Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

Pokažimo najpre da jednakost važi za slučaj kada su tačke X h , Y h sfere S 3,1 u ravni O x1 ,x 4.Tada su i njihove slike X k , Y k ∈ K, takode u ravni O x1 ,x 4.Slika 2.6: Izometrija Klajnovog i hiperboloidnog modelaX h = (x 1 , 0, 0, x 4 ) = (sinh t x , 0, 0, cosh t x ),Y h = (y 1 , 0, 0, y 4 ) = (sinh t y , 0, 0, cosh t y ),( )x1X k = , 0, 0, 1 = (tanh t x , 0, 0, 1),x( 4)y1Y k = , 0, 0, 1 = (tanh t y , 0, 0, 1).y 4Slika 2.7: Klajnov modelPresečne tačke prave X k Y k sa apsolutom su P = (1, 0, 0, 1) i Q = (−1, 0, 0, 1), pa je[X k , Y k ; P, Q] = XPXQ : Y Px 1Y Q = x 4− 1x 1y 1x 4+ 1 : y 4− 1y 1y 4+ 1 == tanh t x − 1tanh t x + 1 : tanh t y − 1tanh t y + 1 = (1)= e −2tx : e −2ty = e 2(ty−tx) .9