zadání

14 KAPITOLA 1. ROVNICEŘešení IIIStrategie: Použijeme obrázek.Realizace: Na prvním obrázku je jednotková kružnice a na ní jsou vyznačeny body A, B, C, D.Každý z oblouků AB, BC, CD má délku x. Rovnice sin 3x = sin 2x se v geometrickém jazykumění na podmínku: přímka CD je rovnoběžná s osou x. Pak ale osa y je osou souměrnostiúsečky CD a odtud okamžitě plyne, že 90 ◦ = 2, 5x. Tedy x 1 = 36 ◦ je první kořen.Druhý obrázek ukazuje, jak získáme řešení x 2 = 108 ◦ . Ze souměrnosti podle osy x plyne,že i x = −36 ◦ a x = −108 ◦ jsou řešení dané rovnice. Tato řešení však neleží ve vymezenémintervalu 〈0 ◦ , 360 ◦ ). Oba kořeny do daného intervalu posuneme přičtením periody 360 ◦ ,tj. x 3 = 324 ◦ , x 4 = 252 ◦ .Nakonec ještě dva jednoduché případy x 5 = 0 ◦ a x 6 = 180 ◦ .Poznámka: Tři různá řešení stejné rovnice nám umožnila hlubší pohled do situace popsanérovnicí. Například obohatila tabulku známých hodnot goniometrických funkcí. K hodnotámúhlů 0 ◦ , 30 ◦ , 45 ◦ , 60 ◦ a 90 ◦ přibyly hodnoty úhlů dalších, tj. cos 36 ◦ = sin 54 ◦ = 1+√ 5cos 72 ◦ = sin 18 ◦ =Úlohy√5−14.21. Doplňte prázdná okénka v tabulce:sin 00 ◦ 18 ◦ 30 ◦ 36 ◦ 45 ◦√5−14cos 1 •tg 0 •cotg – •12•√3 1+ √ 5√243√2√222√3 • 13 • 122. V intervalu 〈0, 2π) řešte rovnicia) sin 2x = sin x; b) sin 4x = sin x;c) sin 7x = sin 3x; d) sin mx = sin x, m ∈ N, m > 1;e) cos 2x = cos x; f) cos 4x = cos x;g) cos 7x = cos 3x; h) cos mx = cos x, m ∈ N, m > 1.23. a) cos x + √ 3 sin x = 1; b) √ 3 cos x − sin x = 2;c) cos x + √ 3 sin x = √ 2; d) 3 cos x + 4 sin x = 5;e) 3 cos x − 4 sin x = 2; f) sin x − 2 cos x =g) tg x + cotg x = √ 43; h) tg x + cotg x = 1.24. a) cos 4 x + sin 4 x = 1; b) cos 3 x + sin 3 x = 1;c) cos 4 x − sin 4 x = 1;√52 ;25. a) 8 cos 6 x + 8 sin 6 x = 5 + 3 cos 4x; b) tg x 2 = 1−cos xsin x ;c) 2 cos 2 x = 2 + cos 2x; d) cos 3x + cos 5x = cos 4x cos x.4,