Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

Slika 2.8: Izometrija Klajnovog i Poenakreovog sfernog modela. Slika je u tri dimenzijeumesto u četiri, ali je razmatranje potpuno analogno.Pronadimo presek prave NA i sfere σ.NA :xx p= y y p= z z p= w − 1−1 = t.Prava NA u parametarskom obliku ima jednačinu:x = tx p , y = ty p , z = tz p , w = 1 − t.Zamenom u jednačinu sfere σ dobijamo da jet =2x 2 p + y 2 p + z 2 p + 1 ,odakle jeĀ = NA ∩ σ =(2xx 2 p + yp 2 + zp 2 p , y p , z p , x2 p + yp 2 + z 2 )p − 1.+ 12Sada normalno isprojektujmo tačku Ā na hiperravan w = 0, odakle dobijamoA ′ =2x 2 p + y 2 p + z 2 p + 1 (x p, y p , z p , 0).Posmatrajmo sada tačke A i A ′ kao vektore u prostoru R 3 . Tu jepa je|A| 2 = x 2 p + y 2 p + z 2 p,A ′ =2A1 + |A| 2 .Stereografska projekcija je restrikcija inverzije u odnosu na sferu, pa čuva uglove. Zato seprojekcijom ϕ prave i ravni modela P (lukovi, delovi sfera i ravni normalnih na apsolutuS) slikaju ponovo u lukove i sfere normalne na S. One se onda normalnom projekcijom φslikaju u tetive i velike krugove sfere S, odnosno u prave i ravni Klajnovog modela. Možese proveriti da preslikavanje φ ◦ ϕ čuva rastojanje, pa jeste izometrija.11