Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas
Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas
5 Izometrije Klajnovog modela, predstavljanje prekomatricaIzometrije Klajnovog, tj. hiperboloidnog modela su izomerije prostora R 3,1 (videtipoglavlje 2.2), odnosno linearna preslikavanja, pa se mogu predstaviti preko matrica.Drugim rečima, primena izometrije na neku tačku Klajnovog modela je množenje njenihkoordinata odgovarajućom matricom. Zato ćemo u ovom poglavlju detaljno razmotritineke tipove izometrija i pronaći njihov matrični oblik. Pošto se svaka izometrija možepredstaviti kao kompozicija simetrija u odnosu na ravan (dokaz u [6]), najpre ćemo pronaćikako izgleda matrica simetrije u odnosu na ravan. Pošto u prostoru Lobačevskog postojetri vrste pramenova ravni, razmtraćemo tri osnovne vrste izometrija:• Translacija - kompozicija simetrija u odnosu na dve hiperparalelne ravni,• Rotacija - kompozicija simetrija u odnosu na dve ravni koje se seku,• Oriciklička rotacija - kompozicija simetrija u odnosu na dve paralelne ravni,kao i zavojno kretanje koje je kompozicija translacije i rotacije.5.1 Simetrija u odnosu na ravanPotražimo kako izgleda simetrija u odnosu na ravan α Klajnovog modela. Neka je ravanα data homogenim koordinatamaα [α 1 : α 2 : α 3 : α 4 ]u prostoru Minkovskog R 3,1 , odnosno jednačinomTada je njen vektor normaleα : α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 + α 4 x 4 = 0.n α =⎡⎢⎣⎤α 1α 2α 3−α 4Proverimo da je vektor n α normalan na svaki vektor ravni α u smislu skalarnog proizvodaMinkovskog⎥⎦ .〈n α , X〉 = n T αJX = α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 − (−α 4 )x 4 == α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 + α 4 x 4 = 0,za svako X ∈ α, pa je n α zaista vektor normale ravni α. Sa J = diag(1, 1, 1, −1) smooznačili matricu skalarnog proizvoda Minkovskog.Neka je sada X proizvoljna tačka Klajnovog modela. Simetrija u odnosu na ravan α semože predstaviti u matričnom oblikuS α (X) = AX,43
gde je X =⎡⎢⎣⎤x 1x 2x 3x 4⎥⎦ vektor položaja tačke X u prostoru R3,1 , aA matrica preslikavanja S α . Neka su X ′ i X ⊥ redom ortogonalna projekcija i ortogonalnadopuna vektora X na ravan α. Onda jePronadimo X ⊥ . Znamo da jeTakode znamo da jeS α (X) = X ′ − X ⊥ = X − 2X ⊥ . (2)X ⊥ = λn α . (3)X = X ′ + X ⊥ = X ′ + λn α .Kada pomnožimo prethodnu jednačinu skalarno sa n α dobijamoodakle jeKada ubacimo λ u jednačinu (3) dobijamoZamenom u jednačinu (2) dobijamoAko iskoristimo da je〈X, n α 〉 = 0 + λ〈n α , n α 〉,λ = 〈X, n α〉〈n α , n α 〉 .⇒ X ⊥ = 〈X, n α〉〈n α , n α 〉 n α.S α (X) = X − 2 〈X, n α〉〈n α , n α 〉 n α (4)〈X, n α 〉n α = n α 〈X, n α 〉 = n α X T Jn α = n α n T αJ T X = n α n T αJXi vratimo u jednačinu (4). Dobijamopa je matrica preslikavanjaS α (X) = X − 2 n αn T αJ〈n α , n α 〉 X,A = I − 2 n αn T αJ〈n α , n α 〉 ,gde je I identička matrica formata 4. Primetimo da je n α n T α matrica formata 4 × 4 kojaje dobijena množenjem vektora kolone i vektora vrste.Na ovaj način je simetrija u odnosu na ravan predstavljena u matričnom obliku.Dakle, ako su poznate homogene koordinate ravni α, odnosno, njen vektor normale n α ,matrica simetrije u odnosu na ravan α jeA[n α ] = I − 2 n αn T αJ〈n α , n α 〉 .44
- Page 3: ApstraktVizualizacija kao način da
- Page 6 and 7: UvodTema vizualizacije prostora Lob
- Page 8 and 9: 1 Geometrija LobačevskogOd kada je
- Page 10 and 11: Slika 2.1: Aksioma paralelnosti u K
- Page 12 and 13: Slika 2.3: Izometrijama hiperboloid
- Page 14 and 15: Pokažimo najpre da jednakost važi
- Page 16 and 17: Slika 2.8: Izometrija Klajnovog i P
- Page 18 and 19: Diferenciranjem prethodne jednačin
- Page 20 and 21: 3.2.1 Poluprostorni modelVideli smo
- Page 22 and 23: i označimo sa O. U zavisnosti od m
- Page 24 and 25: vidljivosti (slika 4.9). Sve tačke
- Page 26 and 27: Slika 4.13: Projekcija duži Lobač
- Page 28 and 29: 4.3 Projekcija poliedaraU ovom pogl
- Page 30 and 31: Primer: Projekcija dodekaedra kada
- Page 32 and 33: Primer: Projekcija dodekaedra kada
- Page 34 and 35: 4.3.3 OktaedarPrimer: Projekcija ok
- Page 36 and 37: Primer: Projekcija oktaedra kada se
- Page 38 and 39: 4.3.4 IkosaedarPri projekciji ikosa
- Page 40 and 41: Primer: Projekcija ikosaedra kada s
- Page 42 and 43: Primer: Projekcija kocke kada se o
- Page 44 and 45: Primer: Projekcija kocke kada se o
- Page 46 and 47: Primer: Projekcija kocke kada se o
- Page 50 and 51: 5.2 TranslacijaPredstavimo translac
- Page 52 and 53: 5.5 Primeri kretanja poliedaraU ovo
- Page 54 and 55: 5.5.2 RotacijaPrimer: Rotacija kock
- Page 56 and 57: Primer2: Oriciklička rotacija dode
- Page 58 and 59: 5.5.4 Zavojno kretanjePrimer: Zavoj
- Page 60 and 61: samog jezika. Drugim rečima OpenGL
- Page 62 and 63: • OR[P_][p_][fia_, fib_]Oricikli
- Page 64 and 65: 7 Raniji radovi na vizualizaciji pr
- Page 66 and 67: Slika 7.5: Vizualizacija interneta
- Page 68 and 69: • Koliko je poznato na osnovu dos
- Page 70 and 71: (*refleksija u odnosu na tacku p, i
- Page 72 and 73: ]Prikaz linija nakon projektovanja(
- Page 74 and 75: Projekcija[\[Omega], k][Klein2HS[x]
- Page 76 and 77: odnosno A i B pripadaju ravni norma
- Page 78 and 79: hs = Append[b, k];Graphics3D[Line[{
- Page 80 and 81: translate[{0, 0, 0, 1}, {1/2, 0, -1
- Page 82: [15] B. Ajdin, Rejtrejsing u Poenka
gde je X =⎡⎢⎣⎤x 1x 2x 3x 4⎥⎦ vektor položaja tačke X u prostoru R3,1 , aA matrica preslikavanja S α . Neka su X ′ i X ⊥ redom ortogonalna projekcija i ortogonalnadopuna vektora X na ravan α. Onda jePronadimo X ⊥ . Znamo da jeTakode znamo da jeS α (X) = X ′ − X ⊥ = X − 2X ⊥ . (2)X ⊥ = λn α . (3)X = X ′ + X ⊥ = X ′ + λn α .Kada pomnožimo prethodnu jednačinu skalarno sa n α dobijamoodakle jeKada ubacimo λ u jednačinu (3) dobijamoZamenom u jednačinu (2) dobijamoAko iskoristimo da je〈X, n α 〉 = 0 + λ〈n α , n α 〉,λ = 〈X, n α〉〈n α , n α 〉 .⇒ X ⊥ = 〈X, n α〉〈n α , n α 〉 n α.S α (X) = X − 2 〈X, n α〉〈n α , n α 〉 n α (4)〈X, n α 〉n α = n α 〈X, n α 〉 = n α X T Jn α = n α n T αJ T X = n α n T αJXi vratimo u jednačinu (4). Dobijamopa je matrica preslikavanjaS α (X) = X − 2 n αn T αJ〈n α , n α 〉 X,A = I − 2 n αn T αJ〈n α , n α 〉 ,gde je I identička matrica formata 4. Primetimo da je n α n T α matrica formata 4 × 4 kojaje dobijena množenjem vektora kolone i vektora vrste.Na ovaj način je simetrija u odnosu na ravan predstavljena u matričnom obliku.Dakle, ako su poznate homogene koordinate ravni α, odnosno, njen vektor normale n α ,matrica simetrije u odnosu na ravan α jeA[n α ] = I − 2 n αn T αJ〈n α , n α 〉 .44
Change language