Зразки завдань з математики (2010 рік)

МатематикаЗразки завданьРозділ 1. Числа і виразиЗавдання з вибором однієї правильної відповідіЗавдання 1-40 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише одинправильний. Правильно виконане завдання оцінюється 1 балом.1. У коробці знаходиться не більше 50 цукерок. Цукерки можна порівну розділити міждвома або трьома дітьми, але не можна між чотирма. Яка найбільш можлива кількістьцукерок може бути в коробці?А Б В Г Д50 48 46 44 422. Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері увідношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон і дверей уцьому будинку.А Б В Г Д41 45 54 68 813. У Оксани є певна кількість горіхів. Коли вона розклала їх у купки по 5 горіхів, то двагоріхи залишилися, а коли розклала їх по 3, то зайвих горіхів не виявилося. Яка кількістьгоріхів із запропонованих варіантів могла бути в Оксани?А Б В Г Д32 45 57 63 814. Знайдіть натуральне одноцифрове число N, коли відомо, що сума 510+N ділиться на 9 безостачі.А Б В Г Д1 3 5 6 95. Яку з цифр потрібно підставити замість * у число 2345*, щоб воно ділилося на 3 безостачі?А Б В Г Д0 2 4 5 66. Обчисліть⎛ 2 ⎞ 5⎜1,2+ ⎟ ⋅ .⎝ 9 ⎠ 16А Б В Г Д135284959581

7. На скільки 32 числа 450 більше за 0,15 числа 480?А Б В Г Д118 150 228 300 3728. Укажіть правильну нерівність.А Б В Г Д3 57 78 95 419 6> < > >

16. За переказ грошей клієнт повинен сплатити банку винагороду в розмірі 2% від сумипереказу. Скільки всього грошей (у гривнях) йому потрібно сплатити в касу банку, якщосума переказу становить 30 000 грн?А Б В Г Д36 000 грн 30 600 грн 30 060 грн 30 030 грн 30 006 грн17. Кількість дівчат у класі складає 60% від кількості хлопців. Який відсоток усіх учнівскладають хлопці?А Б В Г Д60% 62,5% 75% 85% 95,2%18. Товар подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити товару за ту жсаму суму грошей?А Б В Г Д1%51%410% 20% 25%19. У кабінеті математики 50% усіх книг – підручники з алгебри, 25% решти книг –підручники з геометрії, а всі інші книги – посібники з підготовки до ЗНО. На якій іздіаграм правильно показано розподіл книг?А Б В Г Д220. Обчисліть ( 3) + ( − 5)− .3 3А Б В Г Д15 8 2 –8 –221. Обчисліть31283 .2А Б В Г Д64 18 8 4 25 222. Обчисліть 125 32 − 5 .1А Б В Г Д11 5 10 2 − 59 9 510 4000 − 53

23. Обчисліть5−33 ⋅813334.А Б В Г Д1324. Обчисліть log 4 log 8.922−2133 3А Б В Г Д− 2−1 1 2 725. Обчисліть log 51.25А Б В Г Д1−426. Обчисліть2log656 .1− − 22А Б В Г Д32 25 10 6 527. Обчисліть5log549 + 2log 5.7А Б В Г Д0 1 2 4 254 π 4 π28. Обчисліть cos − sin .12 12А Б В Г Д13212122214інша відповідь29. Обчисліть⎛ π π ⎞⎜sin − cos ⎟ .⎝ 12 12 ⎠2А Б В Г Д12322+ 32−322інша відповідь30. Обчисліть( 2sin 45°22° + 1) − (1 − 2cos45 ) .А Б В Г Д122122 24

3x+ 1231. Спростіть вираз2 .x −16А Б В Г Д33334 − xx + 4x − 4− 1x + 4x − 44 332. Знайдіть вираз, що тотожно рівний виразу x + x − x −1.А Б В Г Д2 2( + 1) ( x + x + 1)x ( x 2 − x +1)( x − 1 ) 2( x −1) 3 ( x +1)( −1 )( x +1) 32 2x ( x −1)( x + x + 1)33. Спростіть вираз2 2 3 3a − b a − b− .2 2a − b a − bА Б В Г Дa + bababa + babab ( a + b)2 2a − b29 + a − 6a34. Знайдіть значення виразу, якщо a = 2, 5 .a − 3А Б В Г Д− 1− 0,50 0,5 135. Знайдіть значення виразуx − 525− 10x+x2, якщо х = 4,5.А Б В Г Д–1 – 0,5 0,5 1 – 0,2536. Обчисліть logaab , якщо log b = 7a.А Б В Г Д232 337. Обчисліть lg ( 5a) + lg( 2b), якщо lg ( ) = 5ab , a > 0 , b > 0 .А Б В Г Д2 1 10 5 67242238. Спростіть вираз ( + ctg α) ⋅ cos α1 .А Б В Г Д1 cos 2αsin 2 α2tg α2ctg α5

4sin α − cosα139. Знайдіть значення виразу, якщо ctg α = .cosα + 4sin α3А Б В Г Д313111340. Знайдіть значення виразу sin α + sin β , якщо3oα − β = 180 .А Б В Г Д11201−34131− інша відповідь2Завдання з короткою відповіддюУ завданнях 41-53 правильна відповідь оцінюється 2 балами41. Ресторан швидкого харчування в рекламних цілях спочатку знизив ціну комплексногообіду на 20%, але згодом нову ціну підвищив на 30%. На скільки відсотків кінцева цінаобіду є більшою від початкової?6 4 6 442. Обчисліть ( 27 64) ⋅ ( 27 − 64)+ .5343. Знайдіть значення виразу +8 − 1144. Обчисліть−1,6 4,82 ⋅42.3845. Обчисліть1 log 14 0,53⋅ 9.25213 +−119.13 + 246. Обчисліть log3 4⋅ log45⋅log57⋅log781.47. Обчисліть 2 sin 15°cos15°tg30°ctg30°.48. Обчисліть 2 cos160° ⋅ cos140° ⋅ cos100°.⎛ 2 ⎞49. Обчисліть 2 13 cos ⎜arctg⎟ .⎝ 3 ⎠⎛ 4 ⎞50. Обчисліть 8 ctg⎜arcsin ⎟⎝ 5 ⎠ .2a151. Знайдіть значення виразу − , якщо a = −3, 73 і b = 0, 27 .2 2a − b a + bπ52. Обчисліть cos α , якщо sinα= 0,8 і < α < π .2153. Знайдіть значення виразу sin 2α, якщо ctgα = − .26

15. Розв’яжіть рівняння sin 2 x = 2sin x.А Б В Г Д3π1 π n, n ∈ Z π + 2 πn,n ∈ Z 2 π п,п ∈ Z + πn,n ∈ Z2n( − ) arcsin 2 + πn,n ∈ Z2 116. Якщо = b − , то а =а cА Б В Г Д2сbc −117. Якщо1 1 1= − , то c =a b cbc − 2ccbc + 2c2b + c1−bccА Б В Г Дaba − babb − aa − b1 1a −−abbGMm18. Якщо F = і R > 0, то R =2RА Б В Г ДFGMmMmGFGFMmabFGMm2mv19. Якщо R = , де v > 0, m ≠ 0, T ≠ 0, то v =2TА Б В Г ДGMmF2RTRTmmm 2m 2RT 2RT2RTm20. Якщос( − a)ba =1 − , то b =cА Б В Г Дc1−aс a −11 − aс1− ac1 ( )21. Розв’яжіть нерівність a 2 > a.А Б В Г Д( 1 ;+∞)( 0 ;1)( − ∞; 0)( − ∞; 0) U ( 1;+∞)( − ∞;1)1 122. Розв’яжіть нерівність х + > − 2.х − 3 х − 3А Б В Г Д( 2;3)− ( − 2; +∞)( −∞;−2)U ( −2;+∞)( −∞;3)U (3; +∞)( −2;3)U (3; +∞)9

Завдання з розгорнутою відповіддюРозв’язання завдань 62-68 повинні мати обґрунтування. Запишіть послідовні логічнідії та пояснення, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чиінше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань рисунками,графіками, схемами, таблицями.62. Розв’яжіть нерівність210x−xx−45 > 0,2 .63. Розв’яжіть систему нерівностей⎧( x+ 3)( x−2)⎪≤1,2⎨ x −12⎪ 9−xx−3⎩4 ≤ 0,25 .2⋅ x − 6x+ 9− x− 1 + 4x ≤ x.264. Розв’яжіть нерівність ( ) 265. Задано функцію f ( x)Знайдіть:( x−)3cosxcos 1= + 1.2sin xа) область визначення функції ( )б) нулі функції f ( x ) ;f x ;в) усі розв’язки нерівності f ( x) ≥ 0 .πn+ , якщо x ≠ , де n ∈ Z.22 2266. Розв’яжіть рівняння 2 ( tg x ctg x + 2) + a = 3a( tgx+ ctgx)67. Розв’яжіть рівняння sin 2x − a sin x cos x + 2a− 8 = 0 .2x68. Розв’яжіть нерівність ( x − 2 a ⋅ x + 1)( 2 + lg a) < 0.15

Розділ 3. ФункціїЗавдання з вибором однієї правильної відповідіЗавдання 1-31 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише одинправильний. Правильно виконане завдання оцінюється 1 балом.1. Яка з поданих нижче послідовностей є арифметичною прогресією?А Б В Г Д9; 7; 4; 1 –4; –2; 0; 1 3; 6; 12; 24 1; 3; 6; 10 3; 7; 11; 152. Задано геометричну прогресію ( )nЗнайдіть b4.b , перший член якої b = 132 і знаменник 1q = − .2А Б В Г Д–4 4 –2 2 –13. Знайдіть область визначення функції у = х + 9 .А Б В Г Д[ ;+∞)3 [ 9; +∞ )[ − 3; +∞)[ 9; +∞)− [ − 9;9]x + 24. Знайдіть область визначення функції y = .x2 −1А Б В Г Д[ − 2;0) U ( 0; + ∞)[ − 2 ; + ∞)( − 2;0) U ( 0;+∞)( − ∞; − 2]( − ∞; 1) U ( 1;+∞)6 25. Знайдіть область визначення функції у = 4 − х .А Б В Г Д[ − 2; 2]( − ∞; 4][ − 4 ; + ∞)[ 0 ; 2][ 2 ; + ∞)26. Знайдіть область значень функції у = х + 9 − 6 .А Б В Г Д[9; +∞ )[0; +∞ )[3; )7. Знайдіть область значень функціїу− x= 2 .+∞ [ − ;+∞)3 ( −∞ ; +∞ )А Б В Г Д( − ∞; + ∞)( 0 ; + ∞)( 0 ;1)[ 1 ; + ∞)( 0 ;1]8. Знайдіть область значень функції y = 5− 2sin x.А Б В Г Д[ − 2; 2][ − 2; 7]( − ∞; + ∞)[ 2 ; 3][ 3 ; 7]16

9. Знайдіть область значень функції f ( x)= ( sin x + cos x) .А Б В Г Д[ 1 ; 2][ ; 2]0 [ 2; 2]− [ ;1]20 інша відповідь10. Яка з функцій спадає на інтервалі ( ; + ∞)0 ?А Б В Г Дx1y = log7x y = 3x− 5 y = ctg xy = 5y =x11. Укажіть парну функцію.А Б В Г Дy = xxy = 2y = tgxlog x2y =2y = x12. Укажіть непарну функцію.А Б В Г Дy = x 2 − 42y = −xy = x 3 −1y = x − 2 y = x3 − x13. Укажіть рисунок, на якому зображено графік парної функції.А Б В Г Д14. Укажіть найменший додатний період функції y = 2ctg3x.А Б В Г Д2 πππ32π3π215. Укажіть найменший додатний період функції 3cos 2xy = .А Б В Г Д2 πππ32π34 π17

16. Графік функції ( x)f проходить через точку, зображену нарисунку. Укажіть функцію f ( x ).f ( x)А Б В Г Д=− x f ( x)= x f( x) log2x=3f( x)= x17. Графік функції f ( x)проходить через точку, зображену на рисунку.Укажіть функцію f ( x).⎛1⎞f( x)= ⎜ ⎟⎝3⎠xfА Б В Г Д( x) −x= f( x)= x f( x) = log3x f( x ) = 3 x18. На рисунку зображено графік функції y = kx + b .Укажіть правильне твердження щодо коефіцієнтів k і b.f( x)= x3А Б В Г Д⎧k> 0,⎧k< 0,⎧k< 0,⎧k> 0,⎧k= 0,⎨⎨⎨⎨⎨⎩b< 0⎩b> 0⎩b< 0⎩b> 0⎩b> 019. Графік функції y = f (x)проходить через точку М (1;1) (див. рисунок).При якому значенні а графік функції y = f( x)+ a проходить черезточку N (1;3)?А Б В Г Дтакого значення1a = 2a = −2a =a = 3не існує 318

20. На рисунку зображено графік функції y = f ( x)графік функції y = f ( x + 2).. УкажітьА Б В Г Д21. Який із зображених нижче графіків є графіком функції y = − x + 3 ?А Б В Г Д3y3x–3y3x–3y3x–3yxy3x–3–3–322. Знайдіть похідну функції y = x4 + 3cosx .А Б В Г Дy′ = 4x3 + 3sinx y′ = 4x− 3sinx y′ = 4x3 − 3sinx5xy′ = + 3sinx5y′= x− 3sinx23. Обчисліть значення похідної функції f ( x) 3sinx − 2cosx= у точціπx0= .2А Б В Г Д3 –2 2 –1 124. На рисунку зображено графік функції y = f (x)і дотичну донього в точці з абсцисою x0. Знайдіть f ′( x 0) .y=f(x)yА Б В Г Д− 2 − 1 0 1 2119x 001x

25. На рисунку зображено графік функції y = f( x)тадотичні до нього в точках з абсцисами x1та x2.Користуючись геометричним змістом похідної,f′ x + f′x .знайдіть ( ) ( )1 2А Б В Г Д1332 3 226. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)= t − 2t+ 4t(час t вимірюється в3секундах, шлях s − у метрах). Визначте прискорення його руху в момент t = 10 c.164А Б В Г Д2м / c 602м / c3632м / c20227. Тіло рухається прямолінійно за законом ( t) = t ( t + 2)122м / c10322м / cs (час t вимірюється в секундах, шляхs – у метрах). Визначте його швидкість через 2 секунди після початку руху.А Б В Г Д2 м/с 8 м/с 20 м/с 16 м/с 24 м/с22 3 x28. Знайдіть проміжки спадання функції y = x + .3 2А Б В Г Д[ − 1;− 0,5][ − 0,25; 0,25][ 0,5; 0]29. На рисунку зображено графіки функцій2xy = та y = x . Укажіть формулу для8обчислення площі зафарбованої фігури.− [ −0,75; − 0,25] [0; 0,5]∫ 4 0А Б В Г Дx dx ∫ 2 222⎛ x⎟ ⎞ ⎛⎜ − x dx0 ⎝ 8∫⎠⎟ ⎞⎜ x x−0 ⎝ 8 dx ∫ 4 242⎛ x⎠⎟ ⎞ ⎛ x⎜ − x dx0 ⎝ 8∫⎠⎟ ⎞⎜ x −0 ⎝ 8 dx⎠20

30. На рисунку зображено графіки функцій y = x таxy = . Укажіть формулу для обчислення площі2зафарбованої фігури.А Б В Г Д2∫⎛⎜x ⎞x − ⎟dx⎠0 ⎝ 22∫⎛ x⎜ −0 ⎝2⎞x⎟dx⎠4∫⎛⎜x ⎞x − ⎟dx⎠0 ⎝ 24∫⎛ x⎜ −0 ⎝2⎞x⎟dx⎠4∫0xdx31. На рисунку зображено графік функціїy = f (x) . Укажіть формулу дляобчислення площі зафарбованоїфігури.1А Б В Г Д∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ∫ x)dx − ∫−10−1101000f ( f ( x)dx 2∫f ( x)dx ∫ 1 2 f ( x)dx−10−121

Завдання з короткою відповіддюУ завданнях 32-40 правильна відповідь оцінюється 2 балами32. Обчисліть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.33. Обчисліть суму перших десяти членів арифметичної прогресії ( a n ) , якщо a 1 = 2, a 2 = 5.34. Знайдіть перший член геометричної прогресії ( )пb , для якої b + b 300 і b + b 100.2 4=1 3=35. Обчисліть суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії ( a n ) , якщо a 1 =2, a 7 =20.36. Обчисліть суму всіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої−п= 5 ⋅3.b п4 237. На рисунку зображено графік функції f ( x)= x − x + bx + c.Визначте знаки параметрів b і c . У відповідь запишітьномер правильного варіанта відповіді.⎧b> 0, ⎧b> 0, ⎧b< 0, ⎧b< 0,1. ⎨ 2. ⎨ 3. ⎨ 4. ⎨⎩c> 0. ⎩c< 0. ⎩c> 0. ⎩c< 0.138. Знайдіть найбільше значення функції y = . Якщо функція не має найбільшого3sinx+ 5значення, то у відповідь запишіть число 100.39. Знайдіть найбільше значення функції = х3 − 3х2 + 2у на відрізку [ 1;1]− .40. Річка тече лугом і двічі перетинає шосе,2утворюючи криву y = 3x−x. Яка площалугу між шосе та річкою (у км 2 ), якщовважати, що лінія шосе збігається з віссюOX (див. рисунок)? Одиниця довжини –1 км.шосерічка22

7. Група студентів із 15 осіб написала контрольну роботу з вищої математики. Оцінки,одержані студентами за виконання контрольної роботи, виявилися такими: 4, 2, 4, 4, 5, 3,3, 4, 5, 3, 5, 3, 4, 4, 3. Укажіть полігон частот, що відповідає цьому ряду даних.А Б В Г Д8. Серед учнів одного класу проведено опитування щодо кількості книг, прочитаних нимипід час літніх канікул. Результати цього опитування подано в таблиці.Х 2 3 4 6 8М 12 6 3 1 1(Х – кількість книг, прочитаних учнем за канікули, М – кількість учнів, які прочиталитаку кількість книг). На якому з указаних полігонів правильно проілюстровано заданийрозподіл частот?А Б В Г Д9. В уривку художнього твору 47 слів мають різнукількість букв. Укажіть моду даного розподілуза допомогою зображеного на рисунку полігоначастот.А Б В Г Д2 4 5 8 1025

10. Задано 25 чисел. Серед них число 9 повторюється 12 разів, число 8 – 9 разів, число 15 −4 рази. Знайдіть середнє арифметичне заданих чисел.А Б В Г Д13,4 12 11 10,2 9,6Завдання з короткою відповіддюУ завданнях 11-16 правильна відповідь оцінюється 2 балами11. У коробці є 80 цукерок, із яких 44 з чорного шоколаду, а решта − з білого. Визначтеймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.12. У скриньці знаходяться 10 білих і 16 чорних кульок. Із скриньки навмання виймаютьодну кульку і відкладають її у бік. Ця кулька – білого кольору. Потім зі скринькинавмання виймають ще одну кульку. Яка ймовірність того, що ця кулька також будебілою?13. В ящику 4 білих, 5 червоних і кілька синіх кульок. Знайдіть загальну кількість кульок вящику, якщо ймовірність витягти навмання синю кульку дорівнює 41 .14. У сумці лежать яблука, серед яких 8 – червоні, решта – жовті. Знайдіть кількість жовтихяблук у сумці, якщо ймовірність витягти навмання червоне яблуко дорівнює 0,4.15. Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного зфутболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, ставдорівнювати 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?16. У фермерському господарстві „Надія” кожен рік озимою пшеницею засівають 600 гаполів. Середня врожайність цієї культури в 2007 році становила 24 центнери з одногогектара. Завдяки сприятливим погодним умовам у 2008 році озимої пшениці було зібранона 19 200 центнерів більше, ніж у 2007. Обчисліть середню врожайність озимої пшениці,вирощеної у господарстві „Надія” в 2008 році (у ц/га). (Середня врожайністьсільськогосподарської культури – це відношення маси зібраного врожаю цієї культури дозагальної площі полів, на яких вона була вирощена.)26

Розділ 5. ПланіметріяЗавдання з вибором однієї правильної відповідіЗавдання 1-14 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише одинправильний. Правильно виконане завдання оцінюється 1 балом.1. Прямі a і b паралельні. Знайдіть градусну міру кута x ,зображеного на рисунку.a125°bx50°А Б В Г Д50o60o65o75o85o2. Прямі m і n паралельні. Знайдіть градусну міру кута х, зображеного на рисунку.mnx15º25ºБ В Г Д40º 45º 50º 80º 140º3. Знайдіть градусну міру кута х, зображеного на рисунку.А Б В Г Д95 °120 °140 °150 °160 °27

4. У трикутнику АВС: ∠А=65º, ВD – бісектриса кута В(див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута ВCA, якщо∠AВD=35º.А Б В Г Д35º 45º 50º 55º 65º5. У трикутнику ABC: ∠A = 42º, ∠B = 64º. Із вершин кутів A і C проведені бісектриситрикутника, що перетинаються в точці O. Знайдіть градусну міру кута AOC.А Б В Г Д76º 106º 111º 122º 127º6. Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутникаАВС (АВ=ВС) дорівнює 125º (див. рисунок). Знайдіть градуснуміру внутрішнього кута В.А Б В Г Д30 о 40 о 50 о 60 о 70 о7. У сонячний день довжина тіні від деревастановить 16 м. У той самий час тінь відхлопчика, який має зріст 1,5 м, дорівнює 2 м(див. рисунок). Визначте висоту дерева.А Б В Г Д12 м 12,5 м 13 м 14 м 15,5 м8. Знайдіть довжину сторони ВС трикутника АВС, якщо∠A = 45o,∠С = 30o, AB = 3 см.А Б В Г Д4 см 4,5 см 6 см 3 3 см 3 2 см28

9. У трикутнику АВС: ВС = 8 см, ∠ВАС= 45°. Знайдіть радіус кола, описаного навколоцього трикутника.А Б В Г Д4 2 см 8 см 8 3 см 12 см 16 см10. Гострий кут паралелограма дорівнює 60º, а його сторони – 3 см і 4 см. Обчислітьдовжину меншої діагоналі паралелограма.А Б В Г Д37 см 31 см 5 см 19 см 13 см11. Сторони трикутника, одна з яких на 8 см більша за другу, утворюють кут 120 ° , адовжина третьої сторони дорівнює 28 см. Знайдіть периметр трикутника.А Б В Г Д84 см 72 см 64 см 60 см 56 см12. Сторони трикутника, одна з яких удвічі більша за другу, утворюють кут 120º, а довжинатретьої сторони дорівнює 3 7см. Знайдіть довжину найменшої сторони трикутника.А Б В Г Д2 см 3 см 4 см 7 см73 3см13. Точка М – середина сторони квадрата АВСD (див.2рисунок). Площа зафарбованої частини дорівнює 7 см .Знайдіть площу всього квадрата.14А Б В Г Д2см 212см 282см 352см 422см14. У прямокутнику ABCD прямі m і n проходятьчерез точку перетину діагоналей (див. рисунок).Площа фігури, що складається з трьохзафарбованих трикутників, дорівнює 12 см 2 .Обчисліть площу прямокутника ABCD.AnmBDCА Б В Г Д24 см 2 30 см 2 36 см 2 42 см 2 48 см 229

Завдання з короткою відповіддюУ завданнях 15-20 правильна відповідь оцінюється 2 балами15. У рівнобічну трапецію вписано коло. Точка дотику кола ділить бічну сторону трапеції навідрізки завдовжки 8 см і 18 см. Знайдіть периметр трапеції (у см).16. У трапеції ABCD : ∠A = 90o, AB = 12 см (див. рисунок). Діагональ BDділить середню лінію KL трапеції на відрізки KM і ML , причомуKM = 5,5 см і ML = 3 см. Обчисліть периметр трапеції ABCD (у см).17. Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.y310 14x18. Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 . Обчисліть скалярнийдобутокAB ⋅ AC .19. Знайдіть величину кута між векторами a r r r rі b+c (у градусах), якщо а (2; 2), b r(2; 4)с r ( −2;− 6) .і20. Паралелограм ABCD побудовано на векторах a r і b r як на сторонах. Відомо, щоr r r r r ra = 3, b = 5 , a+b =7. Знайдіть величину кута між векторами а і b (у градусах).30

Розділ 6. СтереометріяЗавдання з вибором однієї правильної відповідіЗавдання 1-15 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише одинправильний. Правильно виконане завдання оцінюється 1 балом.1. Задано дві мимобіжні прямі а і b. Скільки існує різних площин, що проходять черезпряму а і є паралельними прямій b?А Б В Г Джодної одна дві три безліч2. Укажіть УСІ ПРАВИЛЬНІ твердження.І. Через точку A , що не належить площині α , можна провести лише одну пряму,паралельну площині α .ІІ. Через точку A , що не належить площині α , можна провести лише одну площину,паралельну площині α .ІІІ. Через точку A , що не належить площині α , можна провести лише одну пряму,перпендикулярну до площини α .ІV. Через точку A , що не належить площині α , можна провести лише одну площину,перпендикулярну до площини α .А Б В Г ДІІ ІІ, ІІІ І, ІV І, ІІІ, ІV ІІ, ІІІ, ІV3. Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки Е (−3; 8; 7)і F (−9; 6;1).А Б В Г Д(− 6; 7; 4) (− 12;14; 8)( 0; 0; 0)( 3; 1; 3)інша відповідь4. Знайдіть відстань від точки ( 2;3; − 6)A до координатної площини xy .А Б В Г Д–6 2 3 6 75. Ортогональною проекцією відрізка з кінцями в точках А(−1; 0; 5) і В(−1; 0; 8) накоординатну площину xy єА Б В Г Дпряма промінь відрізок точкафігура, що відрізняєтьсявід переліченихr r r6. Знайдіть вектор c a − b= 2 , якщо a r ( 3;−1;2), ( − 2; 2; 5)b r .А Б В Г Д5;− 3; − 3 4;0; −18;0; −14;− 4; −1c r 8;− 4; −1c r ( ) c r ( ) c r ( ) c r ( ) ( )31

7. У кубі ABCDABCD1 1 1 1точка М є серединою ребра DD1(див. рисунок). Через цю точку і ребро A B проведено1 1площину. Знайдіть площу утвореного перерізу, якщоребро куба дорівнює 10 см.25А Б В Г Д32см 502см 50 52см 752см 1002см8. На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складену з шести попарно рівнихпрямокутників, розміри яких указано (у см). Обчисліть об’єм цього тіла.А Б В Г Д36 см 3 75 см 3 45 см 3 60 см 3 інша відповідь9. На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, щоскладається з двох квадратів і чотирьох однаковихпрямокутників, довжини сторін яких – 3 см і 6 см.Обчисліть об’єм цього тіла.А Б В Г Д108 см 3 54 см 3 144 см 3 36 см 3 інша відповідь32

10. Свинцеву кулю радіуса 5 см переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної зяких – 1 см. Скільки таких кульок одержали? Втратами свинцю під час переплавленнязнехтуйте.А Б В Г Д125 50 25 10 511. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якогодорівнює а см.А Б В Г Д4 a3π3 3см2 a3π3 3см1 a3π3 3см1 a6π3 3см1 a12π3 3см12. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якогодорівнює а см.А Б В Г Д34а3см3πа3см32πа3см34πа2 + 2 2 πа32см ( )3см13. Із циліндра виточено конус так, що його основа збігається з однією зоснов циліндра, а вершина – із центром іншої основи циліндра (див.рисунок). Знайдіть відношення об’єму сточеної частини циліндра дооб’єму конуса.А Б В Г Д3:1 2:1 1:2 3:2 2:314. З дерев’яної циліндричної заготовки, осьовим перерізом якої є квадрат, виточилибільярдну кулю найбільшого об’єму (див. рисунок). Визначте відношення об’єму кулі дооб’єму всієї заготовки.А Б В Г Д2 : 3 3 : 4 1 : 2 1 : 3 1 : 433

15. Паралельно осі циліндра, на відстані 2 см від неї, проведено площину. Утворенийпереріз циліндра є квадратом. Знайдіть його площу, якщо площа бічної поверхні2циліндра дорівнює 8 3 π см .А Б В Г Д4 3 см 2 8 см 2 6 2 см 2 16 см 2 8 6 см 2Завдання з короткою відповіддюУ завданнях 16-26 правильна відповідь оцінюється 2 баламиr r r r16. Знайдіть величину кута між векторами a−b і c (у градусах), якщо a(3;5; − 4) ,rb( −2; 5; −4)і c r (0; 0; 2).17. Кулю перетнули площиною на відстані 12 см від її центра. Площа утвореного перерізу2дорівнює 25πсм . Знайдіть довжину радіуса кулі (у см).18. Об’єм куба ABCDA 1B1C1D1дорівнює 216рисунок). Обчисліть об’єм піраміди DACD1(у3см (див.3см ).19. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 3 см і нахилена під кутом 60°доплощини основи. Знайдіть об’єм піраміди (у3см ).20. Укажіть номер фужера, в який можна налити найбільше рідини.1 2 324333334

21. Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина кімнати – 4 м, довжина – 5 м,висота – 2,5 м). Площа стін кімнати дорівнює 0,8 площі бічної поверхні цьогопаралелепіпеда. Скільки фарби (у кг) потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіниі стелю цієї кімнати, якщо на 1 м 2 витрачається 0,25 кг фарби?22. Основою прямого паралелепіпеда є ромб з гострим кутом 60oі більшою діагоналлю6 3 см. Менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 45o. Знайдіть2площу бічної поверхні паралелепіпеда (у см ).23. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиноюоснови кут 60º. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см 2 ).24. Металеву кулю радіуса R = 316 переплавили в конус, висота якого дорівнює 8. Знайдітьвідношення площі бічної поверхні конуса до площі його основи.25. На рисунку зображено розгортку конуса. Знайдітьвідношення площі повної поверхні цього конуса до площійого бічної поверхні.26. Висота конуса дорівнює 4 см, радіус основи – 3 см. Знайдіть відношення площі основиконуса до площі його бічної поверхні.Завдання з розгорнутою відповіддюРозв’язання завдань 27-33 повинні мати обґрунтування. Запишіть послідовні логічнідії та пояснення, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чиінше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань рисунками,графіками, схемами, таблицями.27. Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом a і прилеглим до нього гостримкутом β. Бічні грані піраміди, що містять катети цього трикутника, перпендикулярні доплощини основи, а третя бічна грань нахилена до основи під кутом φ. Знайдіть довжинувисоти піраміди.28. У правильній трикутній піраміді SABC через її висоту SO і бічне ребро SB проведеноплощину. Площа утвореного перерізу в 4 рази менша за площу повної поверхні піраміди.Знайдіть величину двогранного кута при основі піраміди.35

29. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S – вершина) бічне ребро вдвічі більше засторону основи. Знайдіть величину кута між медіаною трикутника SDC, проведеною звершини D, та середньою лінією трикутника ASC.30. У правильній трикутній піраміді SABC з основою АВС бічне ребро вдвічі більше засторону основи. Точки K і L є серединами ребер АС і ВС відповідно. Через пряму KL,паралельно до ребра SС, проведено площину α . Знайдіть величину кута між площиноюα і площиною (АВС).31. Основою прямого паралелепіпеда є квадрат ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро AA1дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить черезвершину А, перпендикулярно до прямої BA1(у см 2 ).32. Радіус основи конуса дорівнює R, твірна нахилена до площини основи під кутом α .Через вершину конуса проведено площину під кутом φ до його висоти. Ця площинаперетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.33. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною a . Одна з бічних гранейперпендикулярна до площини основи, а дві інші – нахилені до основи під кутом α .Знайдіть об’єм піраміди.36