Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

2.7 Poenkareov poluprostorni modelPoluprostorni model je gornji poluprostor prostora R 3H : z > 0.Ravan z = 0 nazovimo apsoluta. Prave modela H su polukrugovi sa centrom naapsoluti, i poluprave normalne na apsolutu sa temenom na apsoluti. Ravni su polusfere sacentrom na apsoluti i poluravni normalne na apsolutu čija ivica pripada apsoluti. Metrikuzadajemo sads 2 h = dx2 + dy 2 + dz 2.z 2Pokažimo da je ovaj model izometričan sa Poenkareovim sfernim modelom.Izometrija koja slika Poenkareov sferni model u poluprostorni je kompozicija translacijeza vektor (0, 0, −1), inverzije u odnosu na sferu sa centrom u koordinatnom početkupoluprečnika 2, zatim translacije za vektor (0, 0, 2) i refleksije u odnosu na ravan z = 0.Pošto sva ova preslikavanja čuvaju sfere i ravni i njihova kompozicija slika apsolutumodela P u apsolutu modela H, važi i da se prave i ravni modela P slikaju u prave iravni modela H. Proverimo šta se dešava sa metrikom pri ovoj kompoziciji.(x p , y p , z p ) ↦→ (x 1 , y 1 , z 1 ) ↦→ (x 2 , y 2 , z 2 ) ↦→ (x 3 , y 3 , z 3 ) ↦→ (x h , y h , z h )Translacijom za vektor (0, 0, −1) dobijamo:Diferenciranjem prethodne jednačine:Zatim inverzijom u odnosu na krug:x 1 = x p , y 1 = y p , z 1 = z p − 1.dx 1 = dx p , dy 1 = dy p , dz 1 = dz p .x 2 =4x 1, yx 2 1 + y1 2 + z12 2 =4y 1, zx 2 1 + y1 2 + z12 2 =4z 1.x 2 1 + y1 2 + z12Diferenciranjem prethodne jednačine:[ −x2dx 2 = 4 1 + y1 2 + z12(x 2 1 + y1 2 + z1) dx 2 2 1 −[dy 2 = 4 −[dz 2 = 42x 1 y 1(x 2 1 + y 2 1 + z 2 1) 2 dy 1 −2x 1 y 1(x 2 1 + y1 2 + z1) dx 2 2 1 + x2 1 − y1 2 + z12(x 2 1 + y1 2 + z1) dy 2 2 1 −2x 1 z 1−(x 2 1 + y1 2 + z1) dx 2 2 1 −Translacijom za vektor (0, 0, 2) dobijamo:]2x 1 z 1(x 2 1 + y1 2 + z1) dz 2 2 1 ,]2y 1 z 1(x 2 1 + y1 2 + z1) dz 2 2 1 ,2y 1 z 1(x 2 1 + y 2 1 + z 2 1) 2 dy 1 + x2 1 + y 2 1 − z 2 1(x 2 1 + y 2 1 + z 2 1) 2 dz 1x 3 = x 2 , y 3 = y 2 , z 3 = z 2 + 2.].12