Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

5.2 TranslacijaPredstavimo translaciju za usmerenu duž AB kao kompoziciju dve simetrije: simetrija uodnosu na ravan α koja sadrži tačku A i normalna je na pravu AB, i simetrija u odnosuna ravan γ koja sadrži središte duži AB i takode je normalna na pravu AB.τ AB = S γ ◦ S α .Pošto imaju zajedničku normalu (pravu AB), ravni α i γ su hiperparalelne. Matrica ovogpreslikavanja jeT AB = A[n α ] · A[n γ ].Ako su A i B vektori položaja tačaka A i B, i ako je < A, B > skalarni proizvodMinkovskog, onda se koristeći rezultate iz poglavlja 2 može izvesti formula za središteduži u Klajnovom modelu (videti [4]):5.3 RotacijaS = A √ < B, B >< A, B > + B √ < A, A >< A, B >.Rotacija oko prave AB je kompozicija simetrija u odnosu na dve ravni koje se seku popravoj AB. Pošto uglovi Klajnovog modela nisu isti kao euklidski osim u koordinatnompočetku, rotaciju za ugao θ predstavimo kao kompoziciju sledećih izometrija: translacijekoja tačku A dovodi u tačku O, euklidske rotacije oko slike prave AB za ugao θ itranslacije koja vraća tačku O nazad u tačku A.R AB,θ = τ OA ◦ R OB ′ ,θ ◦ τ AO ,gde je B ′ = τ AO (B). U koordinatnom početku uglovi su isti kao euklidski, pa je i rotacijaza dati ugao oko date prave ista kao euklidska. Ako sa R OB ′ ,θ označimo matricu euklidskerotacije oko prave OB ′ za ugao θ, onda je matica rotacije Klajnovog modela oko praveAB za ugao θR AB,θ = T OA · R OB ′ ,θ · T AO .5.4 Oriciklička rotacijaS obzirom da ova izometrija ne postoji u euklidskom prostoru, zaslužuje da joj se posvetiposebna pažnja. Oriciklička rotacija je kompozicija simetrija u odnosu na dve paralelneravni. Razmotrimo zato šta su paralelene ravni u Klajnovom modelu i čime su odredene.Po definiciji svaka ravan Klajnovog modela je presek neke ravni prostora R 3 sajediničnom sferom. Pramenovima ravni Klajnovog modela odgovaraju pramenovi ravniprostora R 3 . Označimo sa p zajedničku pravu nekog pramena ravni prostora R 3 . Uzavisnosti od medusobnog položaja prave p i jedinične sfere (modela K) razlikujemoslučajeve:• Ako prava p seče jediničnu sferu, ravni odgovarajućeg pramena Klajnovog modelaseku se unutar modela, pa je pramen eliptički.45