Izvodi i primjena - Front Slobode

1 Uvod u izvode1.1 Intuitivni uvod u izvodeUvodMnogi fizikalni fenomeni uključuju mijenjajuće kvantitete - brzina rakete, monetarnainflacija, broj bakterija u kulturi, intenzitet udara u zemljotresu, napon električnog signalai tako dalje.U ovom poglavlju razvit ćemo pojam izvoda ili derivacije, što je matematički alat pomoćukojeg se proučavaju stope po kojima se mijenjaju fizikalne vrijednosti.Tangentne vrijednostiMN se naziva sekanta ili sječica krivey = f(x).Posmatrajmo△MNP .je nagib sječiceMN.tgα = NPMP = ∆y∆xKako∆x → 0,N klizi po grafiku krivey = f(x) prema tačkiM.Kako ∆x → 0 u stvari sječica MN teži da zauzme granični položaj, tj. položaj tangentet na krivu y = f(x) u tački M. tgβ je nagib tangente t na krivu u tački M.Kako∆x → 0 ondaα → β, tj. tgα → tgβ.∆ytgβ = lim tgα = lim∆x→0 ∆x→0 ∆x = y′ (x)Trenutna brzina1

Geometrijska interpretacija prosječne brzineAko se čestica kreće u pozitivnom smjeru duž neke s-ose i ako je kriva pozicije uodnosu na vrijeme s = f(t), onda je prosječna brzina čestice izmedu vremena t 0 it 1 predstavljena geometrijski pomoću nagiba sekante koja povezuje tačke (t 0 ,f(t 0 )) i(t 1 ,f(t 1 )).Geometrijska interpretacija trenutne brzineAko se čestica kreće u pozitivnom smjeru duž neke s-ose i ako je kriva pozicije uodnosu na vrijemes = f(t), onda je trenutna brzina čestice u vremenut 0 predstavljenageometrijski pomoću nagiba tangente na krivuf(t) u tački(t 0 ,f(t 0 )).Brzina se može promatrati kao mjera promjene - mjera promjene pozicije u odnosuna vrijeme ili mjera promjene s u odnosu na t. Mjere promjene se mogu pojaviti umnogim primjerima:• Mikrobiolog je zainteresiran za razinu promjene broja bakterija u koloniji tokomvremena;• Inžinjer može biti zainteresiran za mjeru promjene dužine metalne šipke u odnosuna promjenu temperature;• Ekonomista je zainteresiran kako se mijenja cijan proizvodnje u ondosu na kvantitetproizvodnjeM;• Mediocinski istražitelj je zainteresiran za promjenu radijusa arterije kada se povećakoncentracija alkohola u krvi...Definicija 1.1. Ako je y = f(x), onda je prosječna mjera promjene y u odnosu nax na intervalu [x 0 ,x 1 ] nagib m sek sekantne linije koja povezuje tačke (x 0 ,f(x 0 )) i(x 1 ,f(x 1 )) na grafu funkcijef, tj.m sek = f(x 1)−f(x 0 )x 1 −x 0.Definicija 1.2. Ako je y = f(x), onda je trunutna mjera promjeney u odnosu naxnaintervalu[x 0 ,x 1 ] nagibm tan tangente na krivuf u tački(x 0 ,f(x 0 )), tj.m sek = limx 1→x 0f(x 1 )−f(x 0 )x 1 −x 0.Primjer. Ako je data funkcijay = x 2 +1, naći prosječnu mjeru promjeney u odnosunaxpreko intervala[3,5], trenutnu mjeru promjeney u odnosu naxutačkix = −4 tetrenutnu mjeru promjeney u odnosu naxunekoj proizvoljnoj tačkix = x 0 .Prethodno smo promatrali nagib tangente na jedan način. Sada, zbog kalkulacijskihpotreba i izbjegavanja "viška" promjenljivih, novu promjenljivuh = x 1 −x 0 , odaklejasno slijedi da jex 1 = x 0 +h, pa konzekventnox 1 → x 0 akoh → 0.2

Stoga, nagib tangente na krivuf u tačkix 0 sada možemo izraziti kaof(x 0 +h)−f(x 0 )m tan = lim .h→0 hDefinicija 1.3. Ako je P(x 0 ,y 0 ) tačka na grafu funkcije f, onda je tangentna linijana graf funkcijef u tački P ili tangentna linija na graf funkcijef ux 0 se definiše kaolinija kroz tačkuP sa nagibomf(x 0 +h)−f(x 0 )m tan = lim .h→0 hpod uslovom da ovaj limes postoji, dakako. Ako limes ne postoji, kažemo da krivanema tangentne linije u P .Iz ove definicije slijedi da je jednačina tangentne linije data say −y 0 = m tan (x−x 0 ).Definicija 1.4 (Izvod informalno). Funkcijaf ′ definisana formulomf ′ (x) = limh→0f(x 0 +h)−f(x 0 )hnaziva se izvodom ili derivacijom funkcijef u odnosu nax.2 Izvod funkcije jedne promjenljiveNeka je x proizvoljno izabrana unutrašnja tačka razmaka D f , dakle x ∈ (a,b). Akoargument x promijenimo za neko malo h, tada će se promijeniti i vrijednost funkcijef(x) u novu vrijednostf(x+h). Mi ćemo razliku∆f def= f(x+h)−f(x)zvati prirastom (priraštajem) funkcije f u tački x, a veličinu h def= ∆x prirastom argumenta.Definicija 1. Derivacija ili izvod funkcije f u tački x ∈ (a,b) naziva segranična vrijednostlimh→0ukoliko postoji konačna ili beskonačna.Za derivaciju funkcijef u tačkix, koristi se oznakaf ′ (x).f(x+h)−f(x), (1)h3

Jednako tako derivacija funkcijey = f(x) po promjenljivojx, označava se f x ′,y′ ,y x ′ idfdx, ali one označavaju da je u pitanju derivacija pox, a nije naglašeno na koju tačku seto odnosi. Ako funkcijaf(x) ima derivaciju u svim tačkama skupa D ⊆ (a,b), ondaderivacija predstavlja novu funkciju od x, koja je definirana na tome skupu, u opštemslučaju različitom od (a,b). U tačkama toga skupa, dakle ta funkcija f ′ , ima konačnuili pak beskonačnu vrijednost.Prema tomef ′ : D → R∪{−∞,+∞}.Treba zapaziti da razmak može imati tačaka koje nisu unutrašnje tačke, pa se čini da ostajene definirana derivacija u takvim tačkama. Implicitno su i takve derivacije uvedenedatom definicijom, a eksplicitno ćemo o tome govoriti u okviru jednostranih derivacija.Postupak nalaženja funkcijef ′ naziva se diferenciranje ili deriviranje funkcijef. Definicija2. Za funkciju y = f(x) kažemo da je diferencijabilna (ili derivabilna) u tački x ∈(a,b) ako ima konačnu derivaciju u toj tački. Stav 1. Ako je f diferencijabilnafunkcija u tačkix ∈ (a,b), tada je ona i neprekidna u istoj tački.Ako jef neprekidna funkcija u nekoj tački ona ne mora biti diferencijabilna u toj tački,kao što pokazujePrimjer 2. Funkcija f zadana pomoću f(x) = 3√ x 2 je neprekidna na R, ali nijediferencijabilna u tačkix = 0.Slika 5.1Za zadanu funkcijuf : [a,b] → R kažemo da ima lijevu derivaciju u tački x ∈ (a,b],ako postojif(x+h)−f(x)limR − ∋h→0 h4

i u tom slučaju, jednostranu derivaciju označavamof ′ l (x) ili pakf′ (x−0).Analogno se definira desna derivacija u tačkix ∈ [a ,b), kaof ′ d (x) = f′ (x+0) = limR + ∋h→0f(x+h)−f(x).hJasno, kao kod svake druge granične vrijednosti, derivacija (1) funkcijef postoji u tačkix ako i samo ako postoje jednostrane derivacije (jednostrane granične vrijednosti) u tojtački i ako imaju istu vrijednost.2.1 Pravila diferenciranja funkcijePretpostavljamo diferencijabilnost na čitavome intervalu(a,b), bez obzira što diferencijabilnost,u opštem slučaju, može biti ispunjena samo na E ⊆ (a,b). Ako se uzme[a,b] umjesto(a,b) onda bi se diferencijabilnost u tačkia(odnosnob) svodi na postojanjekonačnih jednostranih derivacija u pomenutim tačkama.Teorem 2.1. Neka suf,g : (a,b) → R. Tada akof,g ∈ D(a,b) 1 onda jef ±g,fg, f g ∈D(a,b) 1 ,(g(x) ≠ 0 ). Još više, za svakox ∈ (a,b) vrijedi:(i) (f ±g) ′ (x) = f ′ (x)±g ′ (x);(ii) (fg) ′ (x) = f ′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x);(iii)(fg) ′(x)=f ′ (x)g(x)−f(x)g ′ (x)g 2 (x).Primijetimo ovdje da je preslikavanje dddxdx : D1 (a,b)→ F(F je skup funkcija) aditivnodpreslikavanje, tj. (f +g) =dx (f) + ddx(g). Osim toga, iz svojstva (ii) slijedi injegova homogenost ( ddx (λf) = λ ddx(f)). Prema tome, vidimo da je diferenciranjelinearno preslikavanje.Teorem 2.2 (Derivacija složene funkcije). ). Neka su zadate funkcije fig takve da jedefinirana složena funkcija(g◦f)(x) = g(f(x)). Neka, dalje, funkcijaf ima konačnuderivaciju u tački x, a funkcijag ima prvu derivaciju u tački f(x). Tada superpozicijag ◦f ima derivaciju u tačkixivrijedi:(g ◦f) ′ (x) = g(f(x)) ′ = gf ′(f)f′ x (x). (P4)Ovaj proces možemo onda nastaviti, tj. na primjerz = z(w), w = w(y), y = y(x) ⇒ dzdx = dz dw dydw dy dxPrimjer. Naći izvod funkcijez = 3(3x 2 −2) 2 .Primjer. Naći izvod funkcijey = 6 √ 2x−3.5

Primjer. Naći izvod funkcijey = e −2x2 .Teorem 2.3 (Derivacija inverzne funkcije). Neka funkcija y = y(x) ima derivaciju utačkix. Neka dalje, postoji inverzna funkcijax = x(y), koja je neprekidna u tačkiy.Ako jey ′ (x) ≠ 0 tada je funkcijax(y) diferencijabilna i vrijediy ′ x ·x ′ y = 1. (P6)Primjer 3. Funkcija y = arcsinx za x ∈ (−1,+1) predstavlja inverznu funkcijufunkcijex = siny. Koristeći formulu (P6), možemo odrediti derivaciju funkcijey(x).Primjer 4. Elementarna funkcijaima derivacijuy = coshx def= ex +e −x2(cosinushiperbolikus)y ′ = (coshx) ′ = ex −e −x2def= shx (sinushiperbolikus).Ako iz jednakostie x + 1e x = 2y izrazimox,(x > 1), dobijamo da je inverzna funkcijafunkcijecoshx funkcijaarccoshx = ln ( x± √ x 2 −1 ) (areacosinushiperbolikus)čija je derivacija(archx) ′ = ± 1 √x 2 −1 .2.2 Geometrijsko i fizikalno tumačenje derivacije funkcijeGeometrijsko i fizikalno tumačenje izvodaNeka se materijalna tačka kreće po pravoj tako da funkcija s = s(t) izražava predeniput, od neke početne tačkeO(0,0), u funkciji od vremenat. Prema tome, u trenutkutmaterijalna tačka se nalazi u tački M(t,0), a u trenutku t+∆t u tački N(t+∆t,0).Predeni put do trenutka t je s(t), a do t+∆t je s(t+∆t). Nas zanima kako odreditibrzinu te tačke kada je ona u tačkiM(t,0).Označimo sa v sr srednju brzinu tačke na putuMN, tada jev sr = s(t+∆t)−s(t) .∆tPrirodna definicija trenutne brzine tačke u momentuM je granična vrijednost srednjebrzine kada N teži prema M (a to će se dogoditi ako ∆t → 0). Dakle, brzina v(t) utačkiM se definira kaos(t+∆t)−s(t)v(t) = lim = s ′ (t),∆t→0 ∆t6

tj. prvom derivacijom funkcije s(t) po argumentu t. Geometrijski, prva derivacija(konačna ili beskonačna) funkcijef, u tačkix 0 , predstavlja koeficijent pravca tangente(t) na krivuG f u tački x 0 .Da bismo se u to uvjerili, najprije trebamo definirati tangentu krive.Definicija.Tangenta na neku krivu G f , u zadatoj tački (x 0 ,f(x 0 )) te krive, definira sekao prava koja sadrži tačku (x 0 ,f(x 0 )) ∈ G f , a predstavlja granični položaj snopasječica (tetiva) krive, koje spajaju tačku(x 0 ,f(x 0 )) kao stalnu i bilo koju drugu tačku(x,f(x)) na krivoj. Pri tome snop sječica nastaje pomijeranjem tačke (x,f(x)) pokrivoj prema stalnoj tački(x 0 ,f(x 0 )).Ako fiksiramo tačkuM(x 0 ,f(x 0 )) ∈ G f , tada snop pravih koje prolaze kroz tačkuMimaju jednačinuy −f(x 0 ) = k(x−x 0 ), (P)gdje sve prave snopa imaju koeficijent pravcak. Prava koja ima koeficijentk = tgα 2 =f ′ (x), jasno, predstavlja tangentu kriveG f . Naime, koeficijent pravca sječice (s) jetgα 1 = M1M′h= f(x0+h)−f(x0)h.2.3 Tablica izvodaTablica derivacija7

Funkcija Derivacija Vrijedi zaf(x) f ′ (x)1. C = const. 0 x ∈ R2. x 1 x ∈ R3. x α αx α−1 α = p ∈ Q,q = 2k −1;x ≠ 0qα = p > 1,q = 2k −1;x ∈ Rq4. a x a x lna a ∈ R + \{1};x ∈ R15. log a xa ∈ R + \{1};x ∈ R +xlna6. cosx −sinx x ∈ R7. sinx = cos( π −x) cosx x ∈ R28. tgx = cos(π −x) 2 1x ≠ π +kπ;k ∈ Zcosx cos 2 x29. ctgx = 1 − 1 x ≠ kπ;k ∈ Ztgx sin 2 x10. arccosx −√1−x 1 |x| < 12Funkcija Derivacijf(x) f ′ (x)11. arcsinx √ 11−x 212. arctg x11+x 213. arcctgx − 11+x 214. shx chx115. thx16.arshx == ln(x+ √ 1+x 2 )17. arhx = 1 2ln1+x1−xch 2 x1 √1+x 211−x 22.4 Diferencijal funkcijeDefinicija 3. Diferencijal funkcije f u tački x u kojoj je funkcija diferencijabilna, uoznaci df(x) ili df, je proizvod derivacije funkcije i priraštaja nezavisno promjenljiveu toj tački, tj.df(x) = f ′ (x)h. (2)Ako uzmemoi(x) = x, onda je prvi diferencijaldi(x) = dx = (x) ′ h = h;vidimo da je diferencijal funkcije, koja je identičkix, jednakhzbog toga, po dogovoru,pišemoh = dx. Prema tome, diferencijal funkcijef, jedf = f ′ dx. Sad ovu jednakostmožemo podijeliti sa dx ; odakle dobijamo dfdx = f′ (x), što smo već uveli u uznakamaza prvu derivaciju funkcije.Geometrijski, diferencijal funkcije u tačkixpredstavlja priraštaj tangente, koji se definirakao dužinaM ′ N na slici (5.3).Teorem 2.4. Neka su funkcije f i g diferencijabilne na skupu (a,b). Tada, u tačkamaintervala(a,b) gdje jeg ≠ 0, vrijedi(i) d(f ±g) = df ±dg;(ii) d(fg) = (df)g +f(dg);)(iii)d(fg= (df)g−f(dg)g. 23 Derivacije i diferencijali višega redaPretpostavimo sada da postoji derivacija f ′ (x) neke funkcije f u okolini tačke x 0 ∈(a,b). Često deriviranjem funkcije f dobijamo funkciju koja, zapravo, i sama ima8

derivaciju u nekoj okolini te ili druge tačke, tj. postojilimh→0f ′ (x 0 +h)−f ′ (x 0 ).hPosljednju graničnu vrijednost označavamo saf ′′ (x 0 ) (koristimo i oznakey x ′′(x0),y x ′′0d,2 fdx(x 2 0 )) i zovemo druga derivacija funkcije (ili drugim izvodom funkcije) f u tačkix 0 ∈ (a,b). Indukcijom možemo uvesti i derivaciju n− toga reda funkcije (n− tiizvod funkcije)f u tačkix 0 ∈ V(x 0 ) ⊆ D f (n−1), kaof (n) (x 0 ) = limh→0f (n−1) (x 0+h)−f (n−1) (x 0)h= ( f (n−1) (x 0 ) ) ′, (*)gdje je n ∈ N. Jasno,f (0) (x 0 ) def.= f(x 0 ).Dakle,n− ta derivacija funkcijef je prva derivacija funkcijef (n−1) u svakoj unutrašnjojtački x 0 ∈ D f (n−1), za koju postoji limes (*). Ako se pretpostavi da su funkcijef ′ if ′′ diferencijabilne u svakoj tačkix ∈ (a,b) = D f ′, tada za linearno preslikavanjeddx , vrijediddx : D1 (a,b) → D1 (a,b) ;a pretpostavka da postoji f (n) ,n > 1, za svako x ∈ (a,b) znači da funkcijaf ima svederivacije don− toga reda u svim tačkama intervala(a,b). Klasu funkcija koje imajusve derivacije do n− toga reda u svim tačkama skupa E = (a,b), označićemoD (n)(a,b) ,a ako funkcija ima derivaciju bilo kojeg reda u tačkama skupaE = (a,b) onda pripadaklasi beskonačno puta diferencijabilnih funkcijaD(a,b) ∞ .Dakle,e x ∈ D ∞ R = D∞ (−∞,+∞) .Primjer 10. Pokazati da funkcija ϕ(x) = ln(1 + x) ima n− tu (n ∈ N) derivaciju usvakoj tački skupaE = (−1,+∞).Definicija 4. Diferencijal n–toga reda funkcijef, u oznacid n f, jeste prvi diferencijal(n−1 )–og diferencijala funkcijef, odnosnod n f(x) = d ( d n−1 f(x) ) .Budući da je d n−1 f = f (n−1) (x)dx n−1 , to je d n f(x) = f (n) (x)dx n ; ako podijelimoposlednju jednakost sa dx n def.= (dx) n , dobićemo da je f (n) = dn fdx, što predstavljantakode oznaku zan−tu derivaciju funkcijef.Principom potpune matematičke indukcije, dokazuje se Leibnizova formula za n− tuderivaciju proizvoda dvije funkcije( nu (n) v (0) +1) ( nu (n−1) v ′ +2)(u·v) (n) = ( nu (n−2) v ′′ +···+n−1)u ′ v (n−1) +v (n) u (0) ,9

gdje je u (0) = u(x);v (0) = v(x).3.1 Logaritamska derivacija i diferenciranje implicitne funkcijeNeke funkcije mogu biti zadane analitičkim izrazom koji nije pogodan za odredivanjederivacije po definiciji, budući da se komplikuje izračunavanje odgovarajućih limesa.Takav je primjer funkcijeF(x) = [f(x)] φ(x) , (3)gdje su f i φ diferencijabilne funkcije naE = (a,b), na kome je if(x) > 0.Sa druge strane ako se logaritmira (3), onda dobijamo funkcijuΛ(x) = lnF(x) = φ(x)ln[f(x)]. (4)Prema tome, funkcijaF(x) je implicitno zadata pomoćulnF(x)−φ(x)ln[f(x)] = 0.Potražimo derivaciju funkcije (4) kao superpozicije dvije funkcijeF i ln. Dakledobijamo izraz na desnoj strani F′FΛ ′ (x) = 1F(x) ·F′ (x), (5), koji se naziva logaritamska derivacija funkcijeF .].F ′ (x) = [f(x)] φ(x) [φ ′ (x)ln[f(x)]+φ(x) f′ (x)f(x)Primjer. Naći izvode funkcijai.y = x sinxy = (x+1) 2x−1Ako je izrazomF(x,y) = 0 implicitno zadata diferencijabilna funkcijay(x), njena sederivacija može odrediti iz relacijeF ′ x +F ′ yy ′ x = 0,koja diferenciranjem (po promjenljivojx) slijedi izF(x,y) = 0.Prema tome za derivaciju diferencijabilne funkcije y(x), zadate implicitno F(x,y) =0, koristićemo formuluy x ′ = −F′ xF. (P8)y′Primjer. Naći izvod funkcijex 2 +y 2 −5 = 0.Primjer. Naći izvod funkcijexlny +y 2 lnx+3y.10

4 Derivacija i izračunavanje limesa funkcijeFunkcija F(x) za neku tačku x = a (koja je tačka nagomilavanja skupa D F ), možepredstavljati izraz koji nije definiran, te se ne može odmah reći kolika bi bila vrijednostF(a), niti pak, koliko je limx→aF(x), ako uopšte taj limes postoji.Dakle F(a) prividno nema smisla, ali kada x → a (x teži prema a) funkcija F možeimati graničnu vrijednost pa čak i beskonačnu. Tada A = lim F(x) ima smisla ix→afunkcijaF se može dodefinirati u tačkix = a, naprimjer tako da jeF(a) = A. Naravnotačkax = a kao i A, može pripadati i skupu{−∞,+∞}. Neodredeni oblici funkcijapredstavljaju oblike neodredenosti koji se često susreću, pa ćemo ovdje, dakle za( 00),( ∞∞), (0·∞), (∞−∞),(00 ) ,(∞0 ) , (1 ∞ ) (6)pokazati kako se mogu pogodnim transformacijama svesti na oblike koji pri računanjulimesa ne predstavljaju osobito tešku prepreku. Ako je lim f(x) = lim g(x) = ∞,x→a x→a1tada transformacijom funkcijeF = f g u F = g1 očito neodredenost oblika ( ∞∞)možefse svesti na oblik ( 00).Isto tako, funkcija F = f · g neodredenog oblika (0·∞) u tački x = a, na očigledannačin prelazi u F = f 1 , tj. u neodredenost oblika ( 00). Transformacijomf −g =1g − 1 f1fggfunkcija F = f −g, koja u tački x = a ima oblik (∞−∞), dobijaneodredeni oblik ( 00). Ako funkcijuF = f g logaritmiramo, dobijamo novu funkcijulnF = gln(f). Desna strana u poslednjoj jednakosti pokazuje da nova funkcija možeimati samo oblik (0·∞), pri svim pretpostavkama kada funkcija F = f g ima nekiod poslednja tri oblika neodredenog izraza, pobrojanih u (6). Još više, elementarnomtransformacijom iz lnF = gln(f) dolazimo doF = e gln(f) = eln(f)1g .Sada, ako je naprimjer,f(a) = 1 i limx→ag(x) = ∞, ponovo se dobija oblik ( 00).L’Hospitalovo praviloTeorem 4.1 (Prvo L’Hospitalovo pravilo). Ako f,g ∈ C [a,b] i f,g ∈ D 1 (a,b) D f =fD g = [a,b) i neka je x 0 ∈ (a,b). Ako je f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 i postoji lim′ (x)x→x 0g ′ (x) ,konačan ili beskonačan, tada postoji i lim . Još više, tada vrijedif(x)x→x 0g(x)f(x)limx→x 0 g(x) = lim f ′ (x)x→x 0 g ′ (x) .11

cosx−1Primjer 16. Izračunati limx→0 x. 2Teorem 4.2. Neka su funkcije f i g diferencijabilne u [a,+∞),a > 0 i pri tome jeg ′ (x) ≠ 0 za x ∈ [a,+∞) i neka je lim f(x) = lim g(x) = 0. Tada, ako postojix→∞ x→∞limx→∞f ′ (x)f(x)g ′ (x), onda postoji i limx→∞ g(x) i vrijedif ′ (x)limx→∞ g ′ (x) = lim f(x)x→∞ g(x) . (7)Teorem 4.3 (Drugo L’Hospitaleovo pravilo). Neka su funkcije f i g diferencijabilne uintervalu(a,b), na kome jeg ′ ≠ 0 i neka jeTada, ako postojilimx→a+0lim f(x) = lim g(x) = ∞.x→a+0 x→a+0f ′ (x)g ′ (x), onda postoji i limePrimjer. IzračunatiL = limh −h−1h→0h. 2x→a+0f(x)limx→a+0 g(x) = lim f ′ (x)x→a+0 g ′ (x) .f(x)g(x). Još više, vrijedi⊲ Uvedimo pomoćne funkcijeφ(x) = e x −x i ϕ(x) = x 2 . Lahko je provjeriti da oneispunjavaju uslove Cauchyevog teorema. Osim toga, ako primijenimo (12), dobićemoodakle slijedi da jeφ(0+h)−φ(0)ϕ(0+h)−ϕ(0) = eh −h−1h 2 = φ′ (θh)ϕ ′ (θh) = eθh −12θh ,e h −h−1 e θh −1L = limh→0 h 2 = lim = 1θh→0 2θh2 lim e t −1t→0 t= 1 2 .x−sinxPrimjer. Limes limx→∞ x+sinx, primjenom L’Hospitalova pravila, se ne može odrediti.5 Osnovni teoremi diferencijalnog računaDefinicija 5.1. Kažemo da funkcijaf ima u tačkic ∈ D f lokalni maksimum f(c), akopostoji okolinaV(c) ⊆ D f tačkec, sa svojstvom da jevidi sliku 5.5,a.f(x)−f(c) ≤ 0, (∀x ∈ V(c)); (8)Funkcijaf ima u tačkid ∈ D f lokalni minimumf(d), ako postoji okolina V(d) ⊆ D ftačked, tako da vrijedividi sliku 5.5,b.f(x)−f(d) ≥ 0, (∀x ∈ V(d)); (9)Vrijednostif(c) i f(d) su lokalni ekstremumi funkcijef.12

Slika 5.5,aSlika 5.5.bTeorem 5.2. Neka je funkcija f definirana na D f = (a,b) i ima derivaciju u okoliniV(x 0 ) ⊆ (a,b) tačke x 0 . Ako je f ′ (x) > 0(f ′ (x) > 0) za svako x ∈ V(x 0 ), tadafunkcijaf strogo raste (strogo opada) na skupuV = V(x 0 ).Teorem 5.3 (Fermat). Neka je funkcija f definirana na D f = (a,b) i ima lokalniekstremum f(c) u tački c ∈ (a,b). Tada, ako funkcijaf ima derivaciju u tački c, ondajef ′ (c) = 0.Definicija 5.4. Tačkua ∈ D f zovemo stacionarnom tačkom funkcijef, ako jef ′ (a) =0.Primjer. Pokazati da funkcija može imati lokalni ekstremum, a da derivacija u tačkitoga ekstremuma ne mora ni postojati.⊲ Posmatrajmo sljedeću funkciju kao primjer: f(x) = 3√ x 2 , D f = [−1,+1].Budući da je funkcija parna, onda je G f simetričan u odnosu na y− osu (v. sliku(5.5,c)).Slika 5.5,cPrema tome za bilo koje h ∈ V(0), vrijednost funkcije je f(0 + h) = 3√ h 2 > 0 ;f(0) = 0. Dakle,f(0+h)−f(0) = 3√ h 2 > 0,(∀h ∈ V(0)),13

pa funkcijaf ima lokalni minimum u nuli.Sa druge strane,Medutim, pošto jef(0+h)−f(0)lim = limR + h→0 h R + h→0f(0+h)−f(0)lim = limR − h→0 h R − h→0f ′ (0) ne postoji, što je trebalo i pokazati. ⊳3√h2h = limR + h→03√h2h = limR − h→013√h= +∞.13√h= −∞,Teorem 5.5 (Rolle). Neka je funkcija f definirana na D f = [a,b] i neka ispunjavasljedeće uslove:(i) f ∈ C [a,b] ;(ii) postoji derivacijaf ′ (x) u svakoj tačkix ∈ (a,b);(iii)f(a) = f(b).Tada funkcijaf ima stacionarnu tačku koja pripada(a,b).Primjer. Pokazati da je egzistencija derivacije u svakoj tački intervala (a,b) bitnapretpostavka Rolleovog teorema.⊲ Funkcija iz primjera 12 je očito neprekidna na [−1,+1] i vrijedi f(−1) = f(1).Prema tome uslovi (i) i (iii) teorema 8 su ispunjeni, medutim uslov (ii), kao što smopokazali u primjeru 12, ne. Dakle Rolleov teorem ne vrijedi za f(x) = 3√ x 2 , što sevidi i iz same derivacije funkcijef ′ (x) = 23 3√ ≠ 0,(x ∈ [−1,+1]).⊳xTeorem 5.6 (Lagrange). ) Ako je funkcija f definirana na D f = [a,b] i ispunjavasljedeće uslove:(i) f ∈ C [a,b] ;(ii) postoji derivacijaf ′ (x) u svakoj tačkix ∈ (a,b), tada postojic ∈ (a,b), tako da vijedif(b)−f(a)b−a= f ′ (c). (10)Teorem 5.7. Ako je funkcija f : [a,b] → R diferencijabilna na (a,b) te ako je svakox ∈ (a,b) stacionarna tačka funkcije, tj. f ′ (x) = 0, tada je f konstanta na[a,b].Dokaz. Funkcija f zadovoljava uslove Lagrangeovog teorema na [a,x], gdje je x bilokoja tačka iz(a,b). Iz (10) dobijamof(x)−f(a) = f ′ (c)(x−a).14

Budući da jec∈(a,x) stacionarna tačka funkcije, to iz poslednje relacije dobijamo dajef(x) = f(a) za svakox, pa jef konstanta na[a,b], što je i trebalo dokazati.(Teorem 5.8. Neka je funkcijaf ∈ C [a,b] if ∈ D(a,b) 1 . Ako postoji limtada postoji i f d ′(a) ( f′ l (b) ) i vrijedi( )limx→a+0 f′ (x) = f d ′ (a limx→b−0 f′ (x) = f l ′ (b) .x→a+0 f′ (x)Teorem 5.9 (Darboux). Ako je f ∈ D[a,b] 1 onda za proizvoljan realan broj λ izmeduvrijednostif ′ (a) i f ′ (b), postojic ∈ (a,b) takav da je λ = f ′ (c).Teorem 5.10 (Cauchy). Akof,g ∈ C [a,b] if,g ∈ D(a,b) 1 , pri čemuf nema stacionarnihtačaka na(a,b), onda postojic ∈ (a,b) tako da vrijedig(b)−g(a)f(b)−f(a) = g′ (c)f ′ (c) . (11)Cauchyev teorem vrijedi i na[x,x+h] ⊂ [a,b], tj. važi formulag(x+h)−g(x)f(x+h)−f(x) = g′ (x+θh)f ′ ,(0 < θ < 1). (12)(x+θh)limx→b−0 f′ (x)),Vidjeli smo da, diferencijabilna funkcija u nekoj tački, negativne derivacije u okolini(koja je dio domena funkcije) te tačke, je opadajuća na tome skupu. Analogno, funkcijačija je derivacija pozitivna je rastuća (v. (5,6) teorem 6). Ovdje ćemo pokazati davrijedi i obrat.Teorem 17. Ako je diferencijabilna funkcija f(x) rastuća (opadajuća) na intervalu(a,b), tada je f ′ (x) ≥ 0 (f ′ (x) ≤ 0) za x ∈ (a,b). Prije toga, razmotrimo ponovofunkciju f(x) = 3√ x 2 iz primjera 12, na skupu D = [−1,1]. Pokazali smo da jef(0) lokalni minimum funkcije, ali da je u isto vrijeme f ′ (0) ne postoji. Osim toga,uočavamo da jef ′ (x) < 0, zax ∈ [−1,0) i f ′ (x) > 0, zax ∈ (0,1],tj., prva derivacija mijenja znak u tačkia = 0 u kojoj funkcijaf ima lokalni ekstremum.Da to nije slučajno, pokazujeTeorem 18. (Prvo pravilo). Pretpostavimo da je U(a) okolina tačke a i f ∈ C U(a) .Ako je f(x) diferencijabilna na skupuU(a)\{a}, tada je u tački a lokalni ekstremumfunkcijef(x) ako funkcijaf ′ (x) mijenja znak u tački a. Pri tome(i) ako jef ′ (x) < 0,x ∈ U ∩(−∞,a)if ′ (x) > 0,x ∈ U ∩(a,∞),tada je u tačkialokalni minimum;15

(ii) ako jef ′ (x) > 0,x ∈ U ∩(−∞,a)if ′ (x) < 0,x ∈ U ∩(a,∞),u tačkiaje lokalni maksimum.Primjer 19. Funkcijaϕ(t) = |2t−1| ima derivacijuϕ ′ (t) ={ 2, za t >12−2, za t < 1 2,pa je jasno da u tačkit = 1 2 postoji lokalni minimum, koji iznosiϕ(1 2 ) = 0.16

Teorem 19. (Dugo pravilo). Neka je f ′′ (x) definirana u stacionarnoj tački c funkcijef(x). Tada ako je f ′′ (c) > 0(f ′′ (c) < 0), funkcija f(x) u stacionarnoj tački c imalokalni minimum (maksimum). Primjer 20. Funkcija f(x) = xlnx ima u tačkix = e −1 lokalni minimumf( 1 e ) = −1 e .⊲ Zaista, jednačinaf ′ (x) = lnx+1 = 0, anulira se u tački x = e −1 . Dakle funkcijaf ima stacionarnu tačku e −1 . Osim toga, druga derivacija f ′′ (x) = 1 x , u stacionarnojtački, ima vrijednostf ′′ (e −1 ) = e > 0. ⊳Razmotrićemo opšti slučaj, tj. slučaj kada u stacionarnoj tački c, n prvih derivacijafunkcijef imaju svojstvof ′ (c) = f ′′ (c) = ··· = f (n−1) (c) = 0, f (n) (c) ≠ 0. (13)Ako je n = 2k − 1, tj. ako je n neparan broj, funkcija nema lokalnog ekstremuma ustacionarnoj tačkic. Sa druge strane, ako jen = 2k, tj. n je parno i ako jef (n) (c) > 0funkcijaf ima lokalni minimum u c. Jednako tako, ako je f (n) (c) < 0 funkcijaf imalokalni maksimum uc.17