Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

More documents

Recommendations

Info

$LaTeX - Alas$

$Latex - Alas$

$LaTeX - Alas$

Slika 7.5: Vizualizacija interneta pomoću Klajnovog modela prostora LobačevskogU toku poslednjih pet godina pojavili su se programi za stvaranje foto realističnih slikavisokog kvaliteta pomoću rejtrejsing algoritma. Boris Ajdin je realizovao rejtrejsingu Poenkareovom sfernom modelu [15]. Slika 7.6 prikazuje sfere i dodekaedar uPoenkareovom sfernom modelu. Kao rezultat primene rejtrejsing algoritma na svimtelima se mogu videti reflektovane slike ostalih tela. Henrik Rueping je realizovaorejtrejsing u Klajnovom modelu prostora Lobačevskog [16]. Slika 7.7 prikazuje teselacijuprostora Lobačevskog dodekaedrima.Slika 7.6: Rejtrejsing vizualizacija uPoenkareovom sfernom modelu: sfere idodekaedarSlika 7.7: Rejtrejsing vizualizacija uKlajnovom modelu: teselacija prostoradodekaedrimaZajedničko za sve navedene radove je da se vizualizacija vrši putem projekcije na ravanLobačevskog, a da se zatim ta ravan prikazuje na ekranu računara u nekom od modela61
u euklidskoj ravni. Preciznije, sve dosadašnje vizualizacije se odnose na Klajnov modelprostora Lobačevskog, izuzev rada [14] koji se odnosi na Poenkareov sferni model. U tomradu navedena je mogućnost projekcije na orisferu, ali sa tačke na apsoluti čime se gubizakrivljenost prostora i odstupa se od ideje da se prostor posmatra iznutra, odnosno dase posmatrač nalazi unutar samog prostora Lobačevskog.Interesantno je da je tema centralnog projektovanja u geometriji Lobačevskog samatematičkog stanovišta obradena jos ’60-tih godina u radovima Zagorke Šnajder,daleko pre nego što je postojala mogućnost za vizualizaciju putem računara [19]. Oviradovi se takode bave projekcijom prostora Lobačevskog na ravan Lobačevskog.8 ZaključakOstvareni su ciljevi rada:• Predstavljeni su osnovni pojmovi i tvrdenja o modelima prostora Lobačevskogu euklidskom prostoru. Definisani su Klajnov, hiperboloidni, Poenkareov sfernii poluprostorni model prostora Lobačevskog. Definisano je rastojanje u njima idokazano da su izometrični.• Proučeno je centralno projektovanje na orisferu u prostoru Lobačevskog, kao isličnosti i razlike u odnosu na centralno projektovanje euklidskog prostora.• Izvedene su matrice osnovnih tipova izometrija Klajnovog modela:odnosu na ravan, translacije, rotacije i oricikličke rotacije.simetrije u• Razvijen je softverski alat za vizualizaciju prostora Lobačevskog centralnimprojektovanjem na orisferu. Obezbedena je funkcionalnost programa za poliedre, tj.mogućnost kreiranja modela, implementirane su projekcija i izometrije, i omogućenostvaranje animacija u realnom vremenu.• Radi boljeg razumevanja centralne projekcije na orisferu omogućen je prikaz sceneu poluprostornom modelu gde je prikazana očna tačka, sfera vidljivosti, tela kojase projektuju, zraci projekcije, orisfera na koju se projektuje i apsoluta.• Postignuto je predstavljanje beskonačnosti i rastojanja u prostoru Lobačevskog nanačin blizak ljudskoj intuiciji.Kao rezultat su dobijene zanimljive projekcije Platonovih tela, relistične zbog ispravnepredstave o beskonačnosti i rastojanju. Vizualizacija prostora Lobačevskog putemcentralne projekcije na ravan Lobačevskog (što je obradivano u drugim radovima) dajeprikaz slike u nekom od modela ravni Lobačevskog, pa se beskonačnost mora zamišljatina mestu apsolute i prikazano rastojanje izgleda manje što je objekat bliži apsoluti. Priprojekciji na orisferu objekti koji se udaljuju od posmatrača se proporcionalno umanjujuili izlaze iz vidnog polja, što mnogo više odgovara ljudskoj intuiciji o rastojanju ibeskonačnosti.Naučni doprinos rada:62
Page 3:
ApstraktVizualizacija kao način da
Page 6 and 7:
UvodTema vizualizacije prostora Lob
Page 8 and 9:
1 Geometrija LobačevskogOd kada je
Page 10 and 11:
Slika 2.1: Aksioma paralelnosti u K
Page 12 and 13:
Slika 2.3: Izometrijama hiperboloid
Page 14 and 15:
Pokažimo najpre da jednakost važi
Page 16 and 17: Slika 2.8: Izometrija Klajnovog i P
Page 18 and 19: Diferenciranjem prethodne jednačin
Page 20 and 21: 3.2.1 Poluprostorni modelVideli smo
Page 22 and 23: i označimo sa O. U zavisnosti od m
Page 24 and 25: vidljivosti (slika 4.9). Sve tačke
Page 26 and 27: Slika 4.13: Projekcija duži Lobač
Page 28 and 29: 4.3 Projekcija poliedaraU ovom pogl
Page 30 and 31: Primer: Projekcija dodekaedra kada
Page 32 and 33: Primer: Projekcija dodekaedra kada
Page 34 and 35: 4.3.3 OktaedarPrimer: Projekcija ok
Page 36 and 37: Primer: Projekcija oktaedra kada se
Page 38 and 39: 4.3.4 IkosaedarPri projekciji ikosa
Page 40 and 41: Primer: Projekcija ikosaedra kada s
Page 42 and 43: Primer: Projekcija kocke kada se o
Page 48 and 49: 5 Izometrije Klajnovog modela, pred
Page 50 and 51: 5.2 TranslacijaPredstavimo translac
Page 52 and 53: 5.5 Primeri kretanja poliedaraU ovo
Page 54 and 55: 5.5.2 RotacijaPrimer: Rotacija kock
Page 56 and 57: Primer2: Oriciklička rotacija dode
Page 58 and 59: 5.5.4 Zavojno kretanjePrimer: Zavoj
Page 60 and 61: samog jezika. Drugim rečima OpenGL
Page 62 and 63: • OR[P_][p_][fia_, fib_]Oricikli
Page 64 and 65: 7 Raniji radovi na vizualizaciji pr
Page 68 and 69: • Koliko je poznato na osnovu dos
Page 70 and 71: (*refleksija u odnosu na tacku p, i
Page 72 and 73: ]Prikaz linija nakon projektovanja(
Page 74 and 75: Projekcija[\[Omega], k][Klein2HS[x]
Page 76 and 77: odnosno A i B pripadaju ravni norma
Page 78 and 79: hs = Append[b, k];Graphics3D[Line[{
Page 80 and 81: translate[{0, 0, 0, 1}, {1/2, 0, -1
Page 82: [15] B. Ajdin, Rejtrejsing u Poenka
show all

Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?