Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

Diferenciranjem prethodne jednačine:dx 3 = dx 2 , dy 3 = dy 2 , dz 3 = dz 2 .Refleksijom u odnosu na ravan z = 0:x h = x 3 , y h = y 3 , z h = −z 3 .Diferenciranjem prethodne jednačine:dx h = dx 3 , dy h = dy 3 , dz h = −dz 3 .Na kraju dobijamo:ds 2 h = dx2 h + dy2 h + dz2 hz 2 h= dx2 3 + dy 2 3 + dz 2 3z 2 3= dx2 2 + dy 2 2 + dz 2 2(z 2 + 2) 2 =dx 2 1 + dy1 2 + dz12 = 4(x 2 1 + y1 2 + z1 2 + 2z 1 ) = 4 dx2 p + dyp 2 + dzp22 (x 2 p + yp 2 + zp 2 − 1) = 2= ds 2 p.Pokazali smo da kompozicija ovih preslikavanja čuva metriku, tj. da jeste izometrija.3 OrisferaIntuitivno, orisfera se može zamisliti kao sfera sa centrom u beskonačno dalekoj tački,ili kao sfera beskonačnog poluprečnika. Da bismo je formalno definisali i izveli osobinekoje su nam važne, pre svega da je izometrična euklidskoj ravni, potrebni su nam nekipojmovi apsolutne geometrije (geometrije bez aksiome paralelnosti).Definišimo najpre snop pravih kao maksimalan skup pravih u prostoru takvih dasu svake dve komplanarne i da ne pripadaju sve jednoj ravni. Skup svih ravni od kojihsvaka sadrži bar jednu pravu nekog snopa pravih nazivamo snop ravni i kažemo da jegenerisan tim snopom pravih. U prostoru Lobačevskog postoje tri vrste snopova pravih:• snop konkurentnih pravih χ O (eliptički) - skup svih pravih koje sadrže tačku O;• snop hiperparalelnih pravih χ α (hiperbolički) - skup svih pravih normalnih na nekuravan α;• snop paralelnih pravih χ Ō (parabolički) - snop pravih koje se seku u nekojbeskonačno dalekoj tački Ō.Ako je χ snop, a X tačka prostora Lobačevskog, tada skup slika tačke X u refleksijama uodnosu na sve prave snopa χ zovemo episfera. Episfere definisane redom eliptičkim,hiperboličkim i paraboličkim snopom pravih nazivaju se sfera, ekvidistantna površ iorisfera.13