Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

5 Izometrije Klajnovog modela, predstavljanje prekomatricaIzometrije Klajnovog, tj. hiperboloidnog modela su izomerije prostora R 3,1 (videtipoglavlje 2.2), odnosno linearna preslikavanja, pa se mogu predstaviti preko matrica.Drugim rečima, primena izometrije na neku tačku Klajnovog modela je množenje njenihkoordinata odgovarajućom matricom. Zato ćemo u ovom poglavlju detaljno razmotritineke tipove izometrija i pronaći njihov matrični oblik. Pošto se svaka izometrija možepredstaviti kao kompozicija simetrija u odnosu na ravan (dokaz u [6]), najpre ćemo pronaćikako izgleda matrica simetrije u odnosu na ravan. Pošto u prostoru Lobačevskog postojetri vrste pramenova ravni, razmtraćemo tri osnovne vrste izometrija:• Translacija - kompozicija simetrija u odnosu na dve hiperparalelne ravni,• Rotacija - kompozicija simetrija u odnosu na dve ravni koje se seku,• Oriciklička rotacija - kompozicija simetrija u odnosu na dve paralelne ravni,kao i zavojno kretanje koje je kompozicija translacije i rotacije.5.1 Simetrija u odnosu na ravanPotražimo kako izgleda simetrija u odnosu na ravan α Klajnovog modela. Neka je ravanα data homogenim koordinatamaα [α 1 : α 2 : α 3 : α 4 ]u prostoru Minkovskog R 3,1 , odnosno jednačinomTada je njen vektor normaleα : α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 + α 4 x 4 = 0.n α =⎡⎢⎣⎤α 1α 2α 3−α 4Proverimo da je vektor n α normalan na svaki vektor ravni α u smislu skalarnog proizvodaMinkovskog⎥⎦ .〈n α , X〉 = n T αJX = α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 − (−α 4 )x 4 == α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 + α 4 x 4 = 0,za svako X ∈ α, pa je n α zaista vektor normale ravni α. Sa J = diag(1, 1, 1, −1) smooznačili matricu skalarnog proizvoda Minkovskog.Neka je sada X proizvoljna tačka Klajnovog modela. Simetrija u odnosu na ravan α semože predstaviti u matričnom oblikuS α (X) = AX,43