Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

matematičar Beltrami, koji je 1868. dao model ravni Lobačevskog unutar euklidskogprostora. Zatim je nemački matematičar Klajn pokazao da važi i obrnuto, da se uprostoru Lobačevskog može konstruisati model za euklidsku geometriju. Na taj način jepokazano da su euklidska geometrija i geometrija Lobačevskog ekvikonzistentne, odnosnojedna geometrija je neprotivrečna ako i samo ako je to i druga. Time je pokazano da sus matematičke tačke gledišta ove dve geometrije ravnopravne.2 Modeli prostora LobačevskogU ovom poglavlju detaljno se razmatraju različiti modeli prostora Lobačevskog ueuklidskom prostoru. Osim što pokazuju nezavisnost aksiome paralelnosti od ostalihaksioma, modeli su značajni i kao moćan alat za proučavanje prirode prostoraLobačevskog. Pošto je svakom pojmu prostora Lobačevskog pridružen pojam u modelu,svaka teorema geometrije Lobačevskog ima svoju interpretaciju u modelu, pa dokazujućistavove modela dokazujemo i teoreme geometrije Lobačevskog. Napomenimo da iu prostoru Lobačevskog postoji model euklidske geometrije. Euklidskoj ravni u tommodelu odgovara orisfera, a euklidskim pravama oricikli. Odavde se vidi da su geometrijeEuklida i Lobačevskog zaista ekvikonzistentne, odnosno da prorivrečnost jedne povlačiprotivrečnost druge i obrnuto.Dalje ćemo raditi u tri dimenzije, ali primetimo da se većina rezultata lako možeuopštiti na proizvoljan broj dimenzija.2.1 Klajnov modelKlajnov model K je unutrašnjost jedinične sfere (apsolute). Tačke tog modela su tačkeunutrašnjosti sfere, a prave tetive sfere. Ravni modela su krugovi dobijeni u presekueuklidskih ravni i sfere K. Relacija izmedu je nasledena iz euklidskog prostora. Može sepokazati da ovaj model zadovoljava aksiome incidencije, rasporeda, neprekidnosti kao iaksiomu paralelnosti za geometriju Lobačevskog (slika 2.1).Neka su X, Y ∈ K dve fiksirane tačke (tj. njihove koordinate na pravoj kojuodreduju). Definišemo rastojanje sad k (X, Y ) = 1 2 | ln[X, Y ; P, Q]| = 1 ( XP2 ∣ ln XQ : Y P )∣ ∣∣∣,Y Qgde su P i Q presečne tačke prave XY sa apsolutom. Moguće je pokazati da je ovakodefinisana funkcija d k nenegativna, definitna, simetrična i da važi nejednakosti trougla, pazaista definiše rastojanje na modelu K. Izometrije Klajnovog modela su bijekcije modelaK koje čuvaju rastojanje d k . Par tačaka (A, B) je podudaran paru tačaka (C, D) akopostoji izometrija Klajnovog modela koja slika redom tačke A i B u tačke C i D. Sada semože proveriti da su zadovoljene i aksiome podudarnosti, pa je K zaista model prostoraLobačevskog.4