Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice 17. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICEDiferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analýzy, protože umožňujířešit mimo jiné celou řadu úloh z fyziky a technické praxe. Při řešení praktických problémů jenutno nejprve ze známých vlastností problému diferenciální rovnici sestavit, pak ji vyřešit anakonec řešení převést zpět do praxe.7.1. Základní pojmyObyčejnou diferenciální rovnicí nazýváme rovnici, v níž se vyskytuje derivaceneznámé funkce jedné nezávisle proměnné.Řádem diferenciální rovnice nazýváme řád nejvyšší derivace neznámé funkcev rovnici.Řešením nebo také integrálem diferenciální rovnice na intervalu I nazýváme každoufunkci, která na intervalu I danou rovnici splňuje.Integrální křivka diferenciální rovnice je grafické znázornění některého řešenídiferenciální rovnice.Poznámka: Pojem řešení má u diferenciálních rovnic dva významy: jednak postup výpočtu,jednak výsledek rovnice.Příklad 7.1: Určete řád diferenciálních rovnic: a)2xy′ = 2 −x − y,b) y′′ + 2y′− 3y = 2− x ,c) x dx = (2 − y)dy .Řešení:2a) Diferenciální rovnice xy′ = 2 −x − y je prvního řádu.2b) Diferenciální rovnice y′′ + 2y′− 3y = 2− x je druhého řádu (nejvyšší je druhá derivace).c) Diferenciální rovnice je prvního řádu (rovnici převedeme na tvar x= (2 − y) dy a dx2uvědomíme si, žedyy′ = ).dxŘešení diferenciálních rovnic dělíme do tří typů:Obecné řešení rovnice prvního řádu tvoří každá funkce tvaru ϕ ( xyC , , ) = 0, případněy = ψ ( xC , ), která rovnici splňuje pro libovolnou konstantu C. Obecné řešení vždy obsahujeintegrační konstantu (rovnice prvního řádu) nebo n konstant (rovnice n-tého řádu).Partikulární řešení je obsaženo v obecném řešení. Získáme ho z obecného řešení, když zaintegrační konstanty dosadíme konkrétní hodnoty (které zvolíme nebo vypočítáme z danýchpodmínek).Výjimečné řešení není obsaženo v obecném řešení. Vzniká jen u některých typů diferenciálníchrovnic v průběhu jejich řešení.Příklad 7.2: Určete: a) Obecné řešení diferenciální rovnice y′ = 2x,b) partikulární řešení, pro které platí y (2) = 7 .c) Načrtněte integrální křivku partikulárního řešení.Řešení: a) Neznámou funkci určíme integrováním rovnice:2y′ dx = 2x dx y = x + C je obecné řešení.∫ ∫ , tedyJarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 2b) Podmínka y (2) = 7 říká, že hodnotě x = 2 odpovídá hodnota y = 7 , hledáme tedytakové řešení, které prochází bodem P[2,7]. Dosadíme tyto dvě hodnoty do obecného2řešení: 7= 2 + C a odtud vypočítáme C = 3.2Dosazením za C do obecného řešení získáme partikulární řešení: y = x + 3 .c) Je zřejmé, že integrální křivka je parabola s vrcholem V[0,3] a osou v ose y.y6P[2,7]42-20 2xIntegrální křivka2y = x + 37.2. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I. ŘÁDUSeznámíme se pouze se základními typy.7.2.1. Separovaná diferenciální rovnicePoznáme ji podle toho, že jednotlivé proměnné jsou odděleny (separovány), to jeu diferenciálu dx se vyskytuje pouze proměnná x a u diferenciálu dy se vyskytuje pouzeproměnná y.Obecný tvar: P( x) dx = Q( y)dy , Qy≠ ( ) 0 ,případně pro Qy ( ) = 1 y′ = f( x),dyprotože po dosazení za y′ = a jednoduché úpravě dostaneme dy = f ( x)dx .dxPostup řešení: Separovanou diferenciální rovnici řešíme integrací:∫ ∫Příklad 7.3: Vyřešte diferenciální rovniciP( x) dx = Q( y)dy + C2(sin x + x ) dx= (cos y− 3 y)dy, platí-li y(0)= π .2Řešení: Obecné řešíme získáme integrací: ∫ (sin x + x ) dx = ∫ (cos y −3 y ) dy .Obě strany rovnice lze integrovat podle základních vzorců:3 2xy− cos x + = sin y− 3 + C3 2Dále hledáme partikulární řešení, které prochází bodem P[0,π]. Dosadíme do obecnéhořešení:3 220 ππ− cos 0 + = sinπ− 3 + C a odtud vypočítáme C = 3 − 1.3 22Dosazením za C do obecného řešení získáme partikulární řešení:3 2 2xy π− cos x+ = sin y− 3 + 3 − 13 2 2Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 32xPříklad 7.4: Vyřešte diferenciální rovnici y′ = .21 + xŘešení: Obecné řešení získáme opět integrací:2x∫ y′ dy=∫1+xPravou stranu můžeme integrovat podle základního vzorce [13], uvědomíme-li si, že v čitateli2dxzlomku je derivace jmenovatele. Obecné řešení má tvar:2y = ln(1 + x ) + C7.2.2. Separovatelná diferenciální rovniceTento typ lze upravit na separovanou diferenciální rovnici. Podstatné je, že mezi funkcemiv proměnné x a funkcemi v proměnné y musí být po úpravě znaménko krát (děleno).Obecný tvar: P1( x). P2( y) + Q1( x). Q2( y) y′ = 0 , Q1( x) ≠ 0, Q2( y) ≠ 0.Postup řešení:I. Derivaci y′ nahradíme podílem diferenciálůdy( ). ( ) + ( ). ( ) = 0P1 x P2 y Q1 x Q2y dxdyy′ = :dxII. Rovnici vynásobíme dx , abychom osamostatnili diferenciály:P1( x). P2( y) dx + Q1( x). Q2( y) dy = 0III. Rovnici separujeme, tedy k dx převedeme všechny funkce v proměnné x ak dy převedeme všechny funkce v proměnné y. Přitom obvykle necháme na každé straněrovnice jen jeden diferenciál.1 1P1( x). P2( y) dx + Q1( x). Q2( y) dy = 0P2( y) Q1( x), P2 ( y) ≠ 0,P1( x) Q2( y)dx =− dy , což je separovaná rovnice.Q1( x) P2( y)POZOR: Podmínkou P2 ( y ) ≠ 0 jsme mohli zrušit případné řešení. Musíme tedy zvlášťzkoumat, zda P2 ( y ) = 0 není výjimečné řešení, které vzniklo v průběhu řešení dané rovnice.IV. Separovanou rovnici integrujeme a získáme obecné řešení:P1( x) Q2( y)∫ dx =− dy CQ1( x) ∫ + .P2( y)1−xPříklad 7.5: Vyřešte diferenciální rovnici xyy′ =2y + 1, x ≠ 0, y ≠ 0 , platí-li y (1) = 2 .Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I. – IV.:I. Derivaci y′ nahradíme podílem diferenciálů2dyy′ = :dxII. Rovnici vynásobíme dx , abychom osamostatnili diferenciály:2dy 1−xxy = dx 2y + 121−xxy dy=dx2y + 1Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 4III. Rovnici separujeme:21−x 1 (2 1)2xy dy = dx y +y + 1 x22 1−xy( y 1) dy dxx+ = , což je separovaná rovnice.Žádnou další podmínku jsme v průběhu řešení nepoložili, rovnice proto nemá výjimečnéřešení.IV. Separovanou rovnici integrujeme a získáme obecné řešení:22 1−x∫ y( y + 1) dy = ∫ dxx3 1∫( y + ydy ) = ∫( −xdx)xy 4 2 2+ y = ln x − x + C4 2 2Z podmínky y (1) = 2 vyplývá, že hledáme partikulární řešení, které prochází bodemP[1,2]. Po dosazení do obecného řešení vypočítáme hodnotu integrační konstanty:4 2 22 2 113+ = ln 1 − + C a odtud C = .4 2 224 2 213Partikulární řešení:y + y = ln x − x +4 2 2 22xyPříklad 7.6: Vyřešte diferenciální rovnici y′ = .21 + xŘešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I. – IV.:I. Derivaci y′ nahradíme podílem diferenciálůdyy′ = :dxII. Rovnici vynásobíme dx , abychom osamostatnili diferenciály:III. Rovnici separujeme:IV. Separovanou rovnici integrujeme:upravíme2xy1dy = dx , y 021+x y≠ ,1 2xdy = dx .y 21 + x1 2x∫ dy = ∫ dx ,y21+x2ln y = ln(1 + x ) + ln C,2ln y = ln(1 + x ) C,2,dy 2xy=dx 1 + x22xydy =1 + x2dxy = C(1 + x ) , což je obecné řešení.V kroku III. jsme položili podmínku y ≠ 0 , musíme proto zvlášť vyšetřit, zda y = 0 nenířešením dané rovnice: y = 0 ⇒ y′ = 0Tyto hodnoty dosadíme do zadání rovnice: levá strana: LS = 0,pravá strana:2.0 xPS = 021+ x = .Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 5Je zřejmé, že funkce y = 0 vyhovuje zadání rovnice. Přesto není výjimečným řešením,protože je obsažena v obecném řešením pro hodnotu konstanty C = 0 .7.2.3. Homogenní diferenciální rovniceTento typ se dá upravit na tvaryy′ = ϕ( ) ,xx ≠ 0 .Po úpravě se v rovnici mohou proměnné x a y vyskytovat výhradně ve zlomkunesmí v ní být samostatně.yx , tedyPostup řešení:yI. Rovnici upravíme na tvar y′ = ϕ( ).xyII. Zavedeme substituci: z = , z = z( x)(1a)xAbychom mohli dosadit do zadání, potřebujeme vypočítat derivaci y′ .Ze substituční rovnice proto vypočítáme y = zx .a derivujeme jako součin, protože z = z( x): y′ = z′. x+ z.1, y′ = z′x+ z. (1b)Dosadíme do zadání z′ x+ z = ϕ( z).III. Dostaneme separovatelnou rovnici pro neznámou z, kterou vyřešíme podle postupuuvedeného v 7.2.2.IV. Po vyřešení separovatelné rovnice nesmíme zapomenout dosadit zpět zaPříklad 7.7: Vyřešte diferenciální rovniciyz = , viz (1a).x2 2xyy′ = x − y , x≠ 0, y ≠ 0 , platí-li y (4) = 2 .Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I. – IV. uvedený v 7.2.3:2 2 1I. Rovnici upravíme: xyy′ = x − y2xy yy′ = 1 − ( )x xII. Zavedeme substituci (1a, b): zzx ( ′ + z) = 1−z2 2a upravíme:zz′ x + z = 1−z2xzz′ = 1−2zIII. Dále řešíme jako separovatelnou rovnici, viz 7.2.2.:dz 2xz 1 2z dxdx = −2 1 12xz dz = (1 − 2 z ) dx , 1 2z0x 21−2z− ≠ ,z 1dz = dx21−2zx22Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 6z 1Separovanou rovnici integrujeme: ∫ dz = dx2 ∫1−2zx1 −4z1Upravíme:−4∫ dz = dx2 ∫1−2zx1 ln 1 22− − z = ln x + ln C41−2ln (1 − 2 z ) 4 = ln C x1−2(1− 2 z ) 4 = CxyyIV. Nyní dosadíme zpět za z = (1) a získáme obecné řešení: (1− 2 ) 4 = Cxx2xZ podmínky y (4) = 2 vyplývá, že hledáme partikulární řešení, které prochází bodemP[4,2]. Po dosazení do obecného řešení vypočítáme hodnotu integrační konstanty:2 12 −(1− 2 ) 4 = C.4244C =42⇒ C =Partikulární řešení:1−41⇒ (1 − ) = 4C⇒21 4 242 1y −4 1(1− 2 ) =42 x2x 41−4Výjimečné řešení musíme hledat z podmínky1− 2z≠ 0.Položíme21− 2z= 0 a dosadíme (1a)yz = :x22 xx11( ) = 4C⇒222y1− 2 = 0.2x21−4 1 − 1( ) = 4C⇒2Vypočítáme y = ⇒ y =± ⇒ y′ =± .2 2 2x 1 1 2Tyto hodnoty dosadíme do zadání rovnice: levá strana: LS = x( ± )( ± ) = x ,2 2 22 1 2 1 2pravá strana: PS = x − x = x .2 2Je zřejmé, že funkcexy =± vyhovují zadání rovnice. Proto jsou výjimečným řešením.2Příklad 7.8: Vyřešte diferenciální rovnici x + y−( x− y) y′= 0, x≠ y.Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I. – IV. uvedený v 7.2.3:I. Rovnici upravíme: x+ y−( x− y) y′= 01,xx≠ 0:y y1 + −(1 − ) y ′ = 0x xII. Zavedeme substituci (1a, b): 1 + z−(1 − z)( zx ′ + z) = 0Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 71+za upravíme:zx ′ + z= , z≠1(podmínka je pro x ≠ y splněna)1−z1+zzx ′ = − z1−z1 + z−z(1 −z)zx ′ =1−z21+zzx ′ =1 − zIII. Dále řešíme jako separovatelnou rovnici, viz 7.2.2.:2dz 1+zx = dxdx 1 − z21 z 1 1 zxdz= + dx− ,1 − z x 21+z1−z 1 dz = dx21+z x1−z 1Separovanou rovnici integrujeme: ∫ dz = dx2 ∫1+z x1 1 2z1∫( − ) dz = dx2 2 2 ∫1+ z 1+z x1 ln(12arctg z − + z ) = ln x + C2yIV. Nyní dosadíme zpět za z = (1a) a získáme obecné řešení:x2y 1 yarctg − ln(1 + ) = ln x + Cx 2 2xPříklad 7.9: Vyřešte diferenciální rovnicix2 y′ = x2 + y2 , x≠0.Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I. – IV. uvedený v 7.2.3:2 2 2 1I. Rovnici upravíme: x y′ = x + y :2xy 2y′ = 1 + ( )x2II. Zavedeme substituci (1a, b): zx ′ + z= 1+z2a upravíme:zx ′ = 1+ z − zIII. Dále řešíme jako separovatelnou rovnici, viz 7.2.2.:dz x 2= 1− z + z dxdx2 1 1xdz = (1 − z + z ) dxx 21− z+z1 dz =1 dx21− z+z xSeparovanou rovnici integrujeme: ∫ 1 dz =1 dx2 ∫1− z+z xJarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 81 13 1upravíme∫ dz =3 1 ∫ dx ( 1 = + )(2+ − z+z )x4 44 41 1⎛ 2 1 1 2⎞∫ dz = dx3 1 ∫⎜z − z+ = ( z−) ⎟2+ ( z − )x⎝ 4 2 ⎠4 21z −3 1Integrujeme podle vzorce [14], a = : arctg 2 = ln x + C2 3 32 22 2z− 1arctg = ln x + C3 3yIV. Nyní dosadíme zpět za z = (1) a získáme obecné řešení:xy2 −12arctg x = ln x + C3 37.2.4. Lineární diferenciální rovniceJsou jedny z nejdůležitějších diferenciálních rovnic prvního řádu. Poznáme je podle toho,že neznámá y a její derivace y′ jsou vždy prvního stupně (proto název lineární).Obecný tvar: y′ + P( x) y = Q( x), kde funkce Px ( ), Qx ( ) jsou spojité v intervalu I.Dělíme je do dvou typů: zkrácená pro Qx ( ) = 0 : y′ + P( x) y = 0úplná pro Qx ( ) ≠ 0 : y′ + Px ( ) y=Qx ( )Postup řešení: Zkrácená rovnice je speciálním případem rovnice úplné. Proto uvedeme pouzeřešení úplné rovnice. Řešíme ji Lagrangeovou metodou variace konstant. Obecný postupřešení je trošku náročnější, proto jej mohou méně matematicky vybavení studenti přeskočit ametodu pochopit na řešených příkladech 7.10.-7.12.Lagrangeova metoda variace konstantI. Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici, která je vždy separovatelná: y′ + P( x) y = 0 .Vyřešíme ji proto postupem uvedeným v 7.2.2.dyPx ( ) y 0dx + =dyPx ( ) ydx =− dxdy =−P( x) ydx1,yy ≠ 0dyPx ( ) dxy =−dyy =−∫ ∫Px ( ) dxJarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 9∫ln y =− Px ( ) dx+ln CŘešení upravíme využitím pravidla o skládání vzájemně inverzních funkcí a pravidel propočítání s logaritmy:Px ( ) dxln y = ln e−∫ + ln Clny= ln Ce − ∫Px ( ) dxP( x)dxy = , (2)což je předpokládaný tvar řešení. Je to část řešení, která odpovídá zkrácené rovnici.Je zřejmé, že výjimečné řešení lineární diferenciální rovnice nemá, protože řešení y = 0(vyplývající z podmínky y ≠ 0 ) dostaneme dosazením za C = 0 do vztahu (2).Ce − ∫Pravou stranu Qx ( ) do řešení zabudujeme následujícím postupem.II. Druhý krok se nazývá variace (změna) konstanty. V obecném řešení (2) bude místo konstantyC funkce proměnné x: C = C( x)Dosadíme za ni do (2):P( x)dxy = C( x)e − ∫− Px ( ) dx − Px ( ) dxDerivujeme součin: y′ = C′( x) e + C( x) e .( − P( x))Za y a y′ dosadíme do zadání:Px ( ) dx Px ( ) dxC′ ( x) e ∫ + C( x) e ∫ − P( x) Px ( ) dx+ P( x) C( x) e ∫ = Q( x)( )∫Následuje kontrolní krok: sčítance s Cx ( ) se vzájemně musí vyrušit, zůstává pouze sčítanecs derivací C′ ( x).Px ( ) dxC ( x) e−∫Px ( ) dx′ = Q( x), upravíme C′ ( x) = Q( x)e ∫Px ( ) dxa odtud vypočítáme integrační konstantu Cx ( ) = Qxe ( ) ∫∫ dx+K.III. Obecné řešení zadané lineární diferenciální rovnice získáme dosazením vypočítané konstantydo předpokládaného tvaru řešení (2):( ) ( )( ( ) Px dxPx dxy = Q x e ∫ dx+K)e − ∫∫ .5y2Příklad 7.10: Vyřešte diferenciální rovnici y′ − = x , x≠ 0.xŘešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I. – III. uvedený v 7.2.4:5yI. Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovniciy′ − = 0,xkterá je vždy separovatelná. Vyřešíme ji proto postupem uvedeným v 7.2.2.dy 5y− = 0dx xdy 5y= dxdx x5y1dy = dx , y 0x y≠dy 5= dxy x∫Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 10dy= 5y∫ ∫1dxxln y = 5ln x + ln CŘešení upravíme využitím pravidel pro počítání s logaritmy:5ln y = ln x + ln Clny5= ln Cx5y = Cx , (3)což je předpokládaný tvar řešení. Je to část řešení, která odpovídá levé straně rovnice.Je zřejmé, že výjimečné řešení lineární diferenciální rovnice nemá, protože řešení y = 0(vyplývající z podmínky y ≠ 0 ) dostaneme dosazením za C = 0 do vztahu (3).2Pravou stranu Qx ( ) = x do řešení zabudujeme následujícím postupem.II. Druhý krok se nazývá variace (změna) konstanty. Obecné řešení (3) bude mít místo konstantyC funkci proměnné x: C = C( x).5Dosadíme za ni do (3): y = Cx ( ). x,5 4derivujeme součin:y′ = C′( x) x + C( x).5x.55 4 5 Cxx ( ) 2Za y a y′ dosadíme do zadání C′ ( x) x + C( x).5x − = xxNásleduje kontrolní krok: sčítance s Cx ( ) se vzájemně musí odečíst, zůstává pouze sčítanecs derivací C′ 5 2( x):C′ ( x)x = x ,1 3upravímeC′ −( x)= = x3x−2−3x1a odtud vypočítáme integrační konstantu Cx ( ) = ∫C′( xdx ) = ∫ x dx= + K=− + K.−2 22xIII. Obecné řešení zadané lineární diferenciální rovnice získáme dosazením vypočítané konstantydo předpokládaného tvaru řešení (3):31 55 xy = ( − + K)x , po úpravě y = Kx − .22x2Je zřejmé, že obecné řešení tvoří dvě části: y = y0 + yˆ,5kde y0= Kx je řešení zkrácené rovnice,3xy ˆ =− je partikulární integrál odpovídající pravé straně Qx. ( )2Příklad 7.11: Vyřešte diferenciální rovnici y′ + xy = x, platí-li y (0) = 4 .Řešení: Budeme dodržovat uvedený postup I. – III. uvedený v příkladu 7.10:I. Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici y′ + xy = 0 ,která je vždy separovatelná, postupem uvedeným v 7.2.2.dyxy 0dx + =dyxy dxdx =−Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 111 dy =− xydx , y ≠ 0ydyx dxy =−dy∫ x dxy =− ∫2xln y =− + ln C2Řešení upravíme využitím pravidla o skládání vzájemně inverzních funkcí a pravidel propočítání s logaritmy:2x−2ln y = ln e + ln Clny = ln Ce −2x22x2y = Ce −, což je předpokládaný tvar řešení. (4)II. Integrační konstantu C budeme považovat za funkci proměnné x: C = C( x)Dosadíme za ni do (4):Derivujeme součin:y = C( x)e −2x22 2xx−−y′ = C′( x) e 2 + C( x) e 2 ( − x)x 2 x 2 x 2− − −Za y a y′ dosadíme do zadání: C′ ( x) e 2 − xC( x) e 2 + xC( x)e 2 = xNásleduje kontrolní krok: sčítance s Cx ( ) se vzájemně vyruší, zůstává pouze sčítanecs derivací C′( x)2x−C′ ( x)e 2 = x,C′( x)upravíme = x ,2xe 2a odtud vypočítáme integrační konstantuC′ ( x)= xe2x22 2x 2x2xt t 2∫ ∫ ∫ .C( x) = C′( x) dx = xe dx = = t,x dx = dt = e dt = e + K = e + K2III. Obecné řešení zadané lineární diferenciální rovnice získáme dosazením vypočítané konstantydo předpokládaného tvaru řešení (4):2 2x x2 2y = ( e + K)e −, po úpravě2x2y = 1+ Ke −.Z podmínky y (0) = 4 vyplývá, že hledáme partikulární řešení, které prochází bodem P[0,4].Po dosazení do obecného řešení vypočítáme hodnotu integrační konstanty:04= 1+ Ke − 2 a odtud K = 3 .Partikulární řešení:y = 1+32xe − 2Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 12Poznámka: Uvedený příklad y′ + xy = x vyřešíme i jiným postupem:Stačí, když provedeme jednoduchou úpravu y′ = x−xy⇒ y′ = x(1 − y).Získáme separovatelnou rovnici, kterou vyřešíme postupem uvedeným v 7.2.2.dyx(1 y)dxdx = − 1dy = x(1 − y) dx , y ≠11−ydy1− y = x dx−dy− ∫ = x dx1−y∫2x−ln 1− y = + ln C , což je obecné řešení, které můžeme (ale nemusíme) dále upravit:22x−1 2ln (1 − y) = ln e + ln C2x−1 (1 − y)= Ce 212x1Ce 2− y = ⇒11 y2x2− = ⇒2x2y = 1+ Ke −, kde1K =−CCeZ tohoto příkladu je zřejmé, že diferenciální rovnice nemusí být pouze jednoho typu. Pokudsplňuje současně podmínky pro více typů, volíme vždy jednodušší postup řešení(v uvedeném příkladě je to řešení separovatelné diferenciální rovnice).3x y 3Příklad 7.12: Vyřešte diferenciální rovnici y′ − = 1 + x , x≠−1, platí-li y (1) =− 1.31+xŘešení: Budeme dodržovat uvedený postup I – III uvedený v příkladu 7.10:23x yI. Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici y′ − = 0 ,31+xkterá je vždy separovatelná, postupem uvedeným v 7.2.2.2dy 3x y− = 0dx 31+x2dy 3x y= dxdx 31 + x23x y 1dy = dx , y 031+x y≠2dy 3x= dxy 31 + x2dy 3x∫ = dxy∫ 31+x3ln y = ln 1+ x + ln CŘešení upravíme využitím pravidel pro počítání s logaritmy:2Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 133ln y = ln C1+x3y = C(1 + x ) , což je předpokládaný tvar řešení. (5)II. Integrační konstantu C budeme považovat za funkci proměnné x: C = C( x)Dosadíme za ni do (5):Derivujeme součin:3y = Cx ( ).(1 + x)3 2y′ = C′( x).(1 + x ) + C( x).3x3 22 33 xCx ( ).(1 + x)33Za y a y′ dosadíme do zadání: C′ ( x).(1 + x ) + 3 C( x). x − = 1+x1+xNásleduje kontrolní krok: sčítance s Cx ( ) se vzájemně vyruší, zůstává pouze sčítanec3 3s derivací C′ ( x):C′ ( x).(1 + x ) = 1+ x , po vykrácení C′ ( x) = 1a vypočítáme integrační konstantu Cx ( ) = ∫C′( xdx ) = ∫ 1 dx= x+K.III. Obecné řešení zadané lineární diferenciální rovnice získáme dosazením vypočítané konstanty3do předpokládaného tvaru řešení (5):y = ( x+ K)(1 + x ).Z podmínky y (1) =− 1 vyplývá, že hledáme partikulární řešení, které prochází bodemP[1,-1]. Po dosazení do obecného řešení vypočítáme hodnotu integrační konstanty:33− 1 = (1 + K)(1+ 1 )a odtud vypočítáme K = − .23 34 3 3 3Partikulární řešení:y = ( x− )(1 + x ), po úpravě y = x − x + x− .22 2Poznámka: Existuje řada dalších typů diferenciálních rovnic I. řádu, které nejsou zařazeny dotohoto stručného přehledu.7.3. Diferenciální rovnice II. řáduVe stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálníchrovnic II. řádu s konstantními koeficienty.Obecný tvar: a2y′′ + a1y′+ a0 y = Q( x), kde a2 ≠ 0, a1,a0jsou reálné konstanty.Dělíme je do dvou typů: zkrácená pro Qx ( ) = 0 : a2y′′ + a1y′+ a0y= 0úplná pro Qx ( ) ≠ 0 : a2y′′ + a1y′+ a0 y = Q( x)Řešením lineárních diferenciálních rovnic II. řádu se zabýval švýcarský matematik LeonhardEuler.7.3.1. Zkrácená rovnicea y′′ a y′a y2 + 1 + 0 = 0Euler zjistil, že řešení má tvarPro derivace platíDosadíme do zadánírxy = e , kde r je konstanta, zvaná charakteristický kořen.rxy′ = re , y′′= r e .2rx2 rx rx rx2 1 0 0are + are + ae = ,Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 14vytknemerxerxProtože e ≠ 0 , musí platitrx 22 1 022 1 0 0e ( a r + a r+ a ) = 0.ar + ar+ a = . (6)Rovnice (6) se nazývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice II. řádu.Je to kvadratická rovnice pro neznámou r. Můžeme ji snadno odvodit přímo ze zadání, jestliže210do zadání místo y′′ dosadíme r , místo y′ dosadíme r = r a místo y dosadíme r = 1.Řešení zkrácené rovnice závisí na tom, jaká jsou charakteristické kořeny r:a) r1 ≠ r2reálné různé charakteristické kořenyfundamentální systém řešení tvoří složky 11 1 ( ) rxy = y x = e , 22 2 ( ) rxy = y x = erxobecné řešení má tvar1 r2xy = C e + C e(A)0 1 2b) r1 = r2= r reálný dvojnásobný charakteristický kořenfundamentální systém řešení tvoří složky 1 1 ( ) rxy = y x = e , 2 2 ( ) rxy = y x = e . xrxrxobecné řešení má tvar y0 = Ce 1 + C2 e . x(B)c) r1,2= a± bi komplexně sdružené charakteristické kořenyfundamentální systém řešení tvoří složky 1 1 ( ) axy = y x = e cos bx, 2 2 ( ) axy = y x = e sin bxaxobecné řešení má tvar y0 = e ( C1cosbx+ C2sin bx)(C)Poznámka: Aby složky y 1 = y 1 ( x)a y 2 = y 2 ( x)tvořily fundamentální systém řešení, musíbýt funkce y 1 = y 1 ( x)a y 2 = y 2 ( x)lineárně nezávislé. O lineární nezávislosti funkcírozhodneme pomocí Wronského determinantu (Wronskiánu):y1( x) y2( x)W( x)= ,y1 ′ ( x) y2′ ( x)pro W ( x) ≠ 0: y ( x), y ( x)lineárně nezávislépro W ( x) = 0: y ( x), y ( x)lineárně závislé1 21 2Příklad 7.13: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y′′ − 3y′+ 2y= 0 .Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r − 3r+ 2= 0,rozložíme na součin lineárních činitelů ( r−1)( r− 2) = 0, r1 = 1, r2= 2(nebo vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu)1x2xa podle (A) napíšeme obecné řešení: y = Ce + C e .20 1 2Příklad 7.14: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y′′ − 4y′+ 4y= 0 .Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r − 4r+ 4= 0,2 2 2upravíme podle vzorce a − 2 ab+ b = ( a−b)2( r − 2) = 0, r 1,2 = 2(nebo vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu)a podle (B) napíšeme obecné řešení: y2x2x= Ce + C e x .20 1 2 .Příklad 7.15: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y′′ − 4y′= 0.Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r − 4r= 0,vytkneme r rr− ( 4) = 0, r1 = 0, r2= 4a podle (A) napíšeme obecné řešení:20x4x0 1 2y = C e + C e ,4x0 1 2y = C + C e .Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 15Příklad 7.16: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y′′ + 4y= 0Řešení: Napíšeme charakteristickou rovniciupravíme2r + 4= 0,2r = − 4 r1,2 = ± 2i(nebo vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu).Porovnáním s (C) zjistíme a= 0, b= 2 a podle (C) napíšeme obecné řešení:0x0 1 2y = e ( C cos2x+ C sin2 x), y0 = C1cos 2x+ C2sin 2x.Příklad 7.17: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y′′ − 4y′+ 5y= 0Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r − 4r+ 5= 0,vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu24 ± ( −4) − 4.1.5 4± − 4 4±2ir1,2= = = = 2 ± i.2.1 2 2Porovnáním s (C) zjistíme a= 2, b= 1 a podle (C) napíšeme obecné řešení:2x0 1 2y = e ( C cos1x+ C sin1 x),22x0 1 2y = e ( C cosx+ C sin x).7.3.2. Úplná rovnicea2y′′ + a1y′+ a0 y = Q( x)Obecné řešení úplné rovnice má tvar y = y0 + yˆ, (7)kde y 0 je řešení příslušné zkrácené rovnice a2y′′ + a1y′+ a0y= 0 ,ŷ je partikulární integrál, příslušný pravé straně Qx. ( )Úplnou rovnici řešíme:Lagrangeovou metodou variace konstant (univerzální metoda použitelná pro každoulineární diferenciální rovnici),metodou neurčitých koeficientů (metoda použitelná pouze v případě speciálních tvarůpravé strany Qx). ( )Lagrangeova metoda variace konstantPrincip metody je analogický řešení lineární diferenciální rovnice I. řádu. Proto si pouzeukážeme na konkrétním příkladu nejjednodušší algoritmus řešení.1Příklad 7.18: Vyřešte diferenciální rovnici: y′′ + 9y= .cos3xŘešení:I. Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y′′ + 9y= 0,napíšeme charakteristickou rovniciporovnáním s (C) zjistíme a= 0, b= 3,fundamentální systém řešení tvoří složky2r + 9= 0,0xy1 = e cos3x,2r = − 9 r1,2 = ± 3i,0xy2 = e sin 3xJarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 16a podle (C) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: y0 = C1cos3x+ C2sin 3x. (8)II. Metoda variace konstant C1 = C1( x), C2 = C2( x), tedy C1,C2jsou funkce proměnné x.Vypočítáme Wronskiány1( x) y2( x) cos3x sin 3x2 2 2 2W( x) = = = 3cos 3x+ 3sin 3x= 3(cos 3x+ sin 3 x) = 3 ≠0y′ ( x) y′ ( x) −3sin3x 3cos3x1 2Ve Wronskiánu nahradíme (Cramerovo pravidlo) první sloupec sloupcem0 00 sin3xsin 3xQx ( ) = 1 a vytvoříme tak determinant W1( x) = 1=− .3cos3xcos3xa cos3xcos3x2Ve Wronskiánu analogicky nahradíme druhý sloupec sloupcem0 0cos3x0cos3xQx ( ) = 1 a vytvoříme tak determinant W2( x) = 1 = = 1.−3sin3xcos3xa cos3xcos3x2Konstanty C1,C 2 vypočítáme podle vztahů:sin 3x−W1( x) cos3 1 sin3 11 3sin3 11( ) x − x − xC x = ∫ dx = dx dx dx ln cos3x K1W( x) ∫ =3 3∫ = = +cos3x 33∫ ,cos3x9W2( x) 1 1C2( x)= ∫ dx = dx x K2W( x) ∫ = + .3 3III. Dosazením do obecného řešení zkrácené rovnice (8) za C1,C 2 získáme obecné řešení úplné1 1rovnice: y = ( ln cos3 x + K1)cos3 x+ ( x+ K2)sin3x,9 31 1y = K1cos3x+ K2sin3x+ ln cos3x cos3x+ xsin3x.9 3Metoda neurčitých koeficientůMetodu můžeme použít pouze v případě těchto speciálních tvarů pravé strany Qx: ( )axα) Qx ( ) = e(exponenciální funkce),β) Qx ( ) = Pn( x)(polynom stupně n)γ) Qx ( ) = cosbxnebo sin bx (goniometrické funkce)δ) kombinace α, β, γ.Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 17Partikulární integrál ŷ příslušný pravé straně Qx ( ) vytvoříme podle následující tabulky:Pravá strana Qx ( )Charakteristický kořen rzkrácené rovnicea y′′ + a y′+ a y =2 1 0 0Partikulární integrál ŷPn ( x )r = 0 , k násobný x k R n ( x )r ≠ 0Rn( x )axer= a, k násobnýr ≠ ak axAx eaxAecosbxsin bxaxP ( x) e cosbxnaxP ( x) e sinbxnr =± ibx( Acosbx+Bsin bx)r ≠± ibAcosbx+Bsinbxr = a± ibaxxe ( Rn( x)cos bx+Sn( x)sin bx)r ≠ a± ibaxe ( Rn( x)cos bx+Sn( x)sin bx)20 1 2 ...Pn ( x ) , Rn( x ) , Sn( x ) jsou polynomy stupně n ( A + Ax+ A x + + A x )Výpočet touto metodou si ukážeme opět na příkladu.Příklad 7.19: Vyřešte diferenciální rovnici y′′ + 3y′+ 2 y = Q( x).Řešení:I. Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y′′ + 3y′+ 2y= 0,napíšeme charakteristickou rovnici2rr+ 3r+ 2= 0, ( r+ 2)( r+ 1) = 0= − 2, r =− 1,1 2fundamentální systém řešení tvoří lineárně nezávislé složkya podle (A) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice:n2xy1e −−2x0 1 2n= , y2= e −x−xy = Ce + C e .II. Z metodických důvodů teď budeme pro tuto zkrácenou rovnici volit různé pravé strany Qx ( )a k nim vytvářet podle tabulky příslušný partikulární integrál.2α) Pro Qα ( x) = 4ex2řešíme rovnici y′′ + 3y′+ 2y = 4ex .2xMocnitel na pravé straně rovnice ax = 2 x, a = 2, a ≠ r ⇒ y = Ae ,vypočítáme derivace1,2 ˆ2x2xyˆ′ = 2 Ae , yˆ′′= 4Ae2x 2x 2x 2xa dosadíme do zadání α): 4Ae + 3.2Ae + 2. Ae = 4e,2x11 2vykrátíme e ≠ 0 a sečteme 12A = 4 , A = ˆxy = e .33Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 18III. α) Dosazením do (7) získáme obecné řešení úplné rovnice:−2x −x 1 2xy = y0 + yˆ, yα= Ce 1 + C2e + e .3−2xII. β) Pro Qβ( x) = 4eřešíme rovnici y′′ + 3y′+ 2y = 4e x.Mocnitel na pravé straně rovnice ax =−2x ⇒ a =− 2 = r1 ( k = 1) ⇒ ˆ2xy = Axe − ,vypočítáme derivace2 2yˆ′ − x −= Ae − 2 xAe x , ˆ2 2 2 2 2y′′−2Ae −Ae x −4xAe −4xAe −=− − + = − 4Aea dosadíme do zadání β):−2x −2x −2x −2x −2x −2x4xAe − 4Ae + 3( Ae − 2 xAe ) + 2xAe = 4e,−2xČleny s e x se vyruší, vykrátímeˆ2xy =− 4xe − .2xIII. β) Dosazením do (7) získáme obecné řešení:y = y0 + yˆ,−2x −x −2x1 2 4yβ= Ce + C e − xe2e − ≠ 0 a sečteme − A = 4 , A =− 4II. γ) Pro Qγ ( x) = 4x− 2 řešíme rovnici2y′′ + 3y′+ 2y = 4x− 2.Na pravé straně rovnice je polynom 2. stupně a r ≠ 0 ⇒ y = Ax + Bx + C ,vypočítáme derivace yˆ′ = 2 Ax + B, yˆ′′= 2Aa dosadíme do zadání γ):21,2 ˆ22 22A+ 3(2 Ax+ B) + 2( Ax + Bx+ C) = 4x− 2,2 2upravíme:2 Ax + x(6A + 2 B) + (2A + 3B + 2 C) = 4x− 2,porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin x:2u x : 2A= 4 ⇒ A=2,u x: 6A+ 2B= 0 ⇒ B=− 3A=− 3.2 =− 6 ,0u x : 2A+ 3B+ 2C =−2 ⇒ 2C =−2 −2A− 3B=−2 −2.2 −3.( − 6) = 12 ⇒ C = 6 ,ˆ2y = 2x − 6x+ 6.III. γ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení:y = y0 + yˆ,−2x−x2yγ= C1e + C2e + 2x − 6x+ 6.II. δ) Pro Qδ ( x) = 20sin 2xřešíme rovnici y′′ + 3y′+ 2y = 20sin2x.Na pravé straně rovnice je funkce sin 2x ⇒ a= 0, b= 2 ⇒ r1,2 ≠ 0± 2i⇒yˆ = Acos 2x+ Bsin 2x,vypočítáme derivace: yˆ′ =− 2Asin 2x+ 2Bcos 2 x, yˆ′′=−4Acos 2x−4Bsin 2xa dosadíme do zadání δ):( −4Acos2x− 4Bsin2 x) + 3( − 2Asin2x+ 2Bcos2 x) + 2( Acos2x+ Bsin2 x) = 20sin2x,upravíme: cos2 x( − 2A+ 6 B) + sin2 x( −6A− 2 B) = 20sin2x,porovnáme koeficienty u jednotlivých funkcí:u cos 2 x : − 2A+ 6B= 0 ⇒ A= 3B,u sin2 x: −6A− 2B= 20 ⇒ −6.3B− 2B= 20 ⇒ B=−1 ⇒ A=− 3,yˆ =−3cos2x− sin2x.Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 19III. δ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení:y = y0 + yˆ,−2x−xyδ= Ce 1 + C2e −3cos2x− sin2x.Příklad 7.20: Vyřešte diferenciální rovnici y′′ + 2 y′= Q( x).Řešení:I. Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y′′ + 2y′= 0,napíšeme charakteristickou rovnicifundamentální systém řešení tvoří lineárně nezávislé složkya podle (A) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice:r2+ 2r= 0, rr+ ( 2) = 0 ⇒ r1 =− 2, r2= 0 ,2xy1= e −0x, y2 = e = 1−2x−2x0 1 2.11 2y = Ce + C = Ce + C .II. Z metodických důvodů teď budeme pro tuto zkrácenou rovnici opět volit různé pravé stranyQx ( ) a k nim vytvářet partikulární integrál podle výše uvedené tabulky:3ε) Pro Qε ( x) = 2ex řešíme rovniciMocnitel na pravé straně rovnicevypočítáme derivace:a dosadíme do zadání ε):vykrátíme3y′′ + 2y′= 2ex .33 3 1,2 ˆxax = x ⇒ a = ⇒ a ≠ r ⇒ y = Ae ,3x3xyˆ′ = 3 Ae , yˆ′′= 9Ae3x 3x 3x9Ae + 2.3Ae = 2e,3xe ≠ 0 a sečteme. 15A = 2,III. ε)Dosazením do (7) získáme obecné řešení:−2x2 3xy = y0 + yˆ, yε= C1e + C2+ e .152A =15II. φ) Zvolme Qϕ ( x) = 4xřešíme rovnici y′′ + 2y′= 4x.Na pravé straně rovnice je polynom 1. stupněa protože r2 = 0 ⇒ ˆ2y = x( Ax+ B)= Ax + Bx,vypočítáme derivace: yˆ′ = 2 Ax + B, yˆ′′= 2Aa dosadíme do zadání φ): 2A+ 2(2 Ax+ B) = 4x,upravíme: 4 Ax + (2A + 2 B) = 4x,porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin x:u x: 4A= 4 ⇒ A= 1,0u x :2A+ 2B= 0 ⇒ B=− A=−1,2ŷ = x − x.III. φ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení:y = y0 + yˆ,−2x2y = C1e + C2+ x − x .ϕ⇒2ˆ3xy = e .15II. σ) Pro Qσ ( x) = 8cos 4xřešíme rovnici y′′ + 2y′= 8cos4x.Na pravé straně rovnice je funkce cos 4x ⇒ a= 0, b= 4 ⇒ r1,2≠ 0 ± 4i⇒,yˆ = Acos 4x+ Bsin 4x,vypočítáme derivace:yˆ′ =− 4Asin4x+ 4Bcos4 x, yˆ′′=−16Acos4x−16Bsin4xJarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 20a dosadíme do zadání σ):( −16Acos 4x− 16Bsin 4 x) + 2( − 4Asin 4x+ 4Bcos 4 x) = 8cos 4x,upravíme: cos 4 x( − 16A+ 8 B) + sin 4 x( −8A− 16 B) = 8cos 4x,porovnáme koeficienty u jednotlivých funkcí:u sin 4 x : −8A− 16B= 0 ⇒ A=−2Bu cos 4 x: − 16A+ 8B= 8 ⇒ −16( − 2 B) + 8B= 8 ⇒1 2B= ⇒ A=− ,5 52 1yˆ =− cos 4x+ sin 4x.5 5III. σ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení:y = y0 + yˆ,−2x2 1yσ= C1e + C2− cos 4x+ sin 4x.5 5Příklad 7.21: Vyřešte diferenciální rovnici y′′ + 4 y = Q( x).Řešení:I. Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y′′ + 4y= 0 ,napíšeme charakteristickou rovnici2 2r + 4= 0 ⇒ r =−4 ⇒ r1,2=± 2i ⇒ a= 0, b= 2,fundamentální systém řešení tvoří lineárně nezávislé složky y1 = cos 2x, y2 = sin 2xa podle (C) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: y0 = C1cos 2x+ C2sin 2x.II. Z metodických důvodů teď budeme pro tuto zkrácenou rovnici opět volit různé pravé stranyQx ( ) a k nim vytvářet partikulární integrál.2ς) Pro Qς ( x) = 4ex řešíme rovniciMocnitel na pravé straně rovnicevypočítáme derivace:a dosadíme do zadání ς):vykrátíme2xe ≠ 0 a sečteme: 8A = 4,2y′′ + 4y = 4ex .22 2 1,2 ˆxax = x ⇒ a = ⇒ a ≠ r ⇒ y = Ae ,2x2xyˆ′ = 2 Ae , yˆ′′= 4AeIII. ς) Dosazením do (7) získáme obecné řešení:1 2xy = y0 + yˆ, yς = C1cos 2x + C2sin 2x + e2.2x 2x 2x4Ae + 4Ae = 4e,1A = yˆ21 2x= e .2II. ξ ) Pro Q ξ =− 2 řešíme rovnici y′′ + 4y=− 2.Na pravé straně rovnice je polynom 0. stupně (konstanta)a protože r1,2 ≠0⇒ yˆ= A,vypočítáme derivace yˆ′ = 0, yˆ′′= 01 1a dosadíme do zadání ξ ): 0+ 4A=−2⇒ A=− ⇒ yˆ=−2 2III. ξ ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení:1y = y0 + yˆ, yξ = C1cos 2x + C2sin 2x− 2.Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 21Příklad 7.22: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici y′′ + 4y′+ 13 = Q( x), je-li2xe −a) Qx ( ) = 3 ,b)3Qx ( ) =− 2x,c) Qx ( ) = 2sin 3xd) Qx ( ) = 2sin 3x−cos3xe)−2xQx ( ) = 2e cos3x.Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici rvyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantur1,22− 4 ± 4 −4.1.13 − 4 ± −36 − 4 ± 6i2.1 2 22+ 4r+ 13= 0,= = = ⇒ r1,2 = − 2± 3i.Porovnáním s (C) zjistíme a=− 2, b= 3 a podle (C) napíšeme obecné řešení:−2x0 1 2y = e ( C cos3x+ C sin3 x).a) Pro2xe −Qx ( ) = 3 řešíme rovnici2xy′′ + 4y′+ 13y = 3e − .Mocnitel na pravé straně rovnice ax = − 2 x, a =−2,a ≠ r1,2⇒2xyˆ= Ae − .3b) Pro Qx ( ) =− 2xřešíme rovnici y′′ + 4y′+ 13y =− 2x.Na pravé straně rovnice je polynom 3. stupně a protože r 1,2 ≠ 0 ⇒3 2ŷ = Ax + Bx + Cx + D .3c) Pro Qx ( ) = 2sin3xřešíme rovnici y′′ + 4y′+ 13y = 2sin3x.Na pravé straně rovnice je funkce sin 3x ⇒ a= 0, b= 3 ⇒ r1,2≠ 0 ± 3i⇒yˆ = Acos3x+ Bsin 3x.d) Pro Qx ( ) = 2sin 3x− cos3xřešíme rovnici y′′ + 4y′+ 13y = 2sin3x− cos3x.Na pravé straně rovnice je funkce 2sin 3x− cos3x ⇒ a= 0, b= 3 ⇒r1,2 ≠ 0± 3i⇒ yˆ = Acos3x+ Bsin 3x.e) Pro−2xQx ( ) = 2e cos3xřešíme rovniciNa pravé straně rovnice je funkcer1,2 = a± bi=− 2± 3i⇒−2x−2xy′′ + 4y′+ 13y = 2e cos3x.2e cos3x ⇒ a=− 2, b= 3 ⇒−2xyˆ = xe ( Acos3x+ Bsin3 x).Příklad 7.23: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici y′′ + 5 y′= Q( x), je-lia)b)5Qx ( ) = 3ex5xe −Qx ( ) = 3 ,c) Qx ( ) = 5x,d) Qx ( ) = 2cos5x2Jarmila Doležalová

Diferenciální rovnice 22Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r + 5r= 0,vytkneme r rr+ ( 5) = 0 ⇒ r1 = 0, r2=− 5a podle (A) napíšeme obecné řešení:20x5x0 1 2y = Ce + C e − ,0 1 25xy = C + C e − .a) Prob) Pro5Qx ( ) = 3ex řešíme rovnici5y′′ + 5y′= 3ex .Mocnitel na pravé straně rovnice ax= 5x ⇒ a= 5x ⇒ a≠r1,2⇒5xe −Qx ( ) = 3 řešíme rovnici5xy′′ + 5y′= 3e − .Mocnitel na pravé straně rovnice ax = −5x ⇒ a =−5⇒ a = r2⇒5xyˆ= Ae .5xyˆ= xAe − .2c) Pro Qx ( ) = 5xřešíme rovnici y′′ + 5y′= 5x.Na pravé straně rovnice je polynom 3. stupně a protože r 1 = 02yˆ = ( Ax + Bx + D).x .2⇒d) Pro Qx ( ) = 2cos5xřešíme rovnici y′′ + 5y′= 2cos5x.Na pravé straně rovnice je funkce cos5x ⇒ a= 0, b= 5 ⇒ r1,2≠ 0 + 5i⇒yˆ = Acos5x+ Bsin 5x.Jarmila Doležalová