Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas

Onda jed h ( ˜X, Ỹ ) = ∣ ∣∣∣∫ tyt x‖ ·∣ ∫ ∣∣∣ tyα (t)‖dt∣ = dt∣ = |t y − t x |,t xcosh d h ( ˜X, Ỹ ) = cosh(t y − t x ) = cosh t y · cosh t x − sinh t y · sinh t x == x 4 y 4 − x 1 y 1 = −〈 ˜X, Ỹ 〉.Pošto izometrije čuvaju rastojanje i skalarni proizvod, dobija se da za proizvoljne tačkehiperboloidnog modela važicosh d h (X, Y ) = −〈X, Y 〉,d h (X, Y ) = arccosh (−〈X, Y 〉).2.5 Izometrija Klajnovog i hiperboloidnog modelaPosmatrajmo Klajnov model kao unutrašnjost jedinične sfere hiperravni x 4 = 1 u prostoruR 4 K = { X k = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) | x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 < 1, x 4 = 1}.Izometrija hiperboloidnog i Klajnovog modela je centralna projekcija iz koordinatnogpočetka hiperboloida S 3,1 na loptu K(x1(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ↦→ , x 2, x )3, 1 ,x 4 x 4 x 4X h ↦→ X k .Slika 2.5: Izometrija Klajnovog i hiperboloidnog modelaProverimo da ovo preslikavanje čuva rastojanja, odnosno da važid h (X h , Y h ) = d k (X k , Y k ).8