Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

• Ako prava p dodiruje jediničnu sferu, ravni odgovarajućeg pramena Klajnovogmodela seku se u beskonačno dalekoj tački prostora Lobačevskog, pa je toparabolički pramen ravni.• Ako je prava p disjunktna sa jediničnom sferom, ravni odgovarajućeg pramenaKlajnovog modela su disjunktne, pa je pramen hiperbolički.Dakle, parabolički pramen ravni Klajnovog modela se može zadati pravom p prostoraR 3 koja dodiruje apsolutu u tački P .Neka je −→ P (x P , y P , z P ) vektor položaja tačke P , a −→ p (p 1 , p 2 , p 3 ) vektor pravca prave p.Tada je −→ P normalno na −→ p . Neka su ravni α i β paralelne u Klajnovom modelu, odnosnou prostoru R 3 se seku po pravoj p. Vektor normale ravni α u prostoru R 3 je linearnakombinacija vektora −→ P i −→ p × −→ P . Zahtevamo još da bude jediničan, pa se izražava uobilkun = (α 1 , α 2 , α 3 ) = cos ϕ · −→ P + sin ϕ · ( −→ p × −→ P ), ϕ ∈ (0, π),gde je ϕ ugao koji ravan α zaklapa sa vektorom −→ p × −→ P . Ravan α ima vektor normale ni sadrži tačku P , pa je njena jednačina u R 3α 1 (x − x P ) + α 2 (y − y P ) + α 3 (z − z P ) = 0,α 1 x + α 2 y + α 3 z − (α 1 x P + α 2 y P + α 3 z p ) = 0.Dobili smo da su homogene koordinate ravni αNjen vektor normale u prostoru R 3,1 jeα [α 1 : α 2 y : α 3 z : −α 1 x P − α 2 y P − α 3 z p ].n α : [α 1 : α 2 y : α 3 z : α 1 x P + α 2 y P + α 3 z p ]Na isti način pronalazimo vektor normale n β ravni β. Oriciklička rotacija je kompozicijasimetrija u odnosu na ravni α i βpa je odgovarajuća matrica preslikavanjaOR = S α ◦ S β ,OR = A[n α ] · A[n β ],gde su ravni α i β zadate tačkom P , vektorom pravca prave p i uglovima ϕ α i ϕ β kojezaklapaju sa vektorom −→ p × −→ P .46