Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

Slika 4.11: Projekcija tačkeu Klajnovom modelu kada jeočna tačka izvan orisfereSlika 4.12: Projekcija tačke u poluprostornom modelukada je očna tačka izvan orisfere4.1.3 Očna tačka je beskonačno daleka tačkaSada su zraci projekcije u poluprostornom modelu poluprave upravne na apsolutu, pa jeu pitanju normalna projekcija poluprostora na ravan orisfere. Pošto su duži Lobačevskogdelovi krugova upravnih na apsolutu, a time i na orisferu, na ovaj način se projektuju ueuklidske duži. Zbog toga se u projekciji gubi slika o zakrivljenosti prostora Lobačevskog,pa ovaj slučaj nećemo dalje razmatrati.4.2 Projekcija dužiRazmotrimo najpre šta sve može biti projekcija duži prostora Lobačevskog i čime jeodredena. Projektujemo duž AB poluprostornog modela na orisferu z = k. Označimoprojekcije temena duži sa A ′ i B ′ . Označimo sa O ∞ polupravu sa temenom u očnoj tačkiO(0, 0, ω), u pravcu z ose, takvu da je z > ω. U zavisnosti od medusobnog položajaočne tačke i temena duži, projekcija duži može da bude jedan od sledećih objekata ueuklidskom smislu:1. LukPosmatrajmo sferu normalnu na apsolutu koja sadrži tačke O, A, B . Presek tesfere (ravni Lobačevskog) i orisfere na koju projektujemo je krug, pa je projekcijaduži AB luk A ′ B ′ . Centar sfere je tačka preseka simetralnih ravni tetiva OA ′ , OB ′i apsolute i ima koordinate C(c 1 , c 2 , 0). Centar luka A ′ B ′ je tačka C ′ (c 1 , c 2 , k).20