Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas
Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas
Pokažimo najpre da jednakost važi za slučaj kada su tačke X h , Y h sfere S 3,1 u ravni O x1 ,x 4.Tada su i njihove slike X k , Y k ∈ K, takode u ravni O x1 ,x 4.Slika 2.6: Izometrija Klajnovog i hiperboloidnog modelaX h = (x 1 , 0, 0, x 4 ) = (sinh t x , 0, 0, cosh t x ),Y h = (y 1 , 0, 0, y 4 ) = (sinh t y , 0, 0, cosh t y ),( )x1X k = , 0, 0, 1 = (tanh t x , 0, 0, 1),x( 4)y1Y k = , 0, 0, 1 = (tanh t y , 0, 0, 1).y 4Slika 2.7: Klajnov modelPresečne tačke prave X k Y k sa apsolutom su P = (1, 0, 0, 1) i Q = (−1, 0, 0, 1), pa je[X k , Y k ; P, Q] = XPXQ : Y Px 1Y Q = x 4− 1x 1y 1x 4+ 1 : y 4− 1y 1y 4+ 1 == tanh t x − 1tanh t x + 1 : tanh t y − 1tanh t y + 1 = (1)= e −2tx : e −2ty = e 2(ty−tx) .9
Iskoristili smo da jetanh t − 1tanh t + 1esinh t − cosh tt −e −t=sinh t + cosh t =− et +e −t2 2e t −e −t+ et +e −t2 2= −e−te t = −e −2t .Logaritmovanjem obe strane jednakosti (1), dobijamoln[X k , Y k ; P, Q] = 2(t y − t x ),12 | ln[X k, Y k ; P, Q]| = |t y − t x |,d k (X k , Y k ) = d h ((X h , Y h )).Izometrijama ovih modela proizvoljni parovi tačaka se mogu prevesti u parove tačakaravni O x1 ,x 4, pa prethodna jednakost važi u opštem slučaju.Pokazano je da ovo preslikavanje čuva rastojanja,Klajnovog i hiperboloidnog modela.dakle jeste izometrija izmedu2.6 Poenkareov sferni modelPoenkareov sferni model P je unutrašnjost jedinične sfere (apsolute). Prave tog modela sulukovi krugova normalnih na apsolutu i prečnici apsolute. Ravni su delovi sfera normalnihna apsolutu i veliki krugovi apsolute. Metriku zadajemo sads 2 p = 4 dx2 + dy 2 + dz 2(1 − x 2 − y 2 − z 2 ) 2 .Pokažimo da je ovaj model izometričan sa Klajnovim modelom (slika 2.8).Posmatrajmo modele P i K u prostoru R 4 .Apsoluta oba modela je sferaP, K : x 2 + y 2 + z 2 < 1, w = 0.S : x 2 + y 2 + z 2 = 1.Neka je σ jednična sfera u prostoru R 4 , a N njen severni pol.σ : x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1, N(0, 0, 0, 1).Projektujmo tačku A ∈ P stereografskom projekcijom ϕ iz tačke N u tačku Ā ∈ σdonje polusfere sfere σ. Zatim normalnom projekcijom φ isprojektujemo tačku Ā u tačkuA ′ ∈ K ravni w = 0. Kompozicija φ ◦ ϕ slika unutrašnjost sfere S u donju polusferu sfereσ, a zatim nazad u unutrašnjost sfere S. To je bijekcija koja sve tačke sfere S ostavljainvarijantnim. Pronadimo njen eksplicitni oblik.φ ◦ ϕ : P −→ KA (x p , y p , z p , 0)ϕ↦→ Ā (x, y, z, w) φ↦→ A ′ (x k , y k , z k , 0)10
- Page 3: ApstraktVizualizacija kao način da
- Page 6 and 7: UvodTema vizualizacije prostora Lob
- Page 8 and 9: 1 Geometrija LobačevskogOd kada je
- Page 10 and 11: Slika 2.1: Aksioma paralelnosti u K
- Page 12 and 13: Slika 2.3: Izometrijama hiperboloid
- Page 16 and 17: Slika 2.8: Izometrija Klajnovog i P
- Page 18 and 19: Diferenciranjem prethodne jednačin
- Page 20 and 21: 3.2.1 Poluprostorni modelVideli smo
- Page 22 and 23: i označimo sa O. U zavisnosti od m
- Page 24 and 25: vidljivosti (slika 4.9). Sve tačke
- Page 26 and 27: Slika 4.13: Projekcija duži Lobač
- Page 28 and 29: 4.3 Projekcija poliedaraU ovom pogl
- Page 30 and 31: Primer: Projekcija dodekaedra kada
- Page 32 and 33: Primer: Projekcija dodekaedra kada
- Page 34 and 35: 4.3.3 OktaedarPrimer: Projekcija ok
- Page 36 and 37: Primer: Projekcija oktaedra kada se
- Page 38 and 39: 4.3.4 IkosaedarPri projekciji ikosa
- Page 40 and 41: Primer: Projekcija ikosaedra kada s
- Page 42 and 43: Primer: Projekcija kocke kada se o
- Page 44 and 45: Primer: Projekcija kocke kada se o
- Page 46 and 47: Primer: Projekcija kocke kada se o
- Page 48 and 49: 5 Izometrije Klajnovog modela, pred
- Page 50 and 51: 5.2 TranslacijaPredstavimo translac
- Page 52 and 53: 5.5 Primeri kretanja poliedaraU ovo
- Page 54 and 55: 5.5.2 RotacijaPrimer: Rotacija kock
- Page 56 and 57: Primer2: Oriciklička rotacija dode
- Page 58 and 59: 5.5.4 Zavojno kretanjePrimer: Zavoj
- Page 60 and 61: samog jezika. Drugim rečima OpenGL
- Page 62 and 63: • OR[P_][p_][fia_, fib_]Oricikli
Iskoristili smo da jetanh t − 1tanh t + 1esinh t − cosh tt −e −t=sinh t + cosh t =− et +e −t2 2e t −e −t+ et +e −t2 2= −e−te t = −e −2t .Logaritmovanjem obe strane jednakosti (1), dobijamoln[X k , Y k ; P, Q] = 2(t y − t x ),12 | ln[X k, Y k ; P, Q]| = |t y − t x |,d k (X k , Y k ) = d h ((X h , Y h )).Izometrijama ovih modela proizvoljni parovi tačaka se mogu prevesti u parove tačakaravni O x1 ,x 4, pa prethodna jednakost važi u opštem slučaju.Pokazano je da ovo preslikavanje čuva rastojanja,Klajnovog i hiperboloidnog modela.dakle jeste izometrija izmedu2.6 Poenkareov sferni modelPoenkareov sferni model P je unutrašnjost jedinične sfere (apsolute). Prave tog modela sulukovi krugova normalnih na apsolutu i prečnici apsolute. Ravni su delovi sfera normalnihna apsolutu i veliki krugovi apsolute. Metriku zadajemo sads 2 p = 4 dx2 + dy 2 + dz 2(1 − x 2 − y 2 − z 2 ) 2 .Pokažimo da je ovaj model izometričan sa Klajnovim modelom (slika 2.8).Posmatrajmo modele P i K u prostoru R 4 .Apsoluta oba modela je sferaP, K : x 2 + y 2 + z 2 < 1, w = 0.S : x 2 + y 2 + z 2 = 1.Neka je σ jednična sfera u prostoru R 4 , a N njen severni pol.σ : x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1, N(0, 0, 0, 1).Projektujmo tačku A ∈ P stereografskom projekcijom ϕ iz tačke N u tačku Ā ∈ σdonje polusfere sfere σ. Zatim normalnom projekcijom φ isprojektujemo tačku Ā u tačkuA ′ ∈ K ravni w = 0. Kompozicija φ ◦ ϕ slika unutrašnjost sfere S u donju polusferu sfereσ, a zatim nazad u unutrašnjost sfere S. To je bijekcija koja sve tačke sfere S ostavljainvarijantnim. Pronadimo njen eksplicitni oblik.φ ◦ ϕ : P −→ KA (x p , y p , z p , 0)ϕ↦→ Ā (x, y, z, w) φ↦→ A ′ (x k , y k , z k , 0)10
Change language