zadání

12 KAPITOLA 1. ROVNICEÚlohy15. Řešte danou kvadratickou rovnici a její kořeny vyjádřete bez stupňovité odmocniny.a) x 2 − 3x + √ 7 − 5 = 0; b) x 2 + x − 3 √ 5 − 7 = 0;c) x 2 + x − 5 + √ 5 = 0; d) x 2 + x + 3 − √ 5 = 0.16. Řešte kvadratickou rovnici x 2 − x √ 2 − 3 − √ 6 = 0 a její kořeny vyjádřete bez stupňovitéodmocniny.17. Řešte kvadratickou rovnici x 2 − x √ √2 − 1 −√2 = 0 a její kořeny vyjádřete v co nejjednoduššímtvaru.18. Najděte všechny reálné kořeny rovnice čtvrtého stupně a kořeny vyjádřete v co nejjednoduššímtvaru.a) x 4 + 3x 2 − 3 + √ 5 = 0, b) x 4 − 10x 2 − 12(1 + √ 7) = 0.19. Nechť x 1 , x 2 jsou kořeny kvadratické rovnice Ax 2 + Bx + 1 = 0. Pak x 1x 2, x 2x 1kvadratické rovnice Ax 2 + (2A − B 2 )x + A = 0. Dokažte.jsou kořeny20. Nechť x 1 , x 2 jsou kořeny kvadratické rovnice Ax 2 + Bx + C = 0. Najděte kvadratickourovnici, jejíž kořeny jsoua) −x 1 , −x 2 ; b) 5x 1 , 5x 2 ; c) 1 x 1,1x 2; d) x 1 + x 2 , x 1 x 2 .Řešení15. a) x 1 = 1 + √ 7, x 2 = 2 − √ 7;b) x 1 = 1 + √ 5, x 2 = −2 − √ 5;c) x 1 = − √ 5, x 2 = √ 5 − 1;d) diskriminant D = 4 √ 5 − 11 je záporný, řešení neexistuje.16. x 1 = √ 2 + √ 3, x 2 = − √ 3.17. x 1 = √ √2 + 1, x2 = − √ 2 √ 2 − 2. Rada: Umocněte celou rovnici na druhou (tím sezbavíte stupňovité odmocniny). Nezapomeňte na zkoušku.18. a) Rovnice má dva reálné kořeny x 1 = √ √5 − 2, x2 = − √ √5 − 2.b) Rovnice má dva reálné kořeny x 1 = √ 2 √ 7 + 8 = 1+ √ 7, x 2 = − √ 2 √ 7 + 8 = −1− √ 7.19. Použijeme-li Viètovy vztahy, dostaneme x 1 + x 2 = − B A , x 1x 2 = 1 Aa chceme dokázatx 1x 2+ x 2x 1= B2 −2AA , x 1x 2· x2x 1= 1. To je rutinní kalkulace.(Viz M. Hejný a kol.: Teória vyučovania matematiky 2, SPN, Bratislava 1990, str. 205.)20. Rada: Použijte Viètovy vztahy.a) Ax 2 − Bx + C = 0; b) Ax 2 + 5Bx + 25C = 0;c) Cx 2 + Bx + A = 0, kde C ≠ 0; d) A 2 x 2 + A(B − C)x − BC = 0.