Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

3.1 Izometrija sa E 2Dopunimo prostor R 3 do kompaktnog prostora S 3 jednom tačkom (komfornakompaktifikacija) i označimo tu tačku sa ∞. Time apsoluta postaje Rimanova sfera.Sfere i krugovi koji sadrže tačku ∞ su ravni i prave u prostoru R 3 . Označimo sa χ ∞snop pravih poluprostornog modela koje se seku u tački ∞. Pošto apsoluta u ovakodopunjenom prostoru sadrži tačku ∞, prave ovog snopa se seku na apsoluti, pa je tosnop paralelnih pravih prostora Lobačevskog. Zato simetrije u odnosu na prave snopaχ ∞ definišu orisferu. Pošto sadrže tačku ∞ one su poluprave a ne polukrugovi, odnosnosnop χ ∞ čine sve poluprave normalne na apsolutu. Jednačina proizvoljne prave ovogsnopa jep : x = x 0 , y = y 0 .Simetrija u odnosu na pravu p jeϕ p : (x, y, z) ↦→ (2x 0 − x, 2y 0 − y, z).Odavde dobijamo da je skup slika proizvoljne tačke X(x 0 , y 0 , z 0 ) u odnosu na sve pravesnopa χ ∞ ravan z = z 0 , odnosno da je orisfera ravan (slika 3.1). Metrika na orisferi jerestrikcija metrike prostorads o = dx2 + dy 2 + 0z 2 0= dx2 + dy 2.z02Preslikavanjem x ′ = x z 0, y ′ = y z 0dobijamo metriku euklidske ravnids o = dx ′2 + dy ′2 = ds E 2.Pošto su sve orisfere medusobno izometrične i pronašli smo jednu koja je izometričnaeuklidskoj ravni, pokazano je da je svaka orisfera izometrična euklidskoj ravni.Slika 3.1: Izometrija orisfere i ravni3.2 Orisfera u modelimaRazmotrimo u ovom poglavlju šta se dešava sa orisferom pri izometrijama izmeduraziličitih modela geometrije Lobačevskog, kao i pri izometrijama unutar samih modela.14