nebopřeveďte úlohu na sin mx − sin x = 0, resp. cos mx − cos x = 0 a použijte příslušný vzorec prosin a − sin b, resp. cos a − cos b.23. a) Řešení I: √ 3 sin x = 1 − cos x, ( √ 3 sin x) 2 = (1 − cos x) 2 , 3 sin 2 x = 1 − 2 cos x + cos 2 x,3(1 − cos 2 x) = 1 − 2 cos x + cos 2 x, 4 cos 2 x − 2 cos x − 2 = 0, 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0,tj. (cos x) 1,2 = 1±√ 94, (cos x) 1 = 1, (cos x) 2 = − 1 2 . √Z původní rovnice pak (sin x) 1 = 0, (sin x) 2 = 32 , tedy x 1 = 2kπ, x 2 = 2π 3 + 2kπ.Řešení II: Použijeme trik. Nejdříve vydělíme rovnici dvěma. Dostaneme 1 2 cos x+ √32 sin x = 1 2 .Víme, že sin π 6 = 1 2 a cos π 6 = √32 , můžeme tedy rovnici přepsat jako sin π 6 cos x+cos π 6 sin x = 1 2 .Dále použijeme známý vzorec pro sin(α ±β) a dostaneme sin(x+ π 6 ) = 1 2 , tj. x+ π 6 = π 6 +2kπ,nebo x + π 6 = 5π 6 + 2kπ, a konečně x 1 = 2kπ, x 2 = 2π 3 + 2kπ.b) x = 11π6 + 2kπ;c) x 1 = π 12 + 2kπ, x 2 = 7π12 + 2kπ;d) označme a = arcsin 3 5 , pak cos a = 4 5a daná rovnice má tvar sin a cos x + cos a sin x = 1,odtud sin(x + a) = 1, tedy x = π 2 − a + 2kπ;e) označme a = arcsin 3 5 , b = arcsin 2 5 ; pak cos a = 4 5; daná rovnice má tvarsin a cos x − cos a sin x = sin b; odtud sin(a − x) = sin b; tedy x 1 = a − b + 2kπ,x 2 = a + b + π + 2kπ;f) označme a = arcsin √ 25; pak množina řešení má tvar x 1 = a+ π 4 +2kπ, x 2 = a+ 3π 4 +2kπ;g) x 1 = π 6 + kπ, x 2 = π 3 + kπ;1h) řešení neexistuje, protože tg x + cotg x =možné.sin x cos x = 2sin 2ximplikuje sin 2x = 2, což není24. a) Umocněním identity cos 2 x + sin 2 x = 1, získámecos 4 x + sin 4 x + 2 cos 2 x sin 2 x = 1, tedy cos x sin x = 0, odkud x = kπ 2 .b) Protože cos 3 x ≤ cos 2 x, sin 3 x ≤ sin 2 x, dostáváme po sečtení obou nerovností vztahcos 3 x + sin 3 x ≤ 1. Rovnost nastane pouze tehdy, když v obou výchozích nerovnostech